Un motor de continua de 12 V girando en vacío consume 0,17 A. El mismo motor, con el eje agarrado con la mano, consume 24 A y disipa 288 W — todos en calor, porque su potencia mecánica es exactamente cero — y el esmalte de su bobinado alcanza los 155 °C en 5,2 segundos. Un factor 144 entre dos estados del mismo aparato, sin ningún regulador, sin electrónica y sin que nadie haya tocado la alimentación. Lo que los separa es una tensión que el motor se genera a sí mismo cuando gira, y que desaparece cuando se para.
Un motor de continua con una carga de ventilador (par proporcional al cuadrado de la velocidad). No hay ninguna cifra guardada: el panel resuelve el estado estacionario iterando, porque la velocidad depende de la corriente y la corriente depende de la velocidad. Busca el mando que sube la corriente — y fíjate en que subir la tensión no es.
7232 rpm con 5.01 A. La cuenta que importa: de los 12.0 V, la f.e.m. contraria se lleva 9.09 V y sólo 2.91 V caen en la resistencia del bobinado. Por eso el rendimiento es 75.7 % — y no es casualidad que coincida con 9.09/12.0: el rendimiento electromecánico de un motor de continua es la fracción de la tensión que se convierte en f.e.m. contraria. Se disipan 14.6 W y se entregan 45.5 W.
Un cable con corriente dentro de un campo
La fuerza de Lorentz de I.1 actuaba sobre una carga suelta. Un cable con corriente es un montón de cargas moviéndose a la vez, y sumando la fuerza sobre todas ellas sale una expresión que no menciona ni las cargas ni su velocidad:
con L la longitud del trozo de cable que está dentro del campo, y con la fuerza perpendicular al cable y al campo a la vez. Es la fuerza de Laplace, y es todo lo que hace falta saber para construir un motor. Con un imán de neodimio de 0,35 T, un tramo de 10 cm de cable y 5 A, la fuerza es de 0,175 N: el peso de 17,8 gramos. Modesta, y ésa es la primera lección honesta — las fuerzas magnéticas por cada amperio son pequeñas, y todo el arte de una máquina eléctrica consiste en multiplicarlas por muchas espiras y en aplicarlas con un brazo de palanca.
De la fuerza al par: la espira que gira
Pon una espira rectangular dentro de un campo y hazle circular corriente. Los dos lados perpendiculares al campo reciben fuerzas iguales y opuestas —una hacia arriba y otra hacia abajo—, así que la espira no se desplaza: gira. El par que recibe, con N vueltas y área A, es
donde θ es el ángulo entre el plano de la espira y el campo, y m = NIA es otra vez el momento magnético del artículo 01. Una bobina de 100 vueltas de 2 × 3 cm con 1 A dentro de 0,3 T da 18 mN·m, y a 3 000 rpm eso son 5,66 W de potencia mecánica. Un ventilador de mesa.
Ese seno es el problema del motor y su solución a la vez. El par vale lo máximo cuando la espira está alineada con el campo por su plano, y vale cero cuando la espira ha girado 90° y su momento apunta como el campo — y a partir de ahí, si la corriente siguiera igual, el par se invertiría y la espira se quedaría oscilando alrededor de esa posición como una brújula. Un motor de continua es exactamente eso más una pieza: el conmutador, un anillo partido en delgas que invierte la corriente cada media vuelta, justo cuando el par iba a cambiar de signo. Las cuatro piezas del aparato, y no hay una quinta:
| Pieza | Qué hace | Qué pasa si falta |
|---|---|---|
| Imán o bobina de campo | Pone el B de la fórmula | No hay fuerza: F = BIL con B = 0 |
| Bobinado del rotor | Pone el I y multiplica por N | Hay campo pero nada que empujar |
| Conmutador (delgas) | Invierte I cada media vuelta | El rotor oscila y se para a 90° |
| Escobillas | Llevan la corriente a algo que gira | Se retuercen los cables |
Y aquí conviene la honestidad de siempre: el conmutador y las escobillas son la parte fea. Rozan, chispean, se desgastan y limitan la velocidad. Casi todo lo que hoy se llama «motor eléctrico» —el de un coche eléctrico, el de un dron, el de un ventilador de ordenador— es un motor sin escobillas, en el que la conmutación la hace un circuito electrónico que mide dónde está el rotor. La física es la misma; lo que se ha sustituido es la pieza mecánica por una decisión electrónica.
El campo no hace trabajo, y sin embargo el eje gira
En I.1 se dijo, y con razón, que la fuerza magnética sobre una carga puntual no puede hacer trabajo, y que la respuesta completa a por qué entonces un imán levanta un clip tenía tres partes y no cerraba del todo. Aquí se puede hacer por fin la parte que sí cierra, con números, porque en un motor hay una pila y se puede preguntar cuánto paga.
Problema. Un conductor de 10 cm lleva 1 A dentro de un campo de 0,30 T y se mueve a 5 m/s empujado por la fuerza magnética. ¿Cuánta potencia mecánica entrega, y de dónde sale esa energía?
Solución. La fuerza es F = BIL = 0,30 × 1 × 0,10 = 0,03 N, y a 5 m/s entrega
Ahora la otra mitad de la historia, que es la que casi nunca se cuenta. Al moverse el conductor, sus cargas adquieren una segunda componente de velocidad —la del propio conductor, u— y sobre esa componente el campo ejerce una fuerza a lo largo del cable, en contra de la corriente. Esa fuerza es una tensión que se opone: la fuerza contraelectromotriz,
Resultado. Las dos expresiones son la misma: BILu y BLuI. La pila paga exactamente 0,15 W de más por culpa de esa tensión contraria, y el eje recibe exactamente 0,15 W. El campo magnético no aporta ni un julio: es un corredor de comercio. Toma energía del generador por un lado y la entrega al eje por el otro, con balance cero, y ni siquiera es una aproximación — es una identidad algebraica.
La misma cuenta se puede hacer carga a carga, y sale igual de limpia. Cada electrón lleva dos velocidades: la de arrastre a lo largo del cable, vd = 0,470 mm/s (I.1, artículo 03), y la del cable entero, u = 5 m/s — que es 10 600 veces mayor. La componente qvd×B empuja el electrón de lado y a través de él empuja el cable, entregándole q·vd·B·u = 1,13×10⁻²² W. La componente qu×B frena el arrastre y se lleva q·u·B·vd = 1,13×10⁻²² W. Es el mismo producto con los factores en otro orden. Se cancelan exactamente, para cada electrón y en cada instante, y por eso la fuerza total sigue siendo perpendicular a la velocidad total y sigue sin hacer trabajo, aunque cada una de sus dos componentes por separado sí lo haga.
Y ahora la parte que sigue sin cerrar. Lo de arriba funciona porque hay una pila. En un imán permanente no la hay, y el problema que I.1 dejó abierto sigue abierto: los momentos de un imán son en su mayor parte el espín del electrón, que no es una corriente en circulación por mucho que se dibuje como tal, y la contabilidad clásica se queda sin fuente a la que cargarle el trabajo.
Hay además una trampa de vocabulario que conviene desactivar ahora, porque aparece en cuanto se abre un libro. La energía de un dipolo en un campo se escribe U = −m·B, y es tentador leerla como «la energía que el campo magnético le da al dipolo». No lo es. Esa expresión es un potencial efectivo: sirve para calcular la fuerza y el par, y ya lleva dentro, contabilizado con signo cambiado, el trabajo que hace la fuente que mantiene la corriente de la espira. Usarla es perfectamente correcto; leerla como si el campo magnético fuera un depósito de energía que se transfiere al dipolo es exactamente el error que produce la paradoja. Griffiths, el libro guía del Nivel II de este sitio, dedica a esto un apartado entero y termina admitiendo que para el espín la respuesta completa es cuántica. El módulo II.4 lo retoma con las herramientas para hacerlo bien; en este nivel, lo honesto es decir dónde acaba lo que sabemos calcular.
Por qué el motor se regula solo
La fuerza contraelectromotriz no es una curiosidad de la contabilidad: es el sistema de control del motor, y explica el factor 144 del primer párrafo. La corriente que circula por un motor de continua es
con k la constante del motor —cuánta f.e.m. genera por cada radián por segundo, que es exactamente lo mismo que cuánto par da por cada amperio— y R la resistencia del bobinado. Con V = 12 V, R = 0,5 Ω y k = 12 mN·m/A:
| Estado | Velocidad | F.e.m. contraria | Corriente | Calor | Rendimiento |
|---|---|---|---|---|---|
| Bloqueado | 0 rpm | 0 V | 24,0 A | 288 W | 0 % |
| Máxima potencia | 4 775 rpm | 6,0 V | 12,0 A | 72 W | 50 % |
| Cargado | 7 232 rpm | 9,09 V | 5,01 A | 14,6 W | 75,7 % |
| En vacío | 9 482 rpm | 11,92 V | 0,17 A | 0,01 W | 99,3 % |
Tres cosas de esa tabla, y las tres son útiles. La primera: el rendimiento electromecánico es exactamente ε/V, la fracción de la tensión que se convierte en f.e.m. contraria. Lo que no se convierte, cae en la resistencia y se va en calor. La segunda: la potencia mecánica máxima y el rendimiento máximo no están en el mismo sitio, ni de lejos. La potencia máxima vale V²/4R = 72 W y se da con la mitad de la tensión perdida en calor, con un rendimiento del 50 % exacto. Quien quiera rendimiento tiene que aceptar menos potencia; quien quiera potencia tiene que aceptar quemar la mitad. La tercera es de seguridad y es la del primer párrafo: bloquear el eje es lo mismo que cortocircuitar la fuente, porque lo único que limitaba la corriente era una tensión generada por el propio movimiento. Con 288 W en un bobinado de 30 g de cobre, el esmalte llega a sus 155 °C en 5,2 s — la misma cuenta adiabática que hacía saltar un magnetotérmico en I.2.
El altavoz es el mismo aparato, desenrollado
Un altavoz es un motor de continua al que le han quitado la rotación. Una bobina metida en el entrehierro de un imán permanente, con el campo radial y la corriente circular, recibe una fuerza axial que vale otra vez BIL — y como la longitud de hilo dentro del campo es la de todas las vueltas juntas, se agrupa todo en un solo parámetro, el factor de fuerza Bl, que los fabricantes publican en teslas por metro.
Problema. Un altavoz de graves tiene Bl = 10 T·m y un cono de 20 g. Le llega 1 A. ¿Qué fuerza recibe el cono, qué aceleración, y cuánto se desplaza a 50 Hz y a 500 Hz?
Solución. La fuerza es F = Bl·I = 10 N y la aceleración F/m = 500 m/s², cincuenta y un veces la gravedad. Para un movimiento sinusoidal a frecuencia f, la amplitud que corresponde a esa aceleración es
Resultado. Cinco milímetros a 50 Hz y cincuenta micras a 500 Hz — con la misma corriente y la misma fuerza. La razón está en el cuadrado del denominador: multiplicar la frecuencia por diez divide el recorrido por cien. De ahí sale, sin ninguna teoría acústica, por qué un altavoz de graves es grande y de recorrido largo y uno de agudos es pequeño y apenas se mueve: para mover la misma cantidad de aire a baja frecuencia hay que desplazarse mucho más. Y de ahí sale también por qué el imán de un altavoz de graves pesa un kilo: Bl aparece multiplicando la corriente, así que duplicar el campo del entrehierro es la única forma de duplicar la fuerza sin duplicar el calor del bobinado, que va con I².
Ejercicios
Un taladro de 12 V con las constantes de la tabla se atasca en un tornillo. Su magnetotérmico es de 20 A y su cable, de 1,5 mm². Calcula la corriente de bloqueo, el tiempo hasta que el esmalte del bobinado llega a 155 °C, y di qué se quema antes, si el motor o la protección.
Solución
Bloqueado, ε = 0 y la corriente es I = V/R = 12/0,5 = 24 A. La potencia, toda en calor, es P = V·I = 288 W. El bobinado tiene 30 g de cobre, con calor específico 385 J/(kg·K), así que subir 130 K —de 25 a 155 °C— exige 0,030 × 385 × 130 = 1 502 J, y a 288 W eso son 5,2 segundos.
Se quema el motor. Un magnetotérmico de 20 A con curva C (I.2, artículo 03) sólo dispara instantáneamente a partir de 5 veces su calibre, es decir 100 A, y por la vía térmica tardaría minutos con 24 A. Cinco segundos frente a minutos: la protección del circuito no protege al motor, igual que el magnetotérmico no protege a las personas. La segunda lección es que cada protección protege exactamente una cosa, y por eso los motores llevan la suya propia —un protector térmico pegado al bobinado, o un relé de sobrecarga— que no vigila la instalación sino la temperatura del cobre. El caso doméstico que todo el mundo ha visto: el motor de una batidora que se para solo y vuelve a arrancar cinco minutos después no está averiado; su bimetal ha hecho justo esto.
Con el mismo motor, demuestra que la potencia mecánica máxima se da cuando la f.e.m. contraria es la mitad de la tensión, calcula cuánto vale, y explica por qué ningún motor de un coche eléctrico trabaja en ese punto.
Solución
La potencia mecánica es P = ε·I = ε(V − ε)/R, una parábola invertida en ε que se anula en ε = 0 y en ε = V, y por simetría es máxima en el punto medio, ε = V/2. Allí Pmax = (V/2)(V/2)/R = V²/4R = 72 W, con I = 12 A y un rendimiento de exactamente 50 %.
La segunda lección es que ese punto es un desastre económico. Un coche eléctrico que trabajara ahí tiraría la mitad de la batería en calentar el motor y tendría la mitad de autonomía; además, esos 72 W de este ejemplo son 72 kW en la escala de un coche, y disipar 72 kW en un bobinado exige una refrigeración de camión. Los motores de tracción se diseñan para vivir por encima del 90 % de rendimiento, es decir con ε > 0,9·V, y se acercan al punto de máxima potencia sólo durante unos segundos al acelerar a fondo. El punto de máxima potencia es un punto de emergencia, no un punto de trabajo — y esto vale igual para un motor, para una fuente de alimentación y para un panel solar.
En el panel interactivo, sube la constante del motor de 12 a 24 mN·m/A sin tocar nada más, con la carga en 10 mN·m. La velocidad cae de 7 232 a 4 561 rpm y la corriente, de 5,01 a 1,05 A. ¿Por qué un imán más fuerte hace un motor más lento? ¿Y por qué el rendimiento sube al 95,5 %?
Solución
Porque k hace dos cosas a la vez, y son opuestas en velocidad. Por un lado da más par por amperio (τ = kI), lo cual empuja más. Por otro genera más f.e.m. contraria por cada radián por segundo (ε = kω), lo cual frena antes: la velocidad de vacío es V/k, así que duplicar k divide por dos la velocidad de vacío. Con la misma carga, el motor necesita el mismo par, y con el doble de k lo consigue con la mitad de corriente: 1,05 A en vez de 5,01 A — algo más de la mitad, porque además va más despacio y el ventilador le opone menos par.
El rendimiento sube porque el calor va con I² mientras la potencia útil va con I: dividir la corriente por 4,8 divide el calor por 23 — y algo más, porque el bobinado más frío también resiste menos: se pasa de 14,6 W de pérdidas a 0,56 W, un factor 26. La segunda lección es la que ha movido toda la industria del imán permanente en los últimos cuarenta años: un motor mejor es, casi siempre, el mismo motor con un imán mejor. Y de qué depende que un imán sea mejor es exactamente el artículo 04.