El imán que sujeta la lista de la compra produce en su superficie unos 5 mT: ciento once veces el campo magnético de la Tierra. Y a cinco centímetros ya ha perdido — a esa distancia gana la Tierra. Un objeto que aplasta al planeta por dos órdenes de magnitud y se rinde en el grosor de un dedo: ésa es la firma del dipolo, y explicarla es la mitad de este artículo. La otra mitad es más incómoda, porque el campo magnético no puede hacer trabajo y sin embargo el imán levanta clips.
No hay carga magnética
El campo magnético se parece al eléctrico en que llena el espacio y se suma como vector, y se diferencia de él en algo esencial: no lo producen cargas magnéticas, porque no existen. Parte un imán por la mitad y no obtienes un norte y un sur separados, sino dos imanes completos, cada uno con sus dos polos. Nadie ha observado nunca un monopolo magnético, y no por falta de intentos: encontrar uno explicaría de un plumazo la cuantización de la carga eléctrica que quedó pendiente en el artículo 01.
Lo que sí produce campo magnético es la carga en movimiento: una corriente, o el giro de las cargas dentro de un átomo. La unidad es el tesla, y conviene tener la escala en la cabeza: de los 45 μT de la Tierra a los 3 T de una resonancia hay casi cinco órdenes de magnitud, y aun así todos ellos son campos «de andar por casa» — un magnetar llega a 10¹¹ T.
| Dónde | Campo | Veces el campo terrestre |
|---|---|---|
| Campo terrestre (Península) | 45 μT | 1 |
| Imán de nevera de ferrita, en la superficie | 5 mT | 111 |
| Imán de neodimio pequeño, en la superficie | 0,35 T | 7 800 |
| Resonancia magnética clínica | 3 T | 66 700 |
Problema. Un imán de nevera da 5 mT a 1 cm de su centro. ¿A qué distancia su campo iguala a los 45 μT de la Tierra?
Solución. El campo de un dipolo magnético decae con el cubo de la distancia, no con el cuadrado: hay un norte y un sur juntos, y a lo lejos casi se cancelan. Así que
A 2 cm el imán todavía da 625 μT; a 5 cm, 40 μT; a 10 cm, 5 μT — la novena parte del campo terrestre.
Resultado. 4,8 cm. Y el interés está en el exponente, no en el número: ese 3 en vez de 2 es la razón de que las brújulas hayan funcionado durante mil años pese a estar rodeadas de hierro, y de que el sensor magnético de un móvil se recalibre solo con alejarlo un palmo de cualquier altavoz. Compáralo con la carga eléctrica del artículo 02, que decae con el cuadrado: multiplicar por dos la distancia divide un campo eléctrico por 4 y uno dipolar por 8. Los dipolos son objetos locales de un modo en que las cargas no lo son.
La fuerza magnética es siempre de lado
Sobre una carga en movimiento, el campo magnético ejerce una fuerza perpendicular a la vez a la velocidad y al campo. Es la parte magnética de la fuerza de Lorentz, y su carácter perpendicular tiene una consecuencia que suele producir incredulidad: el campo magnético no puede cambiar la rapidez de una carga. Solo le curva la trayectoria. La potencia que entrega es el producto escalar de la fuerza por la velocidad, y dos vectores perpendiculares tienen producto escalar cero, siempre, en cualquier instante.
El resultado es que una carga suelta en un campo magnético uniforme gira en círculo para siempre a velocidad constante. Su radio de ciclotrón es r = mv/(qB) y su frecuencia de ciclotrón es f = qB/(2πm), que —detalle notable— no depende de lo rápido que vaya: si va el doble de rápido, el círculo es el doble de grande y tarda lo mismo en recorrerlo. Un electrón a 10⁶ m/s dentro de los 5 mT del imán de nevera describe un círculo de 1,14 mm de radio, dando 140 millones de vueltas por segundo, y al cabo de una hora sigue yendo exactamente a 10⁶ m/s.
Entonces, ¿cómo levanta el imán un clip?
Ésta es la pregunta que no se puede esquivar, porque levantar un clip de un gramo un centímetro son 98 μJ de trabajo perfectamente medibles, y acabamos de decir que el campo magnético no hace trabajo. Las dos cosas son ciertas, y la respuesta merece contarse entera en vez de elegir una de las dos.
La afirmación exacta es: la fuerza magnética sobre una carga puntual no hace trabajo sobre esa carga. Eso es un teorema, no una aproximación. El clip, en cambio, no es una carga puntual: es un montón de momentos magnéticos atómicos, y sobre un momento magnético en un campo no uniforme sí hay una fuerza neta que sí desplaza cosas. La contabilidad de esa energía es donde empieza lo interesante.
Si el momento magnético fuera una espira de corriente ordinaria —una pila y un alambre—, la respuesta sería limpia: al moverse la espira aparece una fuerza electromotriz inducida que se opone, la pila tiene que trabajar más para mantener la corriente, y es la pila quien paga el trabajo. Pero en un imán permanente no hay ninguna pila. Los momentos son en su mayor parte el espín del electrón, un momento magnético intrínseco que no es una corriente en circulación por mucho que se dibuje así. Para él, la contabilidad correcta atribuye el trabajo a la energía almacenada en el campo, y hacerla bien exige mecánica cuántica: el propio Griffiths, el libro guía del Nivel II de este sitio, dedica un apartado a advertirlo y deja el asunto abierto en su nivel.
Por qué esto no es una pega de pedante. Decirle «el campo magnético nunca hace trabajo» a alguien que tiene un imán en la mano, y dejarlo ahí, es la clase de media verdad que fabrica desconfianza: el lector ve que el imán levanta el clip, no ve la escapatoria, y concluye —con razón— que le están vendiendo un truco de vocabulario. La versión honesta tiene tres partes y ninguna sobra: (1) para una carga puntual es exacto y demostrable en una línea; (2) para un dipolo hay fuerza neta y hay trabajo, y quien lo paga depende de qué sostenga el dipolo; (3) para el espín del electrón la respuesta completa es cuántica, y el electromagnetismo clásico se queda corto por construcción. Un sitio que finge que todo está cerrado forma lectores incapaces de distinguir un resultado de una costumbre.
La cifra que une los cuatro artículos
Queda el remate. Dos cables paralelos separados 1 cm, con 16 A cada uno, se atraen con 5,12 mN por metro: el peso de medio gramo. Es una fuerza pequeña pero perfectamente real — de hecho, durante décadas fue la definición del amperio.
Ahora la pregunta interesante. Por cada metro de ese cable de 2,5 mm² circulan 3,40×10⁴ culombios de electrones de conducción. ¿Qué fuerza eléctrica ejercerían esos 34 000 C sobre los otros 34 000 C del cable de al lado, si no estuvieran neutralizados por los núcleos del metal?
El cociente es 4,06×10²³. Y ese número no es arbitrario: es exactamente (c/vd)², con la velocidad de arrastre de 0,470 mm/s del artículo 03. Dicho al derecho, la fuerza magnética entre dos conductores es (v/c)² veces la eléctrica, un factor 2,46×10⁻²⁴ — ridículo hasta lo cómico.
Si el magnetismo es 10²⁴ veces más débil que la electricidad, ¿por qué se nota? Porque la parte eléctrica se cancela exactamente. La neutralidad del artículo 01, esa que impide desequilibrios de una parte en 10⁹, cancela los 2,08×10²¹ N/m hasta el último dígito, y lo que queda en pie —lo único que queda— es el término magnético. El magnetismo es lo que se ve del electromagnetismo cuando lo grande se anula y solo sobrevive la corrección relativista. En el módulo III.2 esto se demuestra en serio, con transformaciones de Lorentz: el mismo campo que un observador llama eléctrico, otro que pase por delante lo llama magnético.
Y queda la promesa del artículo 02. La constante que fija la intensidad magnética es la permeabilidad del vacío, μ₀ = 1,2566×10⁻⁶ N/A², y junto con la permitividad ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m del campo eléctrico da
Dos constantes medidas con condensadores y con bobinas, en mesas de laboratorio, sin mirar ni una vez al cielo — y su combinación da exactamente la velocidad de la luz. Cuando Maxwell obtuvo ese número en 1862 escribió que «apenas podemos evitar la conclusión» de que la luz es una onda electromagnética. Ése es el destino del sitio entero, y el módulo I.5 lo cuenta sin fórmulas antes de que el II.6 lo demuestre.
Ejercicios
Un electrón entra a 10⁶ m/s perpendicularmente a los 5 mT de un imán de nevera. Calcula el radio y el periodo de su órbita, y di cuánto trabajo hace el campo sobre él en un millón de vueltas.
Solución
r = mv/(qB) = 9,11×10⁻³¹ × 10⁶ / (1,60×10⁻¹⁹ × 5×10⁻³) = 1,14 mm. El periodo es T = 2πm/(qB) = 7,15 ns, es decir 140 MHz. Y el trabajo en un millón de vueltas es exactamente cero, igual que en una sola y que en ninguna: la fuerza es perpendicular a la velocidad en todo instante. El electrón sale con los mismos 2,84 eV con los que entró.
La segunda lección está en el periodo: no aparece la velocidad por ningún lado. Duplica la energía del electrón y el círculo se duplica, pero la frecuencia no se mueve. Ésa es la propiedad que permitió a Lawrence construir el ciclotrón en 1932 con un solo oscilador de frecuencia fija — y también la que lo rompe cuando las partículas se acercan a la velocidad de la luz y su masa efectiva cambia, que es por lo que los aceleradores modernos son sincrotrones y no ciclotrones.
¿Por qué el hierro se pega al imán y el aluminio no, si los átomos de ambos tienen electrones con espín? Compara la energía de interacción entre dos momentos magnéticos vecinos, separados 0,25 nm, con la agitación térmica a 300 K, y saca la conclusión que toca.
Solución
La interacción magnética entre dos magnetones de Bohr a 0,25 nm vale del orden de μ₀μB²/(4πr³) = 5,5×10⁻²⁵ J = 3,4 μeV. La agitación térmica a 300 K es kT = 25,9 meV, 7 500 veces mayor.
La conclusión es demoledora y va en contra de la imagen habitual: si el ferromagnetismo se debiera a que los imancitos atómicos se atraen entre sí, ningún material sería magnético por encima de una centésima de kelvin. La temperatura de Curie del hierro son 1 043 K, que corresponden a 89,9 meV — veintiséis mil veces la energía magnética entre vecinos. Lo que alinea los espines no es el magnetismo: es la interacción de canje, un efecto puramente cuántico que combina la repulsión eléctrica con el principio de exclusión de Pauli. El hierro es ferromagnético por razones eléctricas. Y el aluminio, con la misma clase de electrones, no lo es porque su estructura de bandas no favorece esa alineación — una respuesta que este nivel no puede dar entera y que espera en Cristalario.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Carga elemental | e = 1,602×10⁻¹⁹ C (exacta por definición del SI, 2019) | art. 01 |
| Constante de Coulomb | k = 1/(4πε₀) = 8,99×10⁹ N·m²/C²; ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m | art. 01 |
| Ley de Coulomb | F = k q₁q₂/r²; dos cargas de 1 C a 1 m → 8,99×10⁹ N | art. 01, ej. 1 |
| Eléctrica frente a gravitatoria | 1,24×10³⁶ (protones) · 2,27×10³⁹ (e-p) · 4,17×10⁴² (electrones) | art. 01, ej. 2 |
| Carga contenida en la materia | 3,38×10⁹ C por cada 70 kg, de cada signo | art. 01 |
| Coste de romper la neutralidad | 1 parte en 10⁹ a 1 m → 1,02×10¹¹ N (10,4 millones de t) | art. 01, interactivo |
| Rigidez dieléctrica del aire | 3,0 MV/m; globo de 12 cm → 4,81 μC como máximo | art. 01 |
| Campo eléctrico | E = F/q, en V/m; 1 nC a 1 cm → 8,99×10⁴ V/m | art. 02 |
| Superposición | Suma vectorial exacta; dipolo de ±1 nC a 10 cm → 7,19×10³ V/m en el centro | art. 02 |
| Campo atmosférico de buen tiempo | ≈ 100 V/m hacia abajo; 180 V entre cabeza y pies | art. 02 |
| Conductor en equilibrio | E interior = 0 exactamente; se establece en ~10⁻¹⁹ s en el cobre | art. 02 |
| Jaula de Faraday | No necesita toma de tierra; malla eficaz si λ ≫ agujero (12,2 cm frente a 1,5 mm) | art. 02, callout |
| Chispa como voltímetro | V = 3,0 MV/m × d; 3,3 mm → 10 kV, 1,5 μC, 7,5 mJ (C ≈ 150 pF) | art. 02 |
| Rayo típico | 15 C a 3×10⁸ V = 4,5×10⁹ J = 1 250 kWh; pico de 30 kA | art. 03 |
| Red eléctrica española | 230 V eficaces (±325 V de pico) a 50 Hz; P = V·I | art. 03 |
| Densidad de portadores del cobre | n = 8,49×10²⁸ m⁻³ (un electrón por átomo) | art. 03 |
| Velocidad de arrastre | v = I/(nAe); 16 A en 2,5 mm² → 0,470 mm/s (5,9 h para 10 m) | art. 03 |
| Vaivén en alterna | Amplitud 2,1 μm a 50 Hz — el electrón no viaja, oscila | art. 03 |
| Las tres velocidades del cable | Arrastre 4,7×10⁻⁴ · Fermi 1,57×10⁶ · señal 2×10⁸ m/s | art. 03 |
| Resistividad del cobre | ρ = 1,68×10⁻⁸ Ω·m; 100 m de 1,5 mm² (ida y vuelta) = 2,24 Ω | art. 03, ej. 2 |
| Escala del campo magnético | 45 μT Tierra · 5 mT nevera · 0,35 T neodimio · 3 T resonancia | art. 04 |
| Caída del dipolo | B ∝ 1/r³; el imán de nevera empata con la Tierra a 4,8 cm | art. 04 |
| Fuerza magnética | Siempre ⊥ a v: no cambia la rapidez, no hace trabajo sobre una carga puntual | art. 04 |
| Ciclotrón | r = mv/(qB), f = qB/(2πm) sin depender de v; e⁻ a 10⁶ m/s en 5 mT → 1,14 mm, 140 MHz | art. 04, ej. 1 |
| Origen del ferromagnetismo | Canje, no magnetismo: 3,4 μeV dipolar frente a 89,9 meV de TCurie | art. 04, ej. 2 |
| Magnetismo como corrección relativista | Fmag/Felec = (v/c)² = 2,46×10⁻²⁴; sobrevive porque la eléctrica se cancela | art. 04 |
Fin del módulo I.1. Con esto ya tienes lo que el electromagnetismo tiene de único: una fuerza con dos signos, tan intensa que la materia no puede permitirse desequilibrarla, y un campo que la transmite punto por punto en vez de a distancia. Con eso solo has explicado el chispazo de la manilla, la jaula de Faraday, por qué un rayo y un enchufe son el mismo fenómeno a distinta tensión, y por qué el magnetismo —una corrección de 10⁻²⁴— resulta ser visible.
Lo que falta es todo lo que ocurre cuando ese movimiento de carga se organiza. Aquí hemos calculado corrientes sueltas; no hemos dicho qué las gobierna cuando hay varios caminos, ni por qué la nevera y la lámpara no se estorban, ni de dónde sale el número que aparece en la factura. El módulo I.2 construye el circuito —tensión, corriente, resistencia y potencia— y con él se puede por fin responder a preguntas que hasta ahora solo hemos podido rodear: cuánto cuesta de verdad tener el router encendido un año, qué hace exactamente un fusible en el milisegundo en el que salva la instalación, y por qué la electricidad se transporta a 400 000 V.