La resistividad del cobre es 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m. La del cuarzo fundido, 7,5 × 10¹⁷. Entre los dos hay un factor 4 × 10²⁵, veinticinco órdenes de magnitud, y los dos son sólidos corrientes que puedes tener encima de la mesa. Ninguna otra propiedad de la materia ordinaria se estira tanto: las densidades de los sólidos caben en un factor 40, y sus conductividades térmicas, en menos de 10⁵. Este artículo es sobre de dónde sale ese abismo — y adelanto la respuesta, porque es contraintuitiva: no es que en el cuarzo las cargas se muevan mal; es que casi no hay cargas que mover.
Un metal y un semiconductor no se distinguen por conducir «mucho» o «poco»: se distinguen por de dónde salen los portadores de carga. En el metal ya están ahí y no dependen de la temperatura; en el semiconductor hay que fabricarlos con calor, y por eso su número explota al calentar. Mueve el termómetro y mira las dos primeras cifras.
Resistividad en Ω·m, escala logarítmica.
A 300 K el Si tiene 9,65 × 10⁹ portadores por cm³: uno por cada 5,2 × 10¹² átomos del cristal. El cobre tiene 8,49 × 10²², más de uno por átomo. Ésa es toda la diferencia entre un metal y un semiconductor, y no es «medio conductor»: son 12.9 órdenes de magnitud de portadores. Mueve el termómetro a 200 K y a 600 K.
Metales: resistividad a 20 °C y coeficiente térmico de tablas de referencia, con la ley lineal válida en este intervalo. Semiconductores: gap y movilidades de Sze, Physics of Semiconductor Devices; ni(300 K) medida — Si, Sproul & Green (1991). Movilidades fijas en su valor de 300 K, ver el comentario del código.
El abanico más ancho de la física de materiales
| Material | Resistividad (Ω·m) | Veces el cobre |
|---|---|---|
| Plata | 1,59 × 10⁻⁸ | 0,95 |
| Cobre | 1,68 × 10⁻⁸ | 1 |
| Aluminio | 2,65 × 10⁻⁸ | 1,6 |
| Hierro | 9,71 × 10⁻⁸ | 5,8 |
| Germanio puro | 0,46 | 2,7 × 10⁷ |
| Silicio puro | 3,3 × 10³ | 2,0 × 10¹¹ |
| Vidrio | ≈ 10¹² | 6 × 10¹⁹ |
| Cuarzo fundido | 7,5 × 10¹⁷ | 4,5 × 10²⁵ |
Fíjate en dónde están los saltos. De la plata al hierro hay un factor 6: todos los metales se parecen. Del hierro al silicio hay diez órdenes de magnitud de golpe. Y del silicio al cuarzo, catorce más. La materia no reparte sus conductividades de forma continua: se agrupa en familias separadas por precipicios, y eso ya es una pista de que detrás hay un mecanismo de todo-o-nada, no un parámetro que se pueda ajustar poco a poco.
La pregunta correcta es cuántos portadores hay
La corriente que atraviesa un material depende de tres cosas: cuántos portadores de carga hay por unidad de volumen, cuánta carga lleva cada uno y con qué facilidad se mueven —su movilidad—. Como la carga es siempre la misma, sólo quedan dos candidatos para explicar veinticinco órdenes de magnitud. Y uno de los dos se descarta enseguida, con una sorpresa dentro: la movilidad de los electrones del cobre es de 44 cm²/(V·s), la del silicio 1450 y la del arseniuro de galio 8500. Es decir, los electrones se mueven treinta veces peor en el cobre que en el silicio, y aun así el cobre conduce 10¹¹ veces mejor. Las movilidades de toda la tabla caben en un factor 200; el abismo es de 10²⁵. No puede ser eso. Queda el número de portadores.
| Material | Portadores por cm³ a 300 K | Átomos por portador |
|---|---|---|
| Cobre | 8,49 × 10²² | 1 (un electrón por átomo) |
| Germanio puro | 2,4 × 10¹³ | 1,8 × 10⁹ |
| Silicio puro | 9,65 × 10⁹ | 5,2 × 10¹² |
Ahí está el abismo, y con nombre y apellidos: por cada electrón libre que hay en el silicio puro, el cobre tiene 8,8 billones. En el cobre, cada átomo suelta un electrón al fondo común. En el silicio, hay que romper un enlace covalente para liberar uno, y eso cuesta 1,12 eV — cuarenta y tres veces la energía térmica de 0,0259 eV que hay disponible a temperatura ambiente. La probabilidad de conseguirlo es exponencialmente pequeña, y de ahí que sólo un átomo de cada cinco billones aporte un portador. El interactivo de arriba deja ver esa exponencial en acción: sube el termómetro y mira lo que le pasa al silicio frente a lo que le pasa al cobre.
Problema. Por un cable de cobre de 1 mm² de sección pasan 10 amperios. Con 8,49 × 10²² electrones libres por cm³, ¿a qué velocidad media avanzan los electrones?
Solución. Un amperio es un culombio por segundo. La corriente es la carga que cruza la sección por unidad de tiempo, así que y por tanto
Resultado. 0,74 milímetros por segundo: un electrón tarda veintitrés minutos en recorrer un metro de cable. Y sin embargo la bombilla se enciende al instante, porque lo que viaja rápido no son los electrones sino el campo eléctrico que los empuja, a una fracción apreciable de la velocidad de la luz. La imagen de «electrones corriendo por el cable» es exactamente al revés de lo que pasa: hay un río lentísimo y densísimo, no un chorro veloz. Y ahí está la compensación que explica el resultado: con 10²⁹ portadores por metro cúbico, moverse a paso de tortuga basta para llevar 10 amperios.
Drude acertó, y hay que abandonarlo igualmente
En 1900, tres años después del descubrimiento del electrón, Paul Drude propuso el modelo de Drude: los electrones de un metal son un gas de bolas clásicas que rebotan contra los iones. Con esa imagen dedujo la ley de Ohm, obtuvo una fórmula para la conductividad que sigue usándose y explicó la ley de Wiedemann-Franz —el hecho, medido desde 1853, de que los metales que conducen bien la electricidad conducen bien el calor en la misma proporción—. Es uno de los modelos más rentables de la historia de la física.
Y su imagen central es falsa. La forma de saberlo no es filosófica, es un número: si los electrones fueran un gas clásico, contribuirían al calor específico del metal con J/(mol·K), sumándose a los de los átomos vibrando. Un cobre así tendría un calor específico de 37,4 J/(mol·K). Lo que mide el calorímetro son 24,44, es decir, los átomos y prácticamente nada más.
Los «electrones libres» existen, pero no son un gas. La contribución electrónica medida en el cobre a 300 K es de 0,21 J/(mol·K): sesenta veces menos que la predicción clásica, y un 0,9 % del calor específico total. El fallo no es de detalle. La razón la dio Sommerfeld en 1927 y es puramente cuántica: los electrones de un metal obedecen el principio de exclusión, así que se apilan hasta una energía altísima —la energía de Fermi, 7,0 eV en el cobre, equivalente a una temperatura de 82 000 K—. Calentar el metal 300 K sólo puede excitar a los que están a menos de del tope, que son una fracción = 0,37 % del total. Los demás no pueden absorber calor: no tienen a dónde ir.
Y aquí llega el detalle que a Drude le salvó y que conviene conocer, porque enseña algo sobre cómo funciona la ciencia. Su acierto con Wiedemann-Franz se debió a que se equivocó dos veces en direcciones contrarias: el calor específico que usó es unas sesenta veces mayor que el real, y la velocidad cuadrática media que usó, ciento ochenta veces menor. En el cociente que define la ley, los dos errores se comen casi enteros. Drude publicó 2,2 × 10⁻⁸ W·Ω/K² frente a los 2,25 × 10⁻⁸ que se miden hoy en el cobre — acuerdo espectacular, y en parte por un error aritmético de 2 en su propio cálculo; la deducción clásica correcta da 1,11 × 10⁻⁸, la mitad de lo medido. Con la estadística cuántica sale 2,44 × 10⁻⁸, que es el valor bueno. Un modelo puede acertar en un número y estar equivocado de raíz, y ésa es justo la situación en la que hace falta medir otra cosa.
Un semiconductor no es «medio conductor»
El nombre es desafortunado y engaña a mucha gente. Un semiconductor no está a medio camino entre el cobre y el vidrio: el silicio puro es doscientos mil millones de veces peor conductor que el cobre. Si sólo fuera eso, sería un mal aislante y nadie habría construido nada con él.
Lo que lo hace único es que su conductividad se controla. La banda prohibida del silicio, 1,12 eV, es lo bastante grande para que casi ningún electrón la cruce por accidente térmico, y lo bastante pequeña para que se pueda manipular a voluntad: basta sustituir un átomo de silicio por uno de fósforo —que tiene un electrón de valencia de más— para regalar un portador que no necesita romper ningún enlace. Eso es el dopado, y su eficacia es difícil de exagerar.
Problema. Se dopa silicio con fósforo en proporción de 1 átomo por millón. Sabiendo que hay 4,99 × 10²² átomos de silicio por cm³ y que la movilidad de los electrones es de 1450 cm²/(V·s), calcula la conductividad y compárala con la del silicio puro, 3,0 × 10⁻⁶ S/cm.
Solución. Una parte por millón son 4,99 × 10¹⁶ átomos de fósforo por cm³, y cada uno aporta un electrón:
Resultado. Un millonésimo de impureza multiplica la conductividad por 3,8 millones. Ninguna otra propiedad de ningún material responde así a una contaminación de una parte por millón — y esa sensibilidad brutal es a la vez la razón de que exista la microelectrónica y la razón de que el silicio de los chips tenga que ser el material más puro que fabrica la industria (artículo 04). Dos matices que la cifra no dice: el silicio dopado sigue siendo 51 000 veces peor conductor que el cobre, así que dopar no es «convertir en metal»; y lo valioso no es la conductividad alta, sino que puedas elegirla, y elegirla distinta en dos zonas del mismo cristal separadas por micras.
Hay una segunda diferencia, y es la que usa el interactivo de arriba para distinguirlos sin mirar la etiqueta: el signo de la respuesta a la temperatura. Calienta un metal y conduce peor, porque sus electrones siguen siendo los mismos y la red vibra más y les estorba; el cobre empeora un 245 % entre 200 K y 600 K. Calienta un semiconductor y conduce mejor, porque aparecen portadores nuevos: en ese mismo intervalo, el silicio gana diez órdenes de magnitud de portadores. Un termómetro y un óhmetro bastan para clasificar un material desconocido.
Ejercicios
El germanio tiene un gap de 0,66 eV y el silicio, de 1,12 eV. A 300 K sus concentraciones de portadores son 2,4 × 10¹³ y 9,65 × 10⁹ cm⁻³. ¿Es razonable esa diferencia de 2500 veces con una diferencia de gap de sólo 0,46 eV?
Solución
Sí, y el cálculo cabe en una línea. El número de portadores va como , así que el cociente entre los dos materiales es aproximadamente . El valor real (2500) es tres veces menor porque los prefactores de cada material no son iguales, pero el orden de magnitud lo pone la exponencial ella sola. La segunda lección es la que hay que llevarse: medio electronvoltio de diferencia son tres o cuatro órdenes de magnitud de conductividad. En este dominio, las diferencias pequeñas de energía producen diferencias enormes de comportamiento, y por eso el gap es el número que define a un semiconductor.
El diamante tiene un gap de 5,47 eV. Sin calcular nada todavía, di si esperas que conduzca. Después estima el cociente entre sus portadores y los del silicio a 300 K, y comprueba si tu intuición era del tamaño correcto.
Solución
La exponencial da . Con los 9,65 × 10⁹ portadores del silicio como referencia, al diamante le tocarían 3 × 10⁻²⁷ portadores por cm³, que es una forma aritmética de decir «ninguno»: harían falta 3 × 10²⁶ cm³ de diamante —un cubo de siete mil kilómetros de lado, del tamaño de la Tierra— para encontrar un solo electrón libre de origen térmico. El diamante es el aislante perfecto por la misma razón por la que el silicio es útil: por dónde cae su gap. Y de propina, la pregunta que abre el módulo I.5: si esto es así, ¿por qué el diamante dopado con boro sí conduce, e incluso se hace superconductor por debajo de 4 K?
Un fabricante anuncia un cable «de cobre monocristalino de alta pureza» que mejora el sonido de un equipo de música porque «los electrones fluyen sin obstáculos». ¿Qué número le pedirías?
Solución
La resistividad, que es lo único que puede cambiar. El cobre comercial recocido ya está en 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m; el mejor cobre monocristalino baja como mucho un 2 %, porque a temperatura ambiente lo que frena a los electrones no son las impurezas ni las fronteras de grano, sino la vibración térmica de la red — que está ahí igual en el cristal más perfecto del mundo. Los números: un cable de 3 m y 2,5 mm² de sección tiene 20 miliohmios, y un 2 % de eso son 0,4 miliohmios frente a los 4 ohmios del altavoz que hay al otro extremo. Una parte en diez mil, en un sistema cuyo amplificador varía más que eso al calentarse. La pureza del cobre sí importa, y muchísimo — pero a 4 K, que es donde las impurezas pasan a mandar porque la red ya no vibra. A 300 K el que manda es el termómetro, no el catálogo.