Coge un kilómetro de raíl de acero, súbele la temperatura 30 grados —de una noche de marzo a una tarde de julio— y déjalo libre: se alarga 36 centímetros. La vía moderna está soldada de estación a estación y no lo deja: los raíles no tienen juntas y no se pueden mover. Toda esa dilatación que no ocurre se convierte en otra cosa, megapascales, que en la sección de un raíl UIC 60 son 580 kilonewton: el equivalente a colgarle 59 toneladas. Todos los veranos, en algún sitio, la vía pierde ese pulso y se retuerce.
Un sólido se dilata porque el enlace no es simétrico
La primera pregunta no es cuánto se dilata un sólido, sino por qué se dilata en absoluto. Si los átomos vibraran como masas colgadas de muelles perfectos, la respuesta sería no lo hace: un muelle ideal oscila simétricamente alrededor de su posición de reposo, y por mucho que aumente la amplitud, la posición media no se mueve ni un picómetro. Calentar aumentaría la agitación y no la longitud.
Lo que ocurre es que el pozo de energía de un enlace no es simétrico. Acercar dos átomos cuesta cada vez más deprisa —la repulsión entre sus nubes electrónicas se dispara— mientras que separarlos cuesta cada vez menos, hasta que el enlace se suelta. Un átomo que vibra en un pozo así tiene más sitio por el lado de fuera que por el de dentro, y su posición media se corre hacia fuera al aumentar la amplitud. Esa asimetría se llama anarmonicidad, y es literalmente la única razón de que los sólidos se dilaten. Sin ella no habría dilatación térmica — y, como se verá en el artículo 04, tampoco habría resistencia al paso del calor.
Las amplitudes se pueden poner en números. La teoría de Debye da el desplazamiento cuadrático medio de un átomo, y para el cobre —cuyos vecinos están a 2,556 Å— sale:
| Cobre a | Amplitud de vibración | En % de la distancia entre vecinos |
|---|---|---|
| 300 K | 13,2 pm | 5,2 % |
| 1358 K (funde) | 28,2 pm | 11,0 % |
Dos lecturas, y las dos útiles. La primera: a temperatura ambiente un átomo se mueve un veinteavo de la distancia a su vecino, así que el cristal es mucho más quieto de lo que sugieren los dibujos — pero no tan quieto como para que la asimetría del pozo no cuente. La segunda es que ese 11 % del punto de fusión no es casualidad: es el criterio de Lindemann, la regla empírica de 1910 según la cual un cristal funde cuando la amplitud de vibración llega al 10 % de la distancia entre átomos, y vale para casi todos los materiales. Fundir no es romper enlaces uno a uno: es que el temblor se hace tan grande que la red deja de saber dónde está cada uno.
Cuánto se dilata cada cosa, y la regularidad que hay detrás
El coeficiente de dilatación térmica mide la fracción de longitud que se gana por kelvin. Los valores van de 1 a 29 millonésimas por grado, un factor 29 entre el diamante y el plomo:
| Material | (10⁻⁶/K) | (K) | ||
|---|---|---|---|---|
| Plomo | 28,9 | 601 | 0,0174 | 2,73 |
| Aluminio | 23,1 | 933 | 0,0216 | 2,17 |
| Plata | 18,9 | 1235 | 0,0233 | 2,30 |
| Cobre | 16,5 | 1358 | 0,0224 | 2,01 |
| Oro | 14,2 | 1337 | 0,0190 | 3,08 |
| Hierro | 11,8 | 1811 | 0,0214 | 1,70 |
| Wolframio | 4,5 | 3695 | 0,0166 | 1,65 |
| Silicio | 2,6 | 1687 | 0,0044 | 0,46 |
| Diamante* | 1,0 | 4300* | 0,0043 | 0,74 |
* El diamante no funde a presión ambiente, y por eso esa fila lleva asterisco. Por debajo de unos 10 GPa la ruta estable no es el líquido sino el grafito: el diamante grafitiza a partir de ~1700 K en vacío, y el grafito sublima hacia los 3900 K sin pasar por líquido. Los 4300 K son el punto de fusión del carbono, que sólo existe por encima del punto triple —unos 10,8 MPa y ~4600 K según la medida—. Se incluyen para cerrar la comparación de la cuarta columna, no porque haya ningún diamante fundiéndose a esa temperatura en ninguna parte.
La cuarta columna es la sorpresa. En los siete metales, se mueve entre 0,0166 y 0,0233, con una media de 0,0202: es decir, todos los metales se dilatan un 2 % entre el cero absoluto y su punto de fusión, valgan lo que valgan su punto de fusión y su coeficiente. El wolframio se dilata 6,4 veces menos por grado que el plomo, pero tiene 6,1 veces más grados por delante antes de fundir, y el resultado final es el mismo. Es la misma clase de regularidad que el módulo I.2 encontró en las vacantes, y por el mismo motivo: cuando todas las energías de un sólido las fija el mismo enlace, sus cocientes dejan de depender del material.
La quinta columna es el parámetro de Grüneisen, que no es una predicción sino una definición: mide, en un solo número adimensional, cuánta dilatación produce el calor que se guarda. Su interés es precisamente que sale en torno a 2 en todos los metales, de 1,65 a 3,08, sin que nadie lo haya ajustado — es el mismo fenómeno de la cuarta columna, visto desde otro lado. Y con las dos últimas filas se puede leer la excepción: el silicio y el diamante se quedan en 0,46 y 0,74, por debajo de 1. Sus enlaces son direccionales y su pozo es mucho más simétrico, así que guardan calor igual que cualquiera —eso es Dulong y Petit— y lo convierten en dilatación entre tres y cinco veces peor. Un enlace covalente es un enlace poco anarmónico, y ése es también el motivo de que el diamante conduzca el calor como lo conduce.
La vía no tiene juntas, y ésa es la parte difícil
Todo el mundo ha oído el «ta-tá» de los raíles y se lo han explicado como las juntas de dilatación. Era verdad hasta los años sesenta: con carriles de 18 metros y 30 grados de recorrido térmico, cada uno crece 6,5 mm, y por eso se dejaban juntas de un centímetro. Pero la vía moderna es un solo raíl continuo soldado de kilómetros de longitud, sin ninguna junta, y el ruido que queda viene de las soldaduras y de los desvíos. La pregunta interesante es entonces cómo se las arregla.
La respuesta es que no se le permite dilatarse en absoluto, y se paga el precio en tensión térmica. Un raíl impedido desarrolla
que no depende de la longitud: da igual que el raíl mida diez metros o diez kilómetros. La vía se sujeta al balasto con sujeciones elásticas que aguantan ese esfuerzo por rozamiento, y —esto es lo bonito del oficio— el raíl se estira en obra antes de soldarlo, con gatos hidráulicos, hasta dejarlo sin tensión a una temperatura neutra elegida según el clima, del orden de 30 °C en España. Así el verano lo comprime menos y el invierno lo estira menos: se reparte el problema en dos mitades en vez de dejarlo entero en el lado peligroso.
Y el lado peligroso es el caliente, aunque la tensión sea la misma en los dos. A tracción, los 75,6 MPa del ejemplo son el 15 % del límite elástico del acero de raíl: no pasa nada. A compresión, en cambio, el problema no es de resistencia sino de estabilidad: una barra comprimida no se rompe, se pandea, y basta un tramo con el balasto flojo para que la vía salga de sitio de golpe. Se llama sun kink y es la razón por la que se imponen limitaciones de velocidad en las olas de calor.
Problema. Un kilómetro de raíl UIC 60 (sección 76,7 cm², 60,3 kg/m) de acero con GPa y /K se calienta 30 K. Calcula cuánto se alargaría libre, qué tensión aparece si está impedido y qué fuerza es ésa. Comprueba de paso que la sección del perfil es coherente con su peso por metro.
Solución. Libre: m. Impedido, esa deformación se convierte en tensión:
y la fuerza es kN, o sea 59 toneladas-fuerza. La comprobación del perfil: 60,3 kg/m dividido por los 7850 kg/m³ del acero da 76,8 cm² de sección, frente a los 76,7 de la ficha técnica.
Resultado. Cincuenta y nueve toneladas empujando en cada raíl, y una vía normal tiene dos. El detalle que conviene retener no es el número sino de qué no depende: la tensión no lleva la longitud dentro. Un raíl de un kilómetro y un tornillo de un centímetro apretado entre dos topes desarrollan exactamente los mismos 75,6 MPa con los mismos 30 grados. Por eso la dilatación impedida es un problema de ingeniería en todas las escalas a la vez —de la vía férrea a la soldadura de un chip— y por eso las estructuras llevan juntas de dilatación, apoyos deslizantes y liras en las tuberías: son todas maneras de devolverle al material los milímetros que se le han quitado. Y la comprobación cruzada del peso por metro vale la pena por sí sola: sección y masa lineal son dos datos independientes de la misma ficha, y cuadran al 0,2 %.
Lo que rompe no es dilatarse, es que te lo impidan
El mismo explica el accidente doméstico más común de la cocina. Si echas agua hirviendo en un vaso, la cara interior se calienta antes que la exterior y quiere crecer; la exterior, que sigue fría, no la deja. La cara interior queda comprimida y la exterior, en tracción — y el vidrio, que aguanta la compresión estupendamente, rompe a tracción con 41 MPa, como dejó medido el módulo I.2. Es el choque térmico, y da un número directo: el salto de temperatura que parte cada vidrio.
| Vidrio | (GPa) | (10⁻⁶/K) | Rompe a | que lo parte |
|---|---|---|---|---|
| Sosa-cal (vaso, ventana) | 70 | 9,0 | 41 MPa | 65 K |
| Borosilicato (Pyrex) | 64 | 3,3 | 41 MPa | 194 K |
| Cuarzo fundido | 72 | 0,55 | 50 MPa | 1263 K |
A los dos primeros se les ha dado la misma resistencia a tracción, 41 MPa, que es lo que mide un ensayo de vidrio recocido corriente: la diferencia entre ellos está entera en el coeficiente de dilatación y no en la resistencia, y hacerlo así lo deja a la vista.
El agua del grifo está a 15 °C y la hirviendo a 100: 85 grados, por encima de los 65 que aguanta un vaso corriente. La cuenta predice el accidente. Y predice también la solución comercial: el borosilicato no es más fuerte que el vidrio normal —rompe a la misma tensión— sino que se dilata 2,7 veces menos, y con eso multiplica por tres el salto térmico que soporta. Toda la fama del Pyrex está en la tercera columna de esa tabla, no en la cuarta.
Problema. Calcula el salto de temperatura que rompe un vaso de sosa-cal y uno de borosilicato, sabiendo que los dos rompen a 41 MPa a tracción. Después explica por qué un vaso fino aguanta más que uno grueso, si el material es el mismo.
Solución. Igualando la tensión térmica a la resistencia:
y para el borosilicato, con GPa y /K, salen 194 K. El cociente es 2,98: exactamente tres veces.
Resultado. Sesenta y cinco grados contra ciento noventa y cuatro, y el agua hirviendo sobre agua del grifo son ochenta y cinco: el vaso corriente está condenado y el Pyrex ni se entera. La segunda pregunta tiene la respuesta más útil del artículo, porque la fórmula de arriba es el peor caso —supone que la cara caliente llega a los 100 °C mientras la fría sigue a 15— y eso sólo ocurre si el vidrio es lo bastante grueso para que el calor no lo atraviese durante el choque. Un vaso fino se pone entero a la misma temperatura en un instante, no llega a tener las dos caras distintas y no desarrolla tensión: aguanta más siendo el mismo material y siendo más débil. De ahí la regla de la abuela —meter una cucharilla metálica en el vaso antes de echar el agua— que también funciona, y por otra razón: la cuchara se lleva calor y baja el salto real. La resistencia al choque térmico es una propiedad de la pieza y de lo que le pasa, no sólo del material.
El hormigón armado existe por una coincidencia de dos cifras. Meter barras de acero dentro del hormigón sólo funciona si los dos se dilatan igual; si no, cada verano el acero empujaría al hormigón desde dentro y cada invierno se despegaría de él. Los números: 12 × 10⁻⁶/K para el acero y entre 10 y 13 × 10⁻⁶/K para el hormigón, que no tienen absolutamente nada que ver el uno con el otro —un metal cristalino y una piedra artificial de silicatos hidratados— y coinciden. Si difirieran sólo un 20 %, cuarenta grados de recorrido térmico meterían 20 MPa en la interfaz, casi siete veces la resistencia a tracción del hormigón —que anda por los 3 MPa—, y el material se descosería solo en un par de inviernos. El siglo XX de la construcción se apoya, literalmente, en que dos materiales sin parentesco dieran el mismo número.
Y cuando la coincidencia no está, se fabrica. En 1896, Charles Édouard Guillaume buscaba un patrón de longitud que no dependiera de la temperatura y encontró que una aleación de hierro con un 36 % de níquel tenía /K, diez veces menos que el acero. La llamó Invar y le dieron el Nobel de Física en 1920, el único concedido por el descubrimiento de una aleación. El mecanismo es magnético: la imanación del Invar disminuye al calentar y encoge la red justo lo que la anarmonicidad la estira, así que las dos se cancelan. Con eso viene la letra pequeña, y conviene decirla: el truco sólo funciona mientras el material es magnético. Por encima de unos 200 °C el efecto se desvanece y el Invar se dilata como cualquier acero. Es un material excepcional dentro de una ventana, no un material sin dilatación.
Ejercicios
La torre Eiffel mide 300 metros hasta la azotea y es de hierro pudelado (/K). Entre una noche de invierno a −10 °C y una tarde de verano en que el sol pone el metal a 40 °C hay 50 grados. ¿Cuánto crece? ¿Y qué tensión aparecería si alguien le impidiera crecer?
Solución
300 × 11,8 × 10⁻⁶ × 50 = 0,177 m: casi 18 centímetros. Y la respuesta a la segunda pregunta es que nadie se lo impide, y ahí está la gracia: la torre está apoyada en el suelo y libre por arriba, así que crece sin desarrollar ninguna tensión. Si estuviera empotrada por los dos extremos aparecerían MPa, que es más de la mitad del límite elástico del hierro pudelado —unos 210 MPa— y bastante más de lo que ninguna estructura admite como carga permanente.
La segunda lección es la regla de diseño que resume el artículo: la dilatación no cuesta nada; impedirla cuesta muchísimo. Por eso los puentes se apoyan en neoprenos o en rodillos, las tuberías de vapor llevan liras, y una vía de tren —que no puede permitirse ninguna de esas soluciones, porque encima tiene que estar recta— es la excepción cara que obliga a tensar los raíles en obra. Cuando una estructura se agrieta con el calor, casi nunca es que el material fuera malo: es que alguien la sujetó por los dos extremos.
Una lámina bimetálica de termostato lleva latón (/K) soldado a acero (12 × 10⁻⁶/K). Con 100 mm de longitud y 50 grados de calentamiento, ¿cuánto se diferencian las dos longitudes? ¿Y cómo se convierte eso en un interruptor?
Solución
100 mm × (19 − 12) × 10⁻⁶ × 50 = 0,035 mm, es decir 35 micras. Parece ridículo, y ahí está el truco: como las dos capas están soldadas, no pueden tener longitudes distintas, así que la lámina se curva hasta que el latón recorre el arco de fuera y el acero el de dentro. Una curvatura pequeñísima distribuida a lo largo de 100 mm levanta el extremo libre bastante más de 35 micras — décimas de milímetro, de sobra para abrir un contacto.
La segunda lección es que ese es el patrón de casi toda la instrumentación clásica: la geometría amplifica. Una diferencia de 35 micras se convierte en un movimiento visible, igual que la balanza de torsión convierte una fuerza minúscula en un giro medible o que una palanca larga convierte una dilatación en una aguja que se mueve. Antes de la electrónica, medir consistía casi siempre en encontrar la palanca adecuada — y los termostatos bimetálicos siguen en cafeteras, planchas y radiadores porque no necesitan pilas.
Un puente de acero de 1000 m con 50 grados de recorrido térmico necesita una junta de dilatación de 0,6 m. Una vía de tren de 1000 m con 30 grados no lleva ninguna. Los dos son de acero. ¿Por qué la vía puede permitirse lo que el puente no?
Solución
Porque el puente tampoco podría aguantar la tensión, y encima no necesita hacerlo. Impedirle la dilatación a un tablero de 1000 m con 50 K exigiría MPa repartidos por toda su sección, y el tablero está apoyado sobre pilas que no pueden empujar horizontalmente sin volcar: la fuerza no tiene dónde apoyarse. La vía sí lo tiene — el balasto la agarra por rozamiento en toda su longitud, no por los extremos— y además le sobra margen, porque 75,6 MPa son el 15 % de lo que aguanta el acero de raíl.
La segunda lección, que es la que hay que llevarse: la pregunta nunca es «¿cuánto se dilata?», sino «¿contra qué». El mismo material, la misma dilatación y el mismo salto de temperatura dan una solución u otra según cómo esté sujeto. Y hay un tercer camino que usan las dos estructuras y que este artículo no ha mencionado: rebajar el en vez del . Un puente pintado de blanco y una vía a la sombra tienen menos recorrido térmico, y eso sale más barato que cualquier aleación especial.