La lista de los mejores conductores térmicos empieza como se espera —plata 429, cobre 401, oro 318 W/(m·K)— y en cuanto se mira el primer puesto se rompe: diamante, 2200. Cinco veces la plata. Y el diamante es uno de los mejores aislantes eléctricos que existen, con más de 10¹² Ω·m frente a los 1,59 × 10⁻⁸ de la plata: veinte órdenes de magnitud. En un material sin electrones libres, el calor tiene que viajar de otra manera. Este artículo va de las dos maneras que hay, de cómo se distingue una de otra con un solo número, y de por qué la ganadora es la que no conduce corriente.
En un metal el calor viaja con los electrones de conducción; en un aislante no hay electrones libres y lo llevan las vibraciones de la red. El número de Lorenz L = kρe/T delata cuál de los dos: si sale igual a los 2,44 × 10⁻⁸ de la teoría, el calor lo llevan los mismos electrones que la corriente. Compara el cobre con el diamante.
Conductividad térmica en W/(m·K), escala logarítmica. Seis décadas separan el poliestireno del diamante.
El cobre tiene L = 2,25 × 10⁻⁸ W·Ω/K², que es el 92 % de los 2,44 × 10⁻⁸ que predice la teoría cuántica de los electrones. Es decir: el calor y la corriente los llevan las mismas partículas, y la red apenas aporta. Por eso todo buen conductor eléctrico es buen conductor del calor — y por eso una cuchara de metal en un café te avisa antes de que te quemes. El calor cruza 1.0 cm en 0,860 segundos.
Conductividades, densidades, calores específicos y resistividades a 300 K,
de tablas de referencia (CRC). Temperaturas de Debye de Kittel (diamante
2230 K, silicio 645 K); la velocidad de los fonones se calcula de ahí y del
parámetro de red, no se copia. La sílice vítrea no tiene red: su velocidad
de Debye, 4133 m/s, sale de las velocidades longitudinal y transversal
medidas. L0 = 2,44 × 10⁻⁸ W·Ω/K² se calcula desde kB y e, en src/data/constants.ts.
Dos porteadores, y un número que los distingue
Dentro de un sólido el calor sólo puede viajar de dos maneras. Una son los electrones de conducción, que en un metal ya andan sueltos a velocidades de 10⁶ m/s y se llevan la energía con ellos. La otra es la propia red: un átomo que vibra empuja a su vecino, que empuja al siguiente, y la agitación se propaga como una onda sonora. Cuantizadas, esas ondas son los fonones del artículo 02.
Saber cuál de las dos manda en cada material parece difícil y resulta ser trivial, porque los electrones dejan una firma. Si el calor y la corriente los llevan las mismas partículas, el cociente entre las dos conductividades no puede ser cualquier cosa: sale una constante universal, el número de Lorenz,
donde no hay ni una propiedad del material: sólo la constante de Boltzmann y la carga del electrón. Es la ley de Wiedemann-Franz escrita como prueba diagnóstica. Se mide la conductividad térmica, se mide la resistividad, se divide por la temperatura, y si sale 2,44 × 10⁻⁸ el veredicto es que el calor lo llevan los electrones.
| Metal | (W/m·K) | (Ω·m) | medido (10⁻⁸) | |
|---|---|---|---|---|
| Plata | 429 | 1,59 × 10⁻⁸ | 2,27 | 0,93 |
| Cobre | 401 | 1,68 × 10⁻⁸ | 2,25 | 0,92 |
| Oro | 318 | 2,44 × 10⁻⁸ | 2,59 | 1,06 |
| Aluminio | 237 | 2,65 × 10⁻⁸ | 2,09 | 0,86 |
| Wolframio | 174 | 5,28 × 10⁻⁸ | 3,06 | 1,25 |
| Hierro | 80,4 | 9,71 × 10⁻⁸ | 2,60 | 1,07 |
| Plomo | 35,3 | 2,08 × 10⁻⁷ | 2,45 | 1,00 |
| Acero inoxidable | 16 | 7,2 × 10⁻⁷ | 3,84 | 1,57 |
Siete metales cuya conductividad térmica se lleva un factor 12 y cuya resistividad se lleva un factor 13, y el cociente de los dos se queda entre 2,09 y 3,06 en todos. Eso es lo que quiere decir «los mismos portadores». Los que se quedan un poco por debajo de 2,44 —la plata, el cobre, el aluminio— no es que tengan un déficit de calor: a 300 K los choques de los electrones con la red no son perfectamente elásticos, y esa hipótesis es la que entra en el 2,44. La desviación va del 7 % de la plata al 14 % del aluminio, y en la dirección que la teoría predice.
Y una fila que se sale, que es la interesante
El acero inoxidable da 3,84 × 10⁻⁸, un 57 % por encima. Aquí sí sobra calor: los electrones no dan cuenta de todo. Con su resistividad, los electrones sólo pueden transportar W/(m·K), y se miden 16. El resto, un 36 %, lo lleva la red vibrando — y siempre lo llevó, en todos los metales de la tabla: lo que pasa es que en el cobre esos mismos poquísimos vatios se pierden al lado de 400.
De ahí sale la comparación que resume el asunto. Frente al cobre, el acero inoxidable conduce 25 veces peor el calor y 43 veces peor la electricidad. Los dos números deberían ser iguales si sólo hubiera electrones, y no lo son: la diferencia entre 25 y 43 es exactamente la parte que la red rescata. Un metal sucio eléctricamente —una aleación, con sus átomos de soluto estorbando a los electrones, que es el módulo I.2— sigue teniendo su red intacta para transportar calor.
Problema. El cobre conduce 401 W/(m·K) de calor y tiene una resistividad de 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m a 300 K. Decide con esos dos datos si el calor lo llevan los electrones o la red, y estima cuánto puede estar llevando la red.
Solución. El número de Lorenz medido:
que es el 92 % de los 2,443 × 10⁻⁸ teóricos. Por el otro camino: los electrones, con esa resistividad, pueden llevar W/(m·K), y se miden 401 — o sea, más de lo que hay.
Resultado. Los electrones lo llevan todo, y la manera de saberlo es que la cuenta se pasa en vez de quedarse corta. Si la red aportara una fracción apreciable, el medido saldría por encima del teórico, como en el acero inoxidable; que salga un 8 % por debajo dice que no queda nada por explicar y que la pequeña discrepancia es de la hipótesis de choques elásticos, no de un porteador escondido. Lo que la red lleva en el cobre son unos pocos W/(m·K), un uno o dos por ciento, y sólo se puede medir separándolo en experimentos a baja temperatura. La moraleja metodológica vale para todo el programa: cuando un modelo se pasa, el error está en el modelo; cuando se queda corto, falta física. Aquí falta cero.
Sin electrones: el calor a hombros de la red
En un aislante no hay nada de lo anterior y hay que empezar de cero. Los fonones se comportan como un gas —tienen una densidad, una velocidad y chocan entre ellos—, así que sirve la misma fórmula cinética que la teoría de los gases da para cualquier gas que transporta algo:
Los tres factores se conocen o se calculan. es la capacidad por volumen del artículo 02. es la velocidad del sonido, que sale de la temperatura de Debye y de la densidad de átomos sin medir nada nuevo. Y despejando queda lo único que no se sabía: el camino libre medio de un fonón, la distancia que recorre antes de chocar con algo y olvidar hacia dónde iba.
| Material | (W/m·K) | (m/s) | Camino libre | En distancias entre átomos |
|---|---|---|---|---|
| Diamante | 2200 | 13 400 | 276 nm | 1790 |
| Silicio | 149 | 5880 | 46 nm | 197 |
| Sílice vítrea | 1,38 | 4130 | 0,62 nm | 3,8 |
Ahí está el artículo entero en tres filas. La sílice vítrea y el diamante son los dos cristales —bueno, uno de ellos no lo es— hechos de átomos ligeros con enlaces covalentes fuertes, y se llevan un factor 1600 de conductividad. Sus capacidades caloríficas por volumen son parecidas y sus velocidades del sonido se llevan un factor 3. Todo lo demás —un factor 449— está en el camino libre medio.
Y el número de la última fila merece pararse: 0,62 nanómetros son menos de cuatro distancias Si–O. Un fonón en un vidrio no llega ni a salir del anillo de tetraedros en el que nació. Eso es el suelo físico de la conductividad térmica —no se puede tener un camino libre menor que una distancia entre átomos— y explica por qué todos los materiales amorfos, sean de lo que sean, conducen del orden de 1 W/(m·K): el desorden del módulo I.2 no dispersa a los fonones un poco, los para en el primer paso.
Por qué gana el diamante
Con la fórmula delante, la receta para conducir calor sin electrones es explícita: hacen falta átomos ligeros y enlaces rígidos —eso da velocidad del sonido— y hace falta que los fonones no choquen —eso da camino libre—. El diamante es el único material que tiene las dos cosas a la vez, y las tiene por el mismo motivo.
- Velocidad. La velocidad de Debye del diamante son 13 400 m/s frente a los 2620 del cobre: 5,1 veces más. Sus átomos pesan 12 y sus enlaces covalentes son los más duros que existen; la misma combinación que en el artículo 02 le daba una temperatura de Debye de 2230 K y le congelaba tres cuartas partes del calor específico.
- Poca anarmonicidad. Los fonones sólo chocan entre ellos si el pozo del enlace es asimétrico — si fuera un muelle perfecto, dos ondas se cruzarían sin enterarse. El proceso concreto que frena el calor se llama proceso umklapp, y su intensidad la mide justamente el parámetro de Grüneisen del artículo 03: 0,74 en el diamante frente a 2 en un metal. La misma simetría del pozo que hacía que el diamante casi no se dilatara hace que sus fonones casi no se estorben.
Queda una tercera cosa que los estropea y que no es ninguna de las dos, y su demostración es uno de los experimentos más elegantes del estado sólido. Un fonón también se dispersa si se encuentra átomos de masa distinta, porque la red deja de ser uniforme. El carbono natural es 98,9 % de ¹²C y 1,1 % de ¹³C, repartido al azar. En 1993 se midió un diamante sintético crecido con carbono enriquecido al 99,9 % en ¹²C, y su conductividad a 300 K resultó ser 3320 W/(m·K): un 51 % más que el diamante natural, y 7,7 veces la plata. Quitar un átomo de cada cien —químicamente idéntico, mismo enlace, misma red, sólo un neutrón de más— mejora la conducción del calor a la mitad.
Problema. Un procesador disipa 150 W por un cuadrado de 1 cm de lado. Ese calor atraviesa 50 µm de pasta térmica ( W/m·K) y luego 1 mm de la base de cobre del disipador. Calcula el salto de temperatura en cada capa con y decide dónde hay que gastar el dinero.
Solución. El flujo de calor es 150 W / 10⁻⁴ m² = 1,5 MW/m². En el cobre:
y en la pasta, K. Si la base fuera de acero inoxidable en vez de cobre, el milímetro costaría 94 K.
Resultado. Una capa de cincuenta micras pesa cuatro veces más que un milímetro de cobre, que es veinte veces más gruesa. Y ahí está la respuesta de dónde gastar: cambiar el cobre por diamante ahorraría 3,1 de los 3,7 grados del cobre, mientras que reducir la pasta a la mitad ahorra 7,5. Los disipadores de diamante existen y se usan —en diodos láser de potencia y en amplificadores de radiofrecuencia, donde el flujo es cien veces mayor— pero en un ordenador de sobremesa el material caro no resolvería el problema, porque el problema está en la junta. Es una lección general de transferencia de calor y la olvida todo el mundo: en una cadena de resistencias en serie manda la peor, y la peor casi siempre es una interfaz. Y merece la pena mirar el flujo con el que se está tratando: 1,5 MW/m² es unas veinte veces el de un fuego de vitrocerámica de 2000 W repartidos en un disco de 18 cm (2000 W / 0,0254 m² = 79 kW/m², de donde 19×) — y conviene declarar el diámetro, porque la comparación depende de él: con un fuego pequeño de 14 cm el cociente baja a 12 y con uno grande de 21 cm sube a 26. En cualquier caso, un orden de magnitud largo, y se gestiona con una pasta de cinco euros y no con un metal noble.
Aislante eléctrico no significa aislante térmico, pero conductor eléctrico sí significa conductor térmico. La implicación va en un solo sentido y conviene tenerla clara, porque la intuición la usa en los dos:
- Si conduce la electricidad, conduce el calor. Sin excepciones prácticas: los electrones libres transportan las dos cosas, y Wiedemann-Franz pone el suelo. Por eso no existe ningún material que sea buen conductor eléctrico y aislante térmico, por mucho que le convendría a la industria.
- Si aísla la electricidad, puede hacer cualquier cosa con el calor. El diamante aísla la corriente y conduce el calor cinco veces mejor que la plata; el nitruro de aluminio, que llega a 285 W/(m·K) en monocristal y ronda los 170 en la cerámica que se vende, se usa justamente por eso en electrónica de potencia. Y el vidrio, que aísla igual de bien la corriente, conduce el calor 2200 veces peor que el diamante.
La asimetría tiene una causa y ya está dicha: los electrones son un canal adicional, no el único. Un metal tiene dos porteadores y un aislante, uno — y ese uno, según lo ordenada que esté su red, puede ser malísimo o el mejor de todos.
Ejercicios
La difusividad térmica del poliestireno expandido es 1,27 mm²/s y la del vidrio, 0,48: el aislante difunde el calor 2,7 veces más deprisa que el vidrio. ¿Está mal el dato? Si no lo está, ¿por qué se aísla con poliestireno y no con vidrio?
Solución
El dato está bien, y la contradicción es sólo aparente porque son dos preguntas distintas. La difusividad mide con qué rapidez se propaga un cambio de temperatura, no cuánto calor pasa. El poliestireno conduce treinta veces menos que el vidrio, pero tiene una capacidad por volumen ochenta veces menor —0,026 frente a 2,10 MJ/(m³·K)—, así que lo poquísimo que entra basta para calentarlo entero enseguida. Es un material que no deja pasar calor y tampoco lo guarda.
Para aislar mandan la conductividad y el espesor, y ahí no hay discusión: vale 3,03 m²K/W para 10 cm de poliestireno y 0,17 para un tabique de 12 cm de ladrillo, diecisiete veces menos — harían falta 2,1 metros de ladrillo para igualar diez centímetros de aislante. La segunda lección es que en régimen transitorio la respuesta cambia: un muro de piedra gruesa, con su difusividad baja y su capacidad enorme, retrasa media jornada la onda de calor del mediodía y por eso las casas tradicionales del sur son de muro grueso y no de poliestireno. Aislar y amortiguar son dos objetivos distintos, y los mide el primero y el segundo.
Una sartén tiene 5 mm de fondo. Con las difusividades del cobre (116 mm²/s) y del acero inoxidable (4,0 mm²/s), estima con cuánto tarda el calor en llegar de la llama a la comida en cada una, y explica por qué las sartenes buenas de inoxidable llevan un disco de aluminio o de cobre en la base.
Solución
Cobre: (5 × 10⁻³)²/1,16 × 10⁻⁴ = 0,22 s. Inoxidable: (5 × 10⁻³)²/4,0 × 10⁻⁶ = 6,3 s, veintinueve veces más. Y el problema del inoxidable no es el retraso —seis segundos no arruinan una cena— sino lo que ese retraso significa: si el calor tarda en repartirse, la zona sobre la llama se pone mucho más caliente que el borde mientras dura el desequilibrio, y eso es un punto quemado. El disco de aluminio o de cobre encapsulado en la base reparte el calor lateralmente antes de que llegue arriba.
La segunda lección es que el inoxidable está ahí por razones que no tienen nada que ver con el calor: no se oxida, no reacciona con el tomate y aguanta el lavavajillas. La sartén de tres capas —inoxidable por fuera, aluminio en medio, inoxidable por dentro— es la solución típica de ingeniería de materiales: ningún material único cumple todos los requisitos, así que se ponen tres y cada uno hace su trabajo. Es la misma lógica del hormigón armado del artículo 03.
Un fabricante anuncia un compuesto térmico «con nanopartículas de diamante, conductividad 12 W/(m·K), el doble que la competencia». Con el ejemplo resuelto 2 delante, calcula qué ganarías de verdad en un procesador de 150 W y di qué dato pedirías antes de comprarlo.
Solución
Con 50 µm y , el salto en la pasta baja de 15 K a 1,5 × 10⁶ × 50 × 10⁻⁶/12 = 6,3 K: se ganan casi nueve grados, que en un procesador es mucho. Así que el anuncio, al menos en su número, no engaña. Lo que hay que pedirle es el espesor de la línea de pegado, porque lo que importa no es sino : una pasta de 12 W/(m·K) aplicada en una capa de 150 µm —porque es espesa y no se extiende— da 18,8 K y es peor que una de 5 aplicada en 50. La magnitud honrada de una interfaz es su resistencia térmica por unidad de área, en m²K/W, y ésa es la que los fabricantes serios publican.
La segunda lección es la que cierra el módulo: casi ninguna propiedad térmica se usa sola. El tacto no era la conductividad sino ; la resistencia de un muro no es la conductividad sino ; la velocidad de respuesta no es la conductividad sino . Un catálogo que da una sola de las tres propiedades no permite responder ninguna pregunta completa, y un anuncio que presume de una sola cifra casi siempre está callando la que la divide.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse sin haber releído el módulo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Las tres propiedades térmicas | k (W/m·K) · c (J/kg·K) · ρc (J/m³·K) | art. 01 |
| Efusividad térmica | e = √(kρc); Cu 37 200, vidrio 1449, piel 1154, madera 450 | art. 01 |
| Temperatura de contacto | Tc = (e₁T₁ + e₂T₂)/(e₁ + e₂) | art. 01 |
| Los dos pomos a 20 °C | cobre 20,4 °C · madera 29,4 °C; 9,0 °C de diferencia sentida | art. 01, ejemplo 1 |
| Umbral de quemadura por material | la piel llega a 45 °C con metal a 45,4 °C y con madera a 75,8 | art. 01 |
| Cuándo falla la fórmula | cuerpo delgado: papel de Al de 15 µm = 36 J/(m²·K), 99 veces menos que la piel | art. 01, ejemplo 2 |
| Ley de Dulong y Petit | c = 3R = 24,94 J/(mol·K) = 3kB por átomo | art. 02 |
| Calor específico por kilo | Pb 129 · Cu 385 · Fe 449 · Al 897 · agua 4182 J/(kg·K) | art. 02 |
| El factor 10,9 del agua | es recuento de átomos: 166,5 mol frente a 15,74 en 1 kg | art. 02 |
| Capacidad por volumen | ρc: agua 4,17 · sólidos densos 2–3,5 · aire 0,0012 MJ/(m³·K) | art. 02 |
| Corrección cp − cV | αV²KVmT = 0,73 (Cu) y 1,90 (Pb) J/(mol·K) | art. 02 |
| Temperatura de Debye | θD: Pb 105 · Cu 343 · Si 645 · C 2230 K; c → 3R si T > θD | art. 02 |
| Donde falla Dulong y Petit | diamante 6,12 J/(mol·K) = 0,25 × 3R; Debye se queda un 32 % corto | art. 02 |
| Calor específico a baja T | red ∝ T³, electrones ∝ T; en Cu a 4,2 K el 45 % es electrónico | art. 02, ejercicio 3 |
| Dilatación térmica | ΔL = LαΔT; acero 12 · Cu 16,5 · Al 23,1 × 10⁻⁶/K | art. 03 |
| Regularidad de la dilatación | αTf ≈ 0,020 en los siete metales (0,0166–0,0233) | art. 03 |
| Parámetro de Grüneisen | γ = 3αK/ρc ≈ 2 en metales; 0,46 en Si y 0,74 en C | art. 03 |
| Amplitud de vibración | Cu: 13,2 pm a 300 K (5,2 % de d) y 11 % al fundir — Lindemann | art. 03 |
| Tensión térmica | σ = EαΔT, sin la longitud dentro: 75,6 MPa con 30 K en acero | art. 03 |
| El raíl continuo soldado | 1 km y 30 K: 0,36 m impedidos = 580 kN = 59 t en 76,7 cm² | art. 03, ejemplo 1 |
| Choque térmico | ΔTmáx = σR/(Eα): 65 K sosa-cal, 194 K borosilicato | art. 03, ejemplo 2 |
| Invar | Fe-36Ni, α = 1,2 × 10⁻⁶/K, ×10 menos que el acero, sólo hasta ~200 °C | art. 03 |
| Conductividad térmica | diamante 2200 · Ag 429 · Cu 401 · inox 16 · vidrio 1,0 · EPS 0,033 W/(m·K) | art. 04 |
| Wiedemann-Franz como prueba | L = kρe/T frente a L₀ = π²kB²/3e² = 2,44 × 10⁻⁸ W·Ω/K² | art. 04 |
| Cobre | L = 2,25 × 10⁻⁸ = 0,92 L₀: lo llevan los electrones | art. 04, ejemplo 1 |
| Acero inoxidable | L = 3,84 × 10⁻⁸: la red lleva el 36 %; ×25 en calor y ×43 en corriente | art. 04 |
| Fórmula cinética de los fonones | k = ⅓·ρc·v·ℓ | art. 04 |
| Camino libre medio del fonón | diamante 276 nm · Si 46 nm · sílice vítrea 0,62 nm (3,8 enlaces) | art. 04 |
| Velocidad de Debye | v = (kBθD/ℏ)/(6π²n)1/3: diamante 13 400, Cu 2620 m/s | art. 04 |
| Efecto isotópico | diamante 99,9 % ¹²C: 3320 W/(m·K), un 51 % más (1993) | art. 04 |
| Difusividad térmica | a = k/ρc; 1 cm se cruza en 0,86 s (Cu) y 210 s (vidrio) | art. 04, ejercicio 1 |
| Resistencia térmica | R = L/k: 10 cm de EPS = 3,03 = 2,1 m de ladrillo | art. 04, ejercicio 1 |
| Manda la interfaz | 50 µm de pasta (k = 5) pesan 4 veces más que 1 mm de cobre | art. 04, ejemplo 2 |
Fin del módulo I.3. Con esto ya sabes que el tacto no es un termómetro sino un medidor de , y puedes calcular a qué temperatura se te queda el dedo al agarrar cualquier cosa. Sabes que un mol de cualquier sólido guarda 25 julios por grado —tres por átomo, ni uno más— y por qué el diamante se salta esa ley y el agua no la contradice. Sabes de dónde sale la dilatación, que no es una propiedad obvia sino la consecuencia de que el pozo del enlace esté torcido, y sabes que impedirla cuesta 75 megapascales por cada treinta grados. Y sabes distinguir con un solo cociente quién transporta el calor en un material, con el diamante como caso extremo por los dos lados: el mejor conductor térmico que existe y uno de los peores eléctricos.
Lo que falta ha ido apareciendo dos veces sin que se le mirara de frente. El hierro guarda un 10 % más de calor del que la teoría de las vibraciones le permite, y el Invar deja de dilatarse por un motivo que este módulo sólo pudo nombrar: el magnetismo. Es un orden más dentro del cristal, superpuesto al de los átomos, con sus propias reglas y su propia temperatura de destrucción. El módulo I.4 lo estudia por derecho propio: por qué sólo tres elementos se pegan a la nevera a temperatura ambiente, qué son los dominios magnéticos y por qué un imán deja de serlo a 770 °C, y cómo se escribe y se lee un bit en un disco duro. Con ello se podrá por fin explicar la anomalía del hierro que este módulo se ha limitado a señalar.