Hoja de problemas del módulo II.2

Una superficie esférica imaginaria de radio $R = 10$ cm delimita una región de vacío. Un programa de cálculo te deja plantear el problema de contorno dando sobre ella la derivada normal $\partial V/\partial n$ en lugar del potencial: en vez de una condición de contorno de Dirichlet, una condición de contorno de Neumann.

(a) Le das $\partial V/\partial n = -A\cos\theta$ con $A = 500$ V/m. Monta y resuelve la integral de compatibilidad y di si el problema tiene solución con la región vacía; si la tiene, escribe la $V$ que la resuelve y di qué campo es. (b) Demuestra que $V + C$ es solución para cualquier constante y que el campo no cambia. ¿Por qué eso no es un defecto del planteamiento? (c) Ahora le das $\partial V/\partial n = -B$ constante, con el mismo valor numérico. Repite la integral y di qué le ocurre al problema. Si insistes en ese dato, ¿cuánta carga tiene que haber dentro, y de qué signo? (d) Comprueba tu respuesta a (c) exhibiendo una configuración concreta que produzca exactamente ese dato sobre la esfera, y explica por qué con el potencial prescrito en la frontera esta situación no puede darse nunca, sea cual sea el dato.

El artículo 02 calculó la fuerza sobre la carga usando la imagen. Aquí se calcula la fuerza sobre la chapa, que es la misma cambiada de signo, sin usar la imagen para nada más que para conocer $\sigma(r)$.

Una carga puntual $q = 4$ nC está a $d = 1$ cm de un plano conductor infinito conectado a tierra.

(a) Evalúa $\sigma(0)$ y la presión electrostática justo debajo de la carga, en pascales. (b) Monta y resuelve la integral de $\sigma^{2}/2\varepsilon_0$ sobre todo el plano y comprueba que devuelve la fuerza de la imagen; da su valor y la masa que pesaría lo mismo. (c) ¿Dentro de qué radio se genera la mitad de esa fuerza? ¿Y el 90 %? (d) Compara esos dos radios con los que contienen la mitad y el 90 % de la carga inducida, y explica la diferencia con una sola frase sobre los integrandos.

La ranura del artículo 03 —dos placas conductoras a tierra en $y=0$ e $y=a$, con $a = 10$ cm, extendiéndose hacia $x>0$— pero con la tira de la boca partida por la mitad y las dos partes aisladas entre sí: la de abajo ($0<y<a/2$) a $-V_0$ y la de arriba ($a/2<y<a$) a $+V_0$, con $V_0 = 100$ V.

(a) Monta y resuelve la integral de Fourier que da los $C_n$. ¿Cuáles sobreviven, y cuáles se anulan? (b) Demuestra que el plano $y=a/2$ es una superficie nodal: $V=0$ en él para toda $x$. Deduce de ahí, invocando el teorema de unicidad, que se puede meter una lámina metálica a tierra por $y=a/2$ sin cambiar absolutamente nada, y di qué problema queda entonces a cada lado. (c) Usa lo anterior para construir la forma cerrada a partir de la del artículo, y evalúa $V$ en $(a/4,\,3a/4)$ con un solo término y con la forma cerrada; da el error del truncamiento en porcentaje de $V_0$. (d) ¿A qué distancia de la boca la amplitud del potencial baja de 1 V? Compárala con la del escalón del artículo y explica el factor exacto que sale. (e) ¿Sigue habiendo fenómeno de Gibbs, y en cuántos sitios de la boca?

Un anillo circular de radio $R = 5$ cm lleva $Q = 10$ nC repartidos uniformemente. Está en el plano $z=0$ y centrado en el origen.

(a) Monta el momento multipolar de orden $l$ y demuestra que vale $QR^{l}P_l(0)$. Evalúa los de $l = 0$ a $4$ y di cuáles se anulan y qué simetría lo obliga. (b) Escribe $V(r,\theta)$ fuera y evalúalo en el eje a 20 cm con uno, dos y tres términos; compáralo con el valor exacto $kQ/\sqrt{r^{2}+R^{2}}$ y da los tres errores. (c) ¿A partir de qué distancia basta el monopolo con un error menor del 1 %, en el eje y en el ecuador? ¿Por qué no es el mismo sitio, si el objeto es el mismo? (d) Encuentra la dirección en la que el anillo es indistinguible de una carga puntual hasta el orden $l=4$, calcula ahí el error a 20 cm, compáralo con el del eje a esa misma distancia y explica por qué esa dirección no depende del radio del anillo. (e) Escribe el desarrollo válido dentro del anillo ($r<R$) y evalúa el centro. ¿Qué rama del desarrollo general de polinomios de Legendre sobrevive ahí, y por qué?

Una carga $q = 10$ nC está a $d = 2$ cm de un plano conductor infinito conectado a tierra, en la misma configuración del artículo 02.

(a) Lejos del sistema y por encima del plano, ¿qué término del desarrollo manda? Da su coeficiente, evalúa $V$ a 50 cm sobre el eje y compáralo con la suma exacta de la carga y su imagen: da el error y compruébalo a 1 m para deducir su ley con la distancia. (b) La distribución de carga real de la región es $q$ más la $\sigma$ inducida sobre la chapa. Calcula directamente su carga total y su momento dipolar, sin usar la imagen para nada. Te va a salir la mitad del coeficiente de (a), y las dos cosas no pueden ser a la vez el desarrollo multipolar del mismo sistema: encuentra el error. (c) Monta $\int (r')^{2}\sigma\,da$ sobre el plano y mira qué le pasa. ¿Qué hipótesis del teorema del desarrollo multipolar se está violando, y por qué no se viola nunca en los ejemplos de los artículos? (d) ¿A qué distancia produce esta carga 1 V con la chapa puesta? ¿Y sin ella? Da la razón entre las dos distancias y di qué significa para blindar una carga estática.

Una esfera conductora aislada de $R = 5$ cm lleva una carga total $Q = +20$ nC. Se le acerca radialmente una carga puntual $q = +10$ nC, situada a distancia $a$ del centro. Las dos cargas son positivas.

(a) Construye el sistema de imágenes. ¿Cuál de los dos teoremas de unicidad autoriza este planteamiento, y por qué el otro no sirve aquí? Di dónde va cada imagen y cuánto vale. (b) Escribe $F(a)$ y evalúala en $a = 20$ cm y en $a = 6{,}5$ cm. Da el signo de cada una y el potencial de la esfera en los dos casos. (c) Halla la distancia a la que la fuerza cambia de signo y exprésala como distancia a la superficie. (d) Demuestra que para $Q\gg q$ el espesor de esa capa atractiva vale aproximadamente $(R/2)\sqrt{q/Q}$, comprueba con qué error acierta esa fórmula en el caso de arriba y di qué significa físicamente que ese espesor no llegue a cero por mucho que se cargue la esfera.