El desarrollo multipolar: el primer término que no se anula manda

Una molécula de agua es eléctricamente neutra y, a un nanómetro de distancia sobre su eje, crea un campo de 111 MV/m: treinta y siete veces la rigidez dieléctrica del aire seco. Ese número no sale de sumar cargas: sale de un solo término de una serie que ordena el potencial lejano de cualquier distribución en potencias de $1/r$ . La regla que la gobierna cabe en una frase — manda el primer término que no se anula — y este artículo la deduce, mide su error y explica la trampa que esconde: que el momento dipolar sólo significa algo si la carga total es cero.

Necesitas: del artículo 03 de este módulo, los polinomios de Legendre y su relación de ortogonalidad

\int_{-1}^{1}P_lP_{l'}du = 2\delta_{ll'}/(2l+1)

—de la que salen los ejercicios 1 (c) y 4 (d)— y la rama exterior

B_l/r^{l+1}

del desarrollo general. Del módulo II.1, del artículo 03: el potencial de una distribución

V = (1/4\pi\varepsilon_0)\int dq'/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|

, la relación

\mathbf{E}=-\nabla V

en esféricas y el dipolo que allí se calculó a primer orden — aquí se completa la serie de la que aquello era el segundo término.

Desarrollar el denominador, que es lo único que hay que hacer

El potencial de una distribución acotada es una integral que casi nunca se puede hacer. Pero si el punto de observación está lejos —más lejos que el tamaño de la distribución— hay una manera sistemática de aproximarla tan bien como se quiera. Todo el trabajo está en el denominador. Llamando $\alpha$ al ángulo entre $\mathbf{r}$ y $\mathbf{r}'$ , la ley de los cosenos da

|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| = r\sqrt{1 + \left(\frac{r'}{r}\right)^{2} - 2\,\frac{r'}{r}\cos\alpha}

y el inverso de esa raíz es exactamente la función generatriz de los polinomios de Legendre:

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^{n} P_n(\cos\alpha)

No es una coincidencia notacional con el artículo anterior: los $P_n$ aparecen aquí por la misma razón por la que aparecían allí, porque $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ cumple la ecuación de Laplace y tiene simetría de revolución alrededor de $\mathbf{r}'$ . Metiendo el desarrollo en la integral del potencial queda el desarrollo multipolar:

\boxed{\;V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r^{\,n+1}}\int (r')^{n}P_n(\cos\alpha)\,\rho(\mathbf{r}')\,d\tau'\;}

Cada término es un número —la integral— dividido por una potencia de $r$ , y los tres primeros tienen nombre:

V_{\text{mon}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r},\qquad V_{\text{dip}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},\qquad V_{\text{cuad}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\int (r')^{2}\,\frac{3\cos^{2}\alpha-1}{2}\,\rho\,d\tau'

con $Q = \int\rho\,d\tau'$ la carga total y $\mathbf{p} = \int \mathbf{r}'\rho\,d\tau'$ el momento dipolar eléctrico, que sale de reconocer $r'\cos\alpha = \mathbf{r}'\cdot\hat{\mathbf{r}}$ .

Conviene calibrar los tres con números antes de seguir. Para el cuadrupolo lineal del ejercicio 3 — $+q$ en $\pm d$ y $-2q$ en el origen, con $q = 10$ nC y $d = 2$ cm—, a 20 cm sobre el eje: si no se cancelara nada, el monopolo daría 449 V; el dipolo también se anula; y lo que queda, el cuadrupolo, vale 8,99 V. Cincuenta veces menos. Ésa es la jerarquía que hace útil el desarrollo.

La dependencia del origen, que es la trampa del tema

$Q$ no depende de dónde se ponga el origen: es la carga total. $\mathbf{p}$ sí depende, y esto se demuestra en tres líneas. Traslada el origen una cantidad $\mathbf{a}$ , de modo que las nuevas posiciones sean $\bar{\mathbf{r}}' = \mathbf{r}' - \mathbf{a}$ :

\bar{\mathbf{p}} = \int \bar{\mathbf{r}}'\,\rho\,d\tau' = \int (\mathbf{r}'-\mathbf{a})\,\rho\,d\tau' = \mathbf{p} - \mathbf{a}\int\rho\,d\tau' = \mathbf{p} - Q\,\mathbf{a}

De donde la regla, que hay que saberse: $\mathbf{p}$ es independiente del origen si y sólo si $Q=0$ . Con carga total no nula, el momento dipolar no es una propiedad del objeto sino de la pareja objeto-origen, y citarlo sin decir el origen no significa nada.

Hay un corolario cómodo y otro incómodo. El cómodo: si $Q\ne 0$ , siempre existe un origen que anula $\mathbf{p}$ , a saber $\mathbf{a} = \mathbf{p}/Q$ — el centro de carga, análogo exacto del centro de masas. El incómodo: ese centro puede caer fuera del objeto, e incluso fuera del segmento que une sus cargas, porque a diferencia de las masas las cargas tienen dos signos. El ejemplo resuelto 1 lo enseña con cifras.

Y la versión general, que es la que ordena todo: el primer momento multipolar no nulo es independiente del origen; todos los que vienen después, no. Por eso el momento dipolar del agua está tabulado sin más explicación —el agua es neutra— y el de un ion como el hidróxido, no.

Ejemplo resuelto 1 · Dos cargas que no se cancelan

Problema. Una carga $q_1 = +10$ nC en $z=0$ y otra $q_2 = -5$ nC en $z = 6$ cm. (a) Halla $Q$ y $\mathbf{p}$ con el origen en la carga positiva. (b) Repite con el origen en la negativa y comprueba la fórmula de traslación. (c) Encuentra el origen que anula $\mathbf{p}$ . (d) Repite el apartado (a) con $q_2 = -10$ nC.

Solución. (a) $Q = 10 - 5 =$ +5,0 nC, y $p_z = \sum q_iz_i = 10^{-8}\cdot 0 + (-5\times10^{-9})(0{,}06) =$ −3,0×10⁻¹⁰ C·m, apuntando hacia $-z$ .

(b) Con el origen en $z=6$ cm, las posiciones son −6 cm y 0, y $p_z = (10^{-8})(-0{,}06) + 0 =$ −6,0×10⁻¹⁰ C·m. El doble. Y la fórmula de traslación con $a = +0{,}06$ m lo predice: $\bar{p} = p - Qa = -3{,}0\times10^{-10} - (5\times10^{-9})(0{,}06) = -6{,}0\times10^{-10}$ .

(c) $a = p/Q = -3{,}0\times10^{-10}/5{,}0\times10^{-9} =$ −6,0 cm. El centro de carga está en $z = -6$ cm, es decir al otro lado de la carga positiva y a doce centímetros de la negativa: completamente fuera del segmento que une las dos. Con masas eso sería imposible; con cargas de signos opuestos es lo normal.

(d) Con $q_2 = -10$ nC, $Q = 0$ y $p_z = -6{,}0\times10^{-10}$ C·m sea cual sea el origen: desplazarlo diez centímetros, o un metro, o al otro lado, da siempre el mismo número, porque el término $Qa$ es cero. Ahora sí es una propiedad del objeto.

Resultado. Los dos momentos de (a) y (b) difieren en un factor 2, y ninguno de los dos está mal: los dos describen correctamente el mismo sistema. Lo que ocurre es que el término dipolar solo no describe nada — a esa distancia el monopolo domina con $1/r$ y el reparto de la serie entre términos depende de dónde se centre. La segunda lección es cuándo importa esto en la práctica: siempre que un sistema tenga carga neta. El momento dipolar de un aminoácido ionizado, el de una gota cargada de un aerosol o el de un núcleo atómico se dan siempre respecto a un origen declarado —normalmente el centro de masas—, y comparar dos valores medidos con orígenes distintos es comparar cosas diferentes.

El campo del dipolo puro

Un dipolo puro es la idealización que queda cuando se hace $d\to0$ y $q\to\infty$ manteniendo $p = qd$ constante: sólo sobrevive el término $n=1$ . Con el eje $z$ a lo largo de $\mathbf{p}$ , su potencial es $V = kp\cos\theta/r^{2}$ , y el campo sale de tomar el gradiente en esféricas:

E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2kp\cos\theta}{r^{3}},\qquad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta} = \frac{kp\sin\theta}{r^{3}},\qquad E_\phi = 0

|\mathbf{E}| = \frac{kp}{r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}\,,\qquad \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^{3}}\Big[3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}\Big]

La última forma no menciona ningún sistema de coordenadas y es la que se usa en cuanto hay más de un dipolo. Dos consecuencias con número. Primera: el campo en el eje es exactamente el doble que en el ecuador a la misma distancia, y apunta en sentidos contrarios. Segunda: el campo no es radial salvo en el eje y en el ecuador — a 45° forma 26,6° con $\hat{\mathbf{r}}$ , y en general $\tan\gamma = \tfrac{1}{2}\tan\theta$ .

Ejemplo resuelto 2 · Una molécula de agua, y cuándo vale llamarla dipolo puro

Problema. El momento dipolar del agua es $p = 1{,}85$ D (1 debye = 3,33564×10⁻³⁰ C·m). (a) Halla el campo a 1 nm sobre el eje y sobre el ecuador, y compáralo con la rigidez dieléctrica del aire. (b) ¿Y a 0,3 nm, que es la distancia a la molécula vecina en agua líquida? (c) Para un dipolo físico de cargas $\pm q$ separadas $d$ , ¿a qué distancia la fórmula del dipolo puro se equivoca un 1 %?

Solución. (a) $p = 1{,}85\times3{,}33564\times10^{-30} = 6{,}17\times10^{-30}$ C·m. En el eje, $E = 2kp/r^{3} = 2\times8{,}99\times10^{9}\times6{,}17\times10^{-30}/10^{-27} =$ 1,11×10⁸ V/m, o sea 111 MV/m, que son 37 veces los 3,0 MV/m del aire seco. En el ecuador, la mitad: 55,5 MV/m.

(b) A 0,3 nm el campo se multiplica por $(1/0{,}3)^{3} = 37$ : 4,11×10⁹ V/m en el eje. Cuatro gigavoltios por metro es el orden de magnitud de los campos intramoleculares, y explica por qué la química del agua líquida no se parece en nada a la de un gas de moléculas independientes.

(c) En el eje, el potencial exacto de las dos cargas es $kq\left[1/(r-d/2) - 1/(r+d/2)\right] = kqd/(r^{2}-d^{2}/4)$ , mientras que el dipolo puro da $kqd/r^{2}$ . Su cociente es

\frac{V_{\text{exacto}}}{V_{\text{dipolo}}} = \frac{1}{1 - d^{2}/4r^{2}} \approx 1 + \frac{d^{2}}{4r^{2}}

de modo que el error va como $(d/2r)^{2}$ y vale el 1,00 % a $r = 5d$ , el 2,78 % a $3d$ y el 0,25 % a $10d$ . Cada vez que se duplica la distancia, el error se divide por cuatro.

Resultado. «Cinco separaciones para el uno por ciento» es un criterio que se puede llevar en la cabeza, y es mucho menos exigente de lo que suele suponerse: el dipolo puro es una aproximación buenísima bastante cerca. Aplicado al agua, con $d\sim 0{,}1$ nm, el campo dipolar es fiable ya a medio nanómetro. La segunda lección está en el orden de magnitud de (a) y (b), y desmonta una imagen frecuente: «molécula neutra» no significa «eléctricamente inofensiva». La cancelación de la carga total elimina el término $1/r$ , no el $1/r^{3}$ del campo, y a escala molecular ese término produce campos mil veces mayores que los que rompen el aire. Toda la química de disolución, el puente de hidrógeno y la solvatación de iones viven ahí.

El cuadrupolo, y por qué la serie se para donde se para

Cuando $Q=0$ y $\mathbf{p}=\mathbf{0}$ , el primer término no nulo es el cuadrupolar —cuyo coeficiente es el momento cuadrupolar—, que cae como $1/r^{3}$ en el potencial y como $1/r^{4}$ en el campo. El caso de manual es el cuadrupolo lineal: $+q$ en $z=\pm d$ y $-2q$ en el origen. Evaluando la integral —que aquí es una suma sobre tres cargas— con $P_2$ par:

\sum_i q_i r_i^{2}P_2(\cos\alpha_i) = q\,d^{2}P_2(\cos\theta) + q\,d^{2}P_2(\cos\theta) + 0 = 2qd^{2}P_2(\cos\theta)

\Longrightarrow\quad V_{\text{cuad}}(r,\theta) = \frac{2kqd^{2}}{r^{3}}\,\frac{3\cos^{2}\theta-1}{2}

Con $q = 10$ nC y $d = 2$ cm, ese numerador vale $2qd^{2} = 8{,}0\times10^{-12}$ C·m², y la comparación con la suma exacta de las tres cargas mide el error del truncamiento:

Distancia (en el eje)	Suma exacta	Sólo el cuadrupolo	Error
10 cm = 5 d	74,90 V	71,90 V	4,00 %
20 cm = 10 d	9,078 V	8,988 V	1,00 %
40 cm = 20 d	1,126 V	1,123 V	0,25 %

Otra vez la ley de los cuatro: duplicar la distancia divide el error por cuatro, porque el primer término despreciado es el $n=4$ y pesa $(d/r)^{2}$ respecto al $n=2$ . Y hay un detalle geométrico que conviene conocer: el potencial cuadrupolar se anula donde $P_2 = 0$ , es decir en $\theta = 54{,}7°$ , el ángulo mágico que se usa en resonancia magnética nuclear precisamente para hacer desaparecer las interacciones cuadrupolares.

El desarrollo no se para nunca: es una serie infinita y exacta. Converge siempre que $r$ sea mayor que el radio de la esfera más pequeña que contiene toda la carga, y dentro de ese radio, sencillamente, no vale. Lo que se para es el cálculo, en el primer término que da la precisión que se necesita — normalmente el primero que no se anula.

«El desarrollo multipolar es una aproximación»: no. El desarrollo es una identidad exacta, y su suma reproduce el potencial con todas sus cifras para cualquier $r$ mayor que el tamaño de la distribución. Lo aproximado es truncarlo, y el error de esa operación se puede acotar y medir, como en la tabla de arriba. La distinción no es escolástica: significa que si un truncamiento no da la precisión necesaria, la solución es añadir términos y no cambiar de método. Y significa también que hay una región donde no hay nada que hacer — dentro de la distribución la serie diverge, y allí el potencial hay que calcularlo de otra manera.

Y el límite honesto: hay momentos dipolares que no significan nada. Los valores tabulados —el agua, 1,85 D; el amoníaco, 1,47 D— se refieren a moléculas neutras, y por eso son propiedades del objeto. En cuanto la especie está cargada, el momento dipolar depende del origen y citarlo a secas es un error: los cálculos de química cuántica lo dan siempre respecto a un origen declarado, casi siempre el centro de masas, y dos trabajos que elijan orígenes distintos no son comparables. Lo mismo pasa un escalón más arriba: el momento cuadrupolar de una molécula neutra pero polar depende del origen, y por eso el cuadrupolo del CO₂ —que es neutro y apolar— está bien definido y el del agua no lo está sin más detalles. La regla es la misma siempre: sólo el primer momento no nulo es una propiedad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una cáscara esférica de radio $R = 5$ cm lleva una densidad superficial $\sigma(\theta) = \sigma_0\cos\theta$ con $\sigma_0 = 1{,}0$ μC/m².

(a) Monta y resuelve las integrales del monopolo y del dipolo. (b) Escribe $V$ fuera y evalúalo a 10 cm sobre el eje. (c) Demuestra que todos los momentos con $n\ge 2$ son cero, y di qué propiedad de los $P_l$ lo garantiza. (d) ¿Qué consecuencia tiene eso para la relación entre este resultado y el del artículo 03? (e) Como el desarrollo es exacto, la fórmula del dipolo puro vale justo fuera de la cáscara: úsala para hallar $E_r(R^{+})$ en el polo, compárala con el campo interior $-\sigma_0/3\varepsilon_0$ y comprueba la condición de contorno del salto. (f) Fuera del eje ya no basta con $E_r$ : halla el módulo y la dirección del campo a 10 cm del centro y a 45° del eje por las dos vías —las componentes esféricas $(E_r, E_\theta)$ y la forma sin coordenadas $\mathbf{E} = k\left[3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}\right]/r^{3}$ — y comprueba que coinciden. ¿Qué ángulo forma $\mathbf{E}$ con $\hat{\mathbf{r}}$ , y con el eje?

Solución

(a) Con $da = 2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta$ , el monopolo es $Q = \int\sigma_0\cos\theta\,2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta = 0$ , porque $\int_0^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0$ . El dipolo apunta en $z$ por simetría, y su módulo es

p_z = \int z'\sigma\,da = \int_0^{\pi}(R\cos\theta)(\sigma_0\cos\theta)\,2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta = 2\pi\sigma_0R^{3}\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{4\pi}{3}\sigma_0R^{3}

que vale 5,24×10⁻¹⁰ C·m.

(b) $V = kp\cos\theta/r^{2}$ , que a 10 cm sobre el eje da 471 V. Conviene reescribirlo: $kp = \sigma_0R^{3}/3\varepsilon_0$ , así que $V = \sigma_0R^{3}\cos\theta/3\varepsilon_0r^{2}$ .

(c) El momento de orden $n$ es $\int R^{n}P_n(\cos\theta)\,\sigma_0\cos\theta\,2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta$ , y con $u=\cos\theta$ eso es proporcional a $\int_{-1}^{1}P_n(u)\,u\,du = \int_{-1}^{1}P_n(u)P_1(u)\,du$ , que es cero para todo $n\ne 1$ por la ortogonalidad de los polinomios de Legendre. Un solo término, y no por aproximación.

(d) Que el desarrollo multipolar, que es una serie infinita, tiene aquí un único término y por tanto es exacto en todo el exterior, no sólo lejos. Compáralo con lo que salió en el artículo 03 para la esfera conductora en campo uniforme: el mismo $\cos\theta/r^{2}$ , con la misma estructura, y por la misma razón — allí la condición de contorno tenía un solo modo, aquí la fuente tiene un solo momento. Los dos métodos del módulo se encuentran en el mismo sitio: separar variables y desarrollar en multipolos son el mismo desarrollo en $P_l$ visto desde la frontera o desde la fuente.

(e) Con $E_r = 2kp\cos\theta/r^{3}$ evaluado en $r=R$ y $\theta=0$ : $2kp/R^{3} = \tfrac{2}{3}\sigma_0/\varepsilon_0 =$ +75,3 kV/m. Justo dentro, el campo uniforme apunta hacia $-z$ y su componente radial en el polo vale $-\sigma_0/3\varepsilon_0 =$ −37,6 kV/m. El salto es $75{,}3 + 37{,}6 =$ 113 kV/m, que es exactamente $\sigma_0/\varepsilon_0$ con $\sigma_0 = 1{,}0$ μC/m². La condición de contorno del módulo II.1 se cumple con las dos terceras partes del salto por fuera y una tercera por dentro, que es el reparto asimétrico que distingue esta cáscara de un plano cargado.

(f) Con $kp/r^{3} = 8{,}988\times10^{9}\times5{,}24\times10^{-10}/10^{-3} = 4{,}706$ kV/m y $\theta = 45°$ , las componentes esféricas son $E_r = 2(4{,}706)\cos45° =$ 6,66 kV/m y $E_\theta = (4{,}706)\sin45° =$ 3,33 kV/m, de módulo

|\mathbf{E}| = \frac{kp}{r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta} = 4{,}706\times1{,}5811 = 7{,}44\ \text{kV/m}

Por la vía vectorial, con $\mathbf{p}=p\hat{\mathbf{z}}$ y $\hat{\mathbf{r}} = (\sin\theta,0,\cos\theta)$ , el corchete vale $3\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}$ , es decir $(3\sin\theta\cos\theta,\;0,\;3\cos^{2}\theta-1) = (1{,}5,\,0,\,0{,}5)$ : el campo en cartesianas es (7,06; 0; 2,35) kV/m, de módulo 7,44 kV/m. Coinciden. El ángulo con $\hat{\mathbf{r}}$ es $\gamma = \arctan(E_\theta/E_r) = \arctan(\tfrac{1}{2}\tan\theta) =$ 26,6°, y con el eje $z$ , $45° + 26{,}6° =$ 71,6°. A 45° de un dipolo, el campo no apunta ni hacia fuera ni a lo largo de $\mathbf{p}$ : se queda a 26,6° del radio, y ésa es la razón de que las líneas de campo de un dipolo se curven como se curvan.

La segunda lección es de comprobación cruzada. Esta cáscara es exactamente la del campo interior uniforme $E = \sigma_0/3\varepsilon_0 =$ 37,6 kV/m —un resultado que se saca por separación de variables—, y sus dos caras del mismo problema tienen que casar. Si al resolver un problema por dos caminos las dos respuestas coinciden hasta la constante, es que ninguno de los dos tenía un error de factor 3 escondido; y en esta familia de problemas los factores 3 abundan.

Ejercicio 2

(a) Demuestra que si $Q = 0$ pero $\mathbf{p}\ne\mathbf{0}$ , el momento cuadrupolar sí depende del origen. Usa la definición $Q_{ij} = \int(3x_i'x_j' - r'^{2}\delta_{ij})\rho\,d\tau'$ y traslada el origen una cantidad $\mathbf{a}$ . (b) Aplícalo al dipolo formado por $+10$ nC en $z=+3$ cm y $-10$ nC en $z=-3$ cm: calcula $Q_{zz}$ con el origen en el punto medio y con el origen en la carga positiva. (c) ¿Qué momento del cuadrupolo lineal del artículo es independiente del origen, y por qué? (d) Enuncia la regla general y compruébala con los dos casos.

Solución

(a) Sustituyendo $x_i' \to x_i'-a_i$ y desarrollando, con $Q=\int\rho=0$ :

\bar{Q}_{ij} = Q_{ij} - 3(a_ip_j + a_jp_i) + 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{p})\,\delta_{ij}

Los términos que llevaban $Q$ han desaparecido, pero quedan los que llevan $\mathbf{p}$ : el cuadrupolo depende del origen salvo que $\mathbf{p}=\mathbf{0}$ .

(b) Con el origen en el punto medio, las cargas están en $z=\pm 3$ cm y $Q_{zz} = \sum q_i(3z_i^{2}-r_i^{2}) = \sum 2q_iz_i^{2} = 2(10^{-8})(0{,}03)^{2} + 2(-10^{-8})(0{,}03)^{2} =$ 0. Con el origen en la carga positiva, las posiciones son 0 y −6 cm: $Q_{zz} = 2(-10^{-8})(0{,}06)^{2} =$ −7,2×10⁻¹¹ C·m². La fórmula lo confirma: el nuevo origen está en $\mathbf{a} = +3$ cm respecto al antiguo y $p_z = +6{,}0\times10^{-10}$ C·m, de modo que $-6a_zp_z + 2a_zp_z = -4a_zp_z =$ −7,2×10⁻¹¹ C·m².

(c) El propio cuadrupolo, $Q_{zz} = \textstyle\sum_i 2q_iz_i^{2} = 4qd^{2} = 1{,}6\times10^{-11}$ C·m², porque en el cuadrupolo lineal $Q=0$ y $\mathbf{p}=\mathbf{0}$ : es el primer momento no nulo y por eso es una propiedad del objeto.

(d) El primer momento multipolar que no se anula es independiente del origen; los siguientes no lo son. En el apartado (b), el primero no nulo era el dipolo y el cuadrupolo dependía del origen; en (c), el primero no nulo era el cuadrupolo y por eso está bien definido. En el ejemplo resuelto 1, el primero no nulo era el monopolo y ya el dipolo dependía del origen.

La segunda lección es que esa regla explica por qué en la literatura hay magnitudes tabuladas y magnitudes que hay que definir. La carga de un ion está tabulada; su momento dipolar, no. El momento dipolar de una molécula neutra está tabulado; su cuadrupolo, sólo si además es apolar. Cada escalón de la escalera es una propiedad únicamente cuando todos los de abajo son cero — y esa jerarquía es la misma que ordena las fuerzas intermoleculares, donde ion-dipolo, dipolo-dipolo y cuadrupolo-cuadrupolo caen con potencias sucesivamente mayores.

Ejercicio 3

El cuadrupolo lineal del artículo: $+q$ en $z = \pm d$ y $-2q$ en el origen, con $q = 10$ nC y $d = 2$ cm.

(a) Comprueba que $Q=0$ y $\mathbf{p}=\mathbf{0}$ . (b) Monta la suma del término $n=2$ y evalúa $V$ a 20 cm en el eje y en el ecuador. (c) Compara con la suma exacta de las tres cargas en los dos sitios: ¿en cuál se equivoca más el cuadrupolo, y por qué? (d) Halla $E_r$ y $E_\theta$ del término cuadrupolar y comprueba que el campo cae como $1/r^{4}$ .

Solución

(a) $Q = q+q-2q = 0$ y $p_z = qd + q(-d) + 0 = 0$ . Ambos por construcción: es un cuadrupolo puro.

(b) $V = 2kqd^{2}P_2(\cos\theta)/r^{3}$ . En el eje ( $P_2 = 1$ ) a 20 cm: 8,99 V. En el ecuador ( $P_2 = -1/2$ ): −4,49 V, la mitad y con signo opuesto — que es la firma de un cuadrupolo, igual que el factor 2 lo era del dipolo.

(c) La suma exacta da 9,078 V en el eje (el cuadrupolo se queda un 1,00 % corto) y −4,460 V en el ecuador (se pasa un 0,75 %). En el eje el error es mayor, y la razón está en el término siguiente: el $n=4$ lleva $P_4(\cos\theta)$ , que vale 1 en el eje y sólo 3/8 en el ecuador. Los términos despreciados también tienen forma angular, y pesan más donde la carga está alineada con el observador.

(d) Derivando $V = C\,P_2(\cos\theta)/r^{3}$ con $C = 2kqd^{2}$ :

E_r = \frac{3C\,P_2(\cos\theta)}{r^{4}}, \qquad E_\theta = \frac{3C\sin\theta\cos\theta}{r^{4}}

Las dos con $1/r^{4}$ , una potencia más que el potencial, como siempre. A 20 cm en el eje, $E_r = 3\times 8{,}99/0{,}20 =$ 135 V/m.

La segunda lección es el apartado (c) y vale para todo truncamiento de una serie: el error de truncar no es un número, es una función del ángulo. Decir «el cuadrupolo se equivoca un 1 % a 20 cm» es incompleto si no se dice dónde. Es exactamente el mismo aviso del artículo 03 sobre la ranura, donde el error del truncamiento se medía como máximo sobre toda la anchura y no en un punto.

Ejercicio 4

Una esfera de radio $R = 5$ cm tiene una densidad de carga en volumen $\rho(r,\theta) = A\,r\cos\theta$ , con $A = 1{,}0$ μC/m⁴.

(a) Monta y resuelve la integral del monopolo. (b) Ídem la del dipolo, y evalúa. (c) ¿Cuánta carga positiva hay en total? (d) Escribe $V$ fuera y evalúalo a 10 cm sobre el eje. ¿Qué momentos quedan por calcular?

Solución

(a) Con $d\tau = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ y la integral azimutal dando $2\pi$ :

Q = 2\pi A\int_0^{R} r^{3}dr\int_0^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 2\pi A\,\frac{R^{4}}{4}\cdot 0 = 0

La esfera es neutra: tiene tanta carga positiva arriba como negativa abajo.

(b) $p_z = \int z\rho\,d\tau = \int (r\cos\theta)(Ar\cos\theta)\,d\tau$ :

p_z = 2\pi A\int_0^{R}r^{4}dr\int_0^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta = 2\pi A\,\frac{R^{5}}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4\pi A R^{5}}{15} = 2{,}62\times10^{-13}\ \text{C}\!\cdot\!\text{m}

Nótese la diferencia con el apartado anterior: allí la integral angular era $\int P_1 P_0$ y se anulaba; aquí es $\int P_1P_1 = 2/3$ y sobrevive.

(c) Integrando $\rho$ sólo sobre el hemisferio norte —la mitad angular queda 1/2 en lugar de 0—: $Q_+ = 2\pi A R^{4}/8 = \pi A R^{4}/4 =$ 4,91 pC, y otro tanto de carga negativa abajo. Con esas cifras, el momento dipolar equivale a dos cargas de 4,91 pC separadas $p/Q_+ =$ 5,33 cm: algo más que el radio, porque la carga se concentra hacia el borde.

(d) $V = kp\cos\theta/r^{2} =$ 0,235 V a 10 cm en el eje. Y no queda ningún momento por calcular: todos los $n\ne 1$ se anulan por la misma ortogonalidad del ejercicio 1, porque la dependencia angular de $\rho$ es exactamente $P_1(\cos\theta)$ . El desarrollo tiene un solo término y es exacto fuera de la esfera.

La segunda lección es que la forma angular de la fuente selecciona los momentos, uno a uno y sin residuo. Una $\rho$ proporcional a $P_l$ sólo produce el multipolo $l$ ; una $\rho$ cualquiera se descompone en $P_l$ y cada trozo alimenta su propio término. Eso convierte el desarrollo multipolar en algo más que una aproximación lejana: es la descomposición natural de una distribución de carga, y la misma que en el artículo 03 descomponía una condición de contorno.

Resumen en frío · Módulo II.2 · Problemas de contorno

Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada fila está rehecha desde los datos, no copiada del párrafo que la enuncia. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado. Las tres últimas filas llevan todas las constantes y todos los números puros que el módulo usa.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
El problema de contorno	∇²V = −ρ/ε₀ dentro, V (o Q de cada conductor) prescrito en la frontera. Sustituye a «dada ρ, integra»	art. 01
Laplace en 1D	V = mx + b. Campo uniforme: 12 V en 1,0 mm → 12 kV/m constante	art. 01
Propiedad del valor medio	V(r) = (1/4πR²)∮V da sobre cualquier esfera sin carga dentro. 10 nC a 20 cm: 449 V, con esferas de 1 a 19,9 cm	art. 01
Valor medio con carga dentro	⟨V⟩ = V_ext(centro) + Q_enc/4πε₀R. Con 10 nC a 2 cm del centro de una esfera de 5 cm: 1 798 V frente a 4 494 V en el centro	art. 01
Sin extremos interiores	Los máximos y mínimos de V están siempre en la frontera. E = 0 sí es posible dentro: puntos de silla	art. 01
Primer teorema de unicidad	V en la frontera determina V dentro. Vale con ρ ≠ 0 dentro (la ρ se cancela en la diferencia)	art. 01
Corolario que legitima adivinar	La solución dentro no depende de cómo se haya producido el potencial de la frontera. De aquí sale todo el artículo 02	art. 01
Segundo teorema de unicidad	Con la carga TOTAL de cada conductor dada, E es único. Se demuestra con ∫E₃² = 0. Cáscara neutra con 5 nC dentro: fuera, 4,49 kV/m a 10 cm; con carga total +8 nC en la cáscara, la cara exterior lleva +13 nC y salen 11,7 kV/m	art. 01 y ej. 4
Teorema de Earnshaw, demostrado	La traza de la matriz de segundas derivadas de V es cero: nunca los tres autovalores del mismo signo. Cuadrado de 4 cargas de 10 nC y 10 cm de lado: ∂²V/∂x² = ∂²V/∂y² = +5,08×10⁵ y ∂²V/∂z² = −1,02×10⁶ V/m²; escape perpendicular al plano	art. 01, ej. res. 2
Relajación numérica	Cada nodo = promedio de sus 4 vecinos (2D). Coste Jacobi ∝ N²: 1 804 iteraciones con 20 × 20 y 6 786 con 40 × 40	art. 01
Caja cuadrada y cubo, por simetría	Un lado a V₀ y el resto a tierra: centro = V₀/4 = 25 V (cuadrado) y V₀/6 = 16,7 V (cubo). Dos caras, opuestas o adyacentes, dan lo mismo: V₀/3	art. 01 y ej. 3
Poisson 1D con carga entre placas	V = −ρx²/2ε₀ + Cx, C = V₀/d + ρd/2ε₀. Con d = 1 cm, ρ = 10 μC/m³, V₀ = 20 V: máximo de 25,9 V a 6,77 mm; σ = −67,7 y −32,3 nC/m²	art. 01, ej. 1
Condición de Neumann	Prescribir ∂V/∂n da unicidad salvo constante y exige ∮(∂V/∂n)da = −Q_enc/ε₀ para que exista solución	art. 01
Método de las imágenes, la regla	Sustituir el conductor por cargas ficticias FUERA de la región física que reproduzcan la condición de contorno. Vale por unicidad, y sólo en la región física	art. 02
Carga frente a plano a tierra	Imagen −q a distancia d por el otro lado. V = kq[1/r₊ − 1/r₋], sólo para z ≥ 0; debajo, E = 0 exactamente	art. 02
Carga inducida en el plano	σ(r) = −qd/2π(r²+d²)³ᐟ², y ∫σ da = −q exacto. q = 10 nC, d = 2 cm: σ(0) = −3,98 μC/m² y E = 449 kV/m justo encima	art. 02
Dónde está la carga inducida	Dentro de r: fracción 1 − d/√(r²+d²). El 50 % en √3·d = 3,46 cm, el 90 % en √99·d = 19,9 cm, el 99 % en 2,00 m (con d = 2 cm)	art. 02, ej. res. 1
Fuerza imagen	F = −kq²/4d², atractiva. 10 nC a 2 cm: 0,562 mN, el peso de 57 mg	art. 02, ej. res. 1
Energía imagen · EL FACTOR 2	W = −kq²/4d, la MITAD de la del par de cargas: el campo sólo existe en medio espacio. 10 nC a 2 cm: −11,2 μJ, no −22,5 μJ	art. 02, ej. res. 1
Ruptura del aire bajo la carga	E = 2kq/d² alcanza 3,0 MV/m con 66,8 nC a 2 cm, o con 10 nC a 7,74 mm	art. 02, ej. res. 1
Esfera de Kelvin	q′ = −qR/a a distancia R²/a del centro. R = 5 cm, a = 10 cm, q = 10 nC: q′ = −5,00 nC a 2,50 cm	art. 02 y ej. res. 2
Fuerza sobre la esfera a tierra	F = −kq²Ra/(a²−R²)² = −79,9 μN con esos datos	art. 02, ej. res. 2
Carga inducida en la esfera	−qR/a, NO −q. Aquí, la mitad. σ(θ) = −q(a²−R²)/4πR(R²+a²−2aRcosθ)³ᐟ²: −0,955 μC/m² en el polo próximo y −0,0354 en el lejano, razón [(a+R)/(a−R)]³ = 27. El 82,9 % está en el hemisferio próximo	art. 02, ej. res. 2 y ej. 4
Esfera aislada y neutra	Dos imágenes: la de Kelvin más +qR/a en el centro. F = −35,0 μN con los datos de arriba; asintóticamente F ≃ −2kq²R³/a⁵ (error 36 % a 2R, 9,3 % a 4R, 1,5 % a 10R). Superficie a kq/a = 899 V	art. 02, ej. 2
Dónde se rompe el método	Sólo plano, cuña de π/n con n entero (2n − 1 imágenes), esfera y cilindro. El test es 180/α entero, no 360/α: 90° → 2 (3 imágenes), 60° → 3 (5), 45° → 4 (7); 50° → 3,6 y 72° → 2,5, ninguna de las dos cierra aunque 360/72 = 5 sí sea entero	art. 02 y ej. 1
Dos planos perpendiculares	q = 10 nC en (3, 4) cm: F = (−196, −68,5) μN, módulo 207 μN a −160,7°, que NO apunta al rincón (−126,9°). σ(0, 4 cm) = −1,69 μC/m²	art. 02, ej. 1
Energía imagen de un electrón	W = −ke²/4z: −1,20 eV a 0,3 nm, −0,360 eV a 1 nm, −1 eV justo a 0,36 nm. Iguala k_BT (300 K) a 13,9 nm. Deja de valer por debajo de ~0,1 nm	art. 02, ej. 3
Separación de variables	V = X(x)Y(y) → dos EDO con constante ±k². La variable con DOS condiciones de contorno se lleva la ecuación oscilatoria	art. 03
La ranura semiinfinita	V = Σ_{n impar} (4V₀/nπ)·e^−nπx/a·sen(nπy/a). Con V₀ = 100 V: C₁ = 127,3 · C₃ = 42,4 · C₅ = 25,5 · C₇ = 18,2 V	art. 03
Ranura, forma cerrada	V = (2V₀/π)·arctan[sen(πy/a)/senh(πx/a)]. En (a/2, a/2) con a = 10 cm y V₀ = 100 V: 26,10 V por los dos caminos	art. 03 y ej. res. 1
Cuántos términos hacen falta	Para 1 % de V₀ de error máximo: 23 a x = 0,02a · 9 a 0,05a · 5 a 0,1a · 2 a 0,25a · 1 a 0,5a. Longitud de decaimiento del modo n: a/nπ (3,2 cm y 1,1 cm para n = 1 y 3 con a = 10 cm)	art. 03, ej. res. 1
Fenómeno de Gibbs	En la discontinuidad, la serie sobreoscila 8,95 % del salto (2V₀), o sea 17,9 % de V₀ → 117,9 V con V₀ = 100 V. NO baja al sumar términos: sólo se estrecha el pico (y = 0,10a con 5 términos, 0,0005a con 1 000)	art. 03
Completitud y ortogonalidad	∫₀ᵃ sen(nπy/a)sen(mπy/a)dy = (a/2)δ_nm. Completitud: existen los C_n. Ortogonalidad: se despejan uno a uno. Unicidad: la suma es LA solución	art. 03
Esféricas con simetría azimutal	V = Σ_l(A_lr^l + B_l/r^l+1)P_l(cosθ). Dentro sólo A_l, fuera sólo B_l	art. 03
Polinomios de Legendre	P₀ = 1 · P₁ = cosθ · P₂ = (3cos²θ−1)/2 · P₃ = (5cos³θ−3cosθ)/2. ∫₋₁¹P_lP_l′du = 2δ/(2l+1). cos2θ = (4/3)P₂ − (1/3)P₀	art. 03
Esfera conductora en campo uniforme	V = −E₀(r − R³/r²)cosθ; σ = 3ε₀E₀cosθ; E en el polo = 3E₀. R = 5 cm, E₀ = 100 kV/m: σ_máx = 2,66 μC/m², 300 kV/m en el polo, 20,9 nC en el hemisferio norte. Rompe el aire con E₀ = 1,0 MV/m	art. 03, ej. res. 2
Polarizabilidad de una esfera	α = 4πε₀R³, p = αE₀. R = 5 cm, E₀ = 100 kV/m: α = 1,39×10⁻¹⁴ C·m²/V, p = 1,39×10⁻⁹ C·m. La perturbación 2(R/r)³ baja del 1 % sólo a 5,85 R = 29,2 cm	art. 03, ej. res. 2 y ej. 2
Esfera dieléctrica	E_dentro = 3E₀/(ε_r+2), uniforme; p = 4πε₀R³E₀(ε_r−1)/(ε_r+2). Con E₀ = 100 kV/m: 70,6 kV/m (ε_r = 2,25), 42,9 (5), 3,66 (80). ε_r = 4 da ya la mitad del p del conductor; ε_r → ∞ lo devuelve entero	art. 03
Caja cerrada: senos hiperbólicos	V = Σ C_nsen(nπx/L)·senh(nπy/L)/senh(nπ). Centro del cuadrado: 25,37 V con 1 término, 24,99 con 2, exacto con 5	art. 03, ej. 4
Dónde falla la separación	Exige que la ecuación se separe (11 sistemas para Helmholtz, 13 para Laplace, clasificación de Morse y Feshbach) Y que la frontera sea superficie coordenada. Un rectángulo girado 30° ya no vale	art. 03
Desarrollo multipolar	V = (1/4πε₀)Σ_nr⁻⁽ⁿ⁺¹⁾∫(r′)ⁿP_n(cosα)ρ dτ′. Es EXACTO para r mayor que el tamaño de la distribución, y diverge dentro	art. 04
Los tres primeros términos	Monopolo kQ/r · dipolo kp·r̂/r² con p = ∫r′ρdτ′ · cuadrupolo ∝ 1/r³. En el campo, una potencia más	art. 04
Dependencia del origen	p̄ = p − Qa: p sólo es propiedad del objeto si Q = 0. +10 y −5 nC a 6 cm: p = −3,0×10⁻¹⁰ o −6,0×10⁻¹⁰ C·m según el origen; centro de carga en z = −6 cm, FUERA del segmento	art. 04, ej. res. 1
Regla general de los momentos	Sólo el PRIMER momento no nulo es independiente del origen. Cuadrupolo trasladado: Q̄_ij = Q_ij − 3(a_ip_j+a_jp_i) + 2(a·p)δ_ij cuando Q = 0	art. 04, ej. 2
Campo del dipolo puro	E_r = 2kp cosθ/r³, E_θ = kp senθ/r³, \|E\| = (kp/r³)√(1+3cos²θ). Eje = 2 × ecuador. E = k[3(p·r̂)r̂ − p]/r³. Ángulo con r̂: tanγ = ½tanθ (26,6° a 45°). Cáscara σ₀cosθ a 10 cm y 45°: 7,44 kV/m por las dos vías	art. 04 y ej. 1
Error del dipolo puro	V_exacto/V_dipolo = 1/(1 − d²/4r²) en el eje: 2,78 % a 3d, 1,00 % a 5d, 0,25 % a 10d. Duplicar r divide el error por 4	art. 04, ej. res. 2
Campo de una molécula de agua	p = 1,85 D = 6,17×10⁻³⁰ C·m. En el eje: 111 MV/m a 1 nm (37 × la rigidez del aire) y 4,11×10⁹ V/m a 0,3 nm	art. 04, ej. res. 2
Cuadrupolo lineal	+q en ±d y −2q en el origen: V = 2kqd²P₂(cosθ)/r³, con Q_zz = 4qd² = 1,6×10⁻¹¹ C·m². q = 10 nC, d = 2 cm: 8,99 V en el eje a 20 cm (exacto 9,078 V, −1,00 %) y −4,49 V en el ecuador (exacto −4,460 V). Se anula en el ángulo mágico 54,7°	art. 04, ej. 3
La forma angular selecciona el momento	Una ρ o σ proporcional a P_l produce SÓLO el multipolo l, por ortogonalidad. σ = σ₀cosθ sobre R = 5 cm con σ₀ = 1 μC/m²: p = 5,24×10⁻¹⁰ C·m, V = 471 V a 10 cm en el eje, E dentro = σ₀/3ε₀ = 37,6 kV/m. ρ = Ar cosθ: p = 4πAR⁵/15 = 2,62×10⁻¹³ C·m con A = 1 μC/m⁴	art. 04, ej. 1 y 4
Constantes universales	ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m · k = 1/4πε₀ = 8,988×10⁹ N·m²/C² · e = 1,602×10⁻¹⁹ C · k_BT a 300 K = 4,14×10⁻²¹ J = 25,9 meV	art. 01 a 04
Datos del mundo que el módulo usa	rigidez dieléctrica del aire seco 3,0×10⁶ V/m · función de trabajo del cobre ≈ 4,7 eV · 1 debye = 3,33564×10⁻³⁰ C·m · p(H₂O) = 1,85 D · ε_r: agua 80, vidrio ≈ 5, polietileno 2,25	art. 02 a 04
Números puros que hay que reconocer	√3 = 1,732 (radio del 50 % de la carga imagen) · 8,95 % (Gibbs, del salto) · 3 (esfera conductora en campo uniforme) · 2 (eje/ecuador del dipolo) · 54,7° (ángulo mágico, P₂ = 0) · 1/4 y 1/6 (centro de la caja y del cubo)	art. 01 a 04