La mayor presión que un campo eléctrico puede ejercer sobre un conductor rodeado de aire seco es 39,8 pascales: cuatro diezmilésimas de la presión atmosférica, el peso de cuatro kilos repartidos por un metro cuadrado. Por encima, el aire se rompe y salta la chispa. Ese techo tan bajo no es una anécdota: es la razón de que la energía eléctrica se transporte y se transforme con campos magnéticos y con corrientes, y no con electrostática, y de que un condensador con aire entre las placas guarde sesenta millones de veces menos energía por litro que una batería de litio. Este artículo cuenta de dónde sale ese número, y de paso cierra el módulo con la única clase de material que resuelve la electrostática por su cuenta: el conductor.
Cuánto cuesta montar una distribución de carga
Traer una carga desde el infinito hasta un punto donde el potencial vale cuesta un trabajo , porque eso es lo que significa el potencial. Montar un conjunto entero es repetir la operación, con el detalle de que cada carga nueva sólo paga por las que ya estaban:
El aparece al soltar la restricción y contar cada pareja dos veces, y es el potencial creado por todas las demás en el sitio de la . En el continuo, la suma pasa a integral:
Y aquí se puede hacer algo que cambia la manera de entender el resultado. Sustituyendo , integrando por partes con y llevando la superficie al infinito —donde cae como mientras el área crece como , de modo que el término de superficie se anula— queda
El mismo número, con las cargas fuera de la fórmula. La lectura natural es que la energía está en el campo, repartida por el espacio con una densidad de energía del campo eléctrico , incluso donde no hay ni una carga. En electrostática las dos lecturas son intercambiables y da igual cuál se prefiera; deja de dar igual en cuanto los campos se propagan —en el módulo II.5, con el vector de Poynting—, y ahí la única lectura que sobrevive es la del campo.
Dos avisos que la fórmula lleva incorporados y que se olvidan a partes iguales. El primero: la energía no se superpone. Como va con , juntar dos distribuciones da
y ese término cruzado es justo la energía de interacción, la que se convierte en trabajo cuando las dos distribuciones se atraen. Duplicar la carga de un cuerpo cuadruplica su energía. El segundo: las dos fórmulas de no son equivalentes para cargas puntuales. excluye la energía de cada carga consigo misma; la incluye, y esa autoenergía es infinita. Es un problema abierto, y viene su sección.
Problema. Calcula la energía de la esfera de los artículos 02 y 03 ( cm, nC uniformes) con y con . Compárala con la de la misma carga puesta toda sobre la superficie, y di qué fracción de la energía está dentro de la esfera.
Solución. Por el primer camino, con constante y del artículo 03:
Por el segundo hay que integrar en todo el espacio, con las dos ramas del campo:
Coinciden, como tenían que hacer. Numéricamente, 10,8 μJ. Con toda la carga en la superficie el campo interior es nulo y sólo queda la segunda integral: 8,99 μJ.
Resultado. La esfera maciza cuesta un factor más que la cáscara con la misma carga, y ese exceso está entero en el interior: la primera de las dos integrales, , es exactamente un sexto del total, 16,7 %. Y ahí está la lección que importa, porque explica un fenómeno físico real: una configuración con la carga apretada cuesta más energía que una con la carga extendida, de modo que si las cargas pudieran moverse, se irían a la superficie. En un aislante no pueden y la esfera maciza se queda como está; en un conductor sí pueden, y por eso —como se ve más abajo— toda la carga de un conductor acaba en su superficie. No es una regla que haya que memorizar: es la configuración de mínima energía, encontrada sola.
La autoenergía, que es infinita y sigue sin resolverse
Aplicando a una carga puntual, la integral radial es , que diverge en el origen. Una carga puntual tiene energía infinita. No es un artefacto de notación: el mismo cálculo aplicado a una esfera de radio da , que crece sin límite al encoger la esfera.
El intento histórico de tomárselo en serio se llama radio clásico del electrón: si toda la masa del electrón fuera energía electrostática de su propio campo, igualando sale fm (con el modelo de esfera uniforme, y su , saldría 1,69 fm). Es un número que aparece de verdad en física —la sección eficaz de Thomson va con — pero no es el tamaño del electrón: los experimentos lo acotan por debajo de 10⁻¹⁸ m, casi tres mil veces más pequeño —tres órdenes de magnitud y medio—, y a esa escala la electrodinámica clásica ya no vale.
Conviene decir dónde queda el asunto, sin adornos. La electrodinámica clásica no tiene solución para la autoenergía de una carga puntual: se convive con ella descartando el término infinito, que es lo que hace automáticamente al excluir . La teoría cuántica de campos tampoco la elimina; la absorbe en la masa medida mediante la renormalización, que funciona extraordinariamente bien y sigue incomodando a mucha gente. Es el ejemplo más limpio de una teoría que predice con doce cifras y tiene una grieta en su objeto más simple.
El conductor, que resuelve su propio problema
Un conductor tiene cargas libres, y en equilibrio electrostático —es decir, cuando han dejado de moverse— eso obliga a cinco cosas, todas consecuencia de la primera:
| Propiedad | Por qué |
|---|---|
| E = 0 dentro | Si no, las cargas libres se moverían y no habría equilibrio |
| ρ = 0 dentro | De ∇·E = ρ/ε₀ con E = 0 |
| Toda la carga en la superficie | Es lo único que queda tras lo anterior |
| Es un volumen equipotencial | V₂ − V₁ = −∫E·dl = 0 entre dos puntos cualesquiera |
| E ⊥ a la superficie, de módulo σ/ε₀ | La componente tangencial movería carga; el módulo, de la caja gaussiana |
La quinta merece un aviso, porque se confunde con el campo de un plano cargado. Justo fuera de un conductor el campo vale , no : dentro es cero y fuera es todo, así que el salto entero se lo lleva un lado. Un plano cargado aislado, con campo a los dos lados, reparte el salto entre ambos.
Con cifras, que es como estas cinco propiedades dejan de ser una lista que memorizar. Una esfera conductora de 10 cm de radio con 10 nC: la carga no se queda por dentro sino que se reparte entera por la superficie, con 79,6 nC/m²; justo fuera el campo vale 8,99 kV/m, que es exactamente el de una carga puntual en el centro —tiene que serlo—; y dentro es cero en todo punto, no «pequeño». Una lámina aislante con esa misma daría la mitad, 4,49 kV/m, a cada lado: ése es el factor 2 del aviso anterior, medido.
Lo verdaderamente útil de todo esto es el vuelco de estrategia. En los tres artículos anteriores se daba la carga y se calculaba el campo. Con un conductor no se sabe dónde está la carga —se coloca ella sola, y dónde acaba depende de la forma del conductor y de lo que haya alrededor—, así que el problema directo ya no se puede plantear. Lo que se conoce en su lugar es una condición de contorno: constante sobre cada conductor. Resolver Laplace con esas condiciones y deducir a posteriori de es el problema de contorno, y es el módulo II.2 entero.
Una consecuencia que sí cabe aquí, porque sale sólo de Gauss: si el conductor tiene una cavidad vacía, el campo dentro de ella es exactamente cero, valga lo que valga el campo exterior. Y si dentro de la cavidad hay una carga , la superficie interior adquiere y la exterior , repartida como si la cavidad no existiera: desde fuera no hay manera de saber dónde está la carga dentro. Eso es la jaula de Faraday, y funciona en los dos sentidos. Siguiendo con la esfera de antes: si se le excava una cavidad y se mete dentro 1 nC, la cara interior adquiere nC —repartido de forma desconocida, porque depende de dónde esté la carga— y la exterior pasa de 10 a 11 nC, todavía uniformes, con 87,5 nC/m². Desde fuera, la única señal de que ha pasado algo es ese nanoculombio de más; de la posición de la carga interior, ninguna.
La presión electrostática, y por qué es tan pequeña
Sobre la superficie de un conductor hay carga y hay campo, luego hay fuerza. El cálculo tiene una trampa fina: el campo que empuja a un elemento de superficie no es , porque una carga no se empuja a sí misma. El campo debido al resto del conductor es el promedio de los dos lados, , y la presión electrostática resulta
—numéricamente idéntica a la densidad de energía, lo cual no es coincidencia sino el resultado de derivar la energía respecto al volumen—, y siempre hacia fuera: un conductor cargado tiende a hincharse, tenga la carga el signo que tenga, porque no distingue signos.
Y ahora el número del principio. El campo máximo que el aire seco aguanta antes de ionizarse es la rigidez dieléctrica, V/m, de modo que
el 0,039 % de una atmósfera. Y como la presión y la densidad de energía son el mismo número, eso significa además que un condensador con aire entre las placas no puede guardar más de 39,8 J/m³. Una batería de litio ronda los 700 W·h por litro, es decir 2,5×10⁹ J/m³: un factor 6,3×10⁷. Ésa es la respuesta cuantitativa a por qué no hay coches eléctricos con condensadores, y por qué toda la ingeniería de almacenamiento electrostático consiste en meter un dieléctrico que aguante más campo y en fabricar superficies enormes —el asunto del módulo II.4.
Problema. Dos placas paralelas de 100 cm² separadas 1 mm de vacío, cargadas a 100 V. Halla la capacidad, la carga, el campo, la densidad superficial, la energía almacenada y la fuerza con la que se atraen las placas. ¿A qué tensión saltaría la chispa si hubiera aire?
Solución. Del ejercicio 3 del artículo 02, el campo entre dos láminas de densidad vale y es uniforme. Entonces y la capacidad eléctrica es
Con 100 V: 8,85 nC, 100 kV/m y 885 nC/m². La energía no se puede escribir sin deducirla, y la deducción es una línea: cargar el condensador consiste en traer tras contra la tensión que ya hay, , que va subiendo mientras se carga:
El vuelve a aparecer por la misma razón que en : no se paga , se paga contra el promedio. La fuerza es la presión por el área:
Y la chispa: kV.
Resultado. Cuatrocientos cuarenta y tres nanojulios y cuatrocientos cuarenta y tres micronewtons — la coincidencia de cifras no es casual: con mm, que es otra forma de decir que la fuerza entre las placas es la derivada de la energía respecto a la separación. La fuerza es el peso de 45 miligramos: un condensador de laboratorio no mueve nada. La segunda lección está en la escala de la capacidad: 88,5 pF con un decímetro cuadrado de placa. Para llegar a 1 F —una unidad que en un catálogo de electrónica es corriente— harían falta con este espesor 113 millones de metros cuadrados de placa, y ésa es la razón de que un condensador real no tenga vacío dentro: lleva un dieléctrico que multiplica por su constante y permite bajar a micras sin que salte el arco. Nada de eso cabe en este módulo, y todo está en el II.4.
Lo que este módulo deja deliberadamente sin hacer. El problema más famoso de la electrostática elemental —una carga puntual frente a un plano conductor infinito— no aparece aquí, y no por falta de sitio. Se resuelve con el método de las imágenes, que sustituye el plano por una carga ficticia al otro lado, y ese truco no es un truco: es un corolario del teorema de unicidad, que dice que si encuentras una solución de Laplace que cumpla las condiciones de contorno, ya es la solución. Sin haber demostrado ese teorema, el método de las imágenes parece magia y se aprende mal. Por eso vive entero en el módulo II.2, «Problemas de contorno», junto con la separación de variables y el desarrollo multipolar — y no partido entre dos módulos.
Lo mismo vale para el dieléctrico del ejemplo anterior: aquí sólo hay vacío y conductores, que son los dos casos extremos —permitividad 1 y conductividad infinita—. Todo lo que hay en medio, que es toda la materia real, es el módulo II.4.
Ejercicios
Una esfera conductora de 10 cm de radio se carga en aire seco. (a) ¿Cuál es la máxima carga que admite antes de que salte la chispa? ¿Y su potencial y su capacidad? (b) Calcula su energía integrando por todo el espacio, y compruébalo contra . (c) ¿Qué fracción de esa energía está dentro de una esfera de 1 m de radio, y a qué radio está la mitad? (d) Compara la energía total con la de una pila AA alcalina (unos 4 W·h).
Solución
El campo en la superficie de una esfera conductora es , y el límite es MV/m:
Su potencial es 300 kV —nótese lo elegante del resultado intermedio: el potencial máximo de una esfera es sencillamente el campo de ruptura por el radio— y su capacidad, 11,1 pF.
(b) Dentro del conductor el campo es cero, así que la integral empieza en y llega hasta el infinito con :
Los dos caminos coinciden, y el segundo es más barato — pero el primero es el que dice dónde está la energía, y eso lo pide el apartado (c). La integral truncada en da , o sea una fracción del total. Con m sale el 90 %, y la mitad está dentro de 20 cm: la mitad de la energía de una esfera cargada vive en la cáscara de espacio vacío que va de su superficie a un radio más allá.
(d) Medio julio frente a los 14 400 J de la pila (4 W·h × 3 600 s/h): un factor 29 000. La segunda lección es la que explica los pararrayos y las puntas: como , para un mismo potencial el campo en la superficie va como , de modo que lo que descarga no es la carga, es la curvatura. Una punta de 1 mm de radio al mismo potencial de 300 kV tendría un campo cien veces mayor, y por eso ioniza el aire a su alrededor mucho antes. Y conviene calibrar los 0,50 J con algo conocido: son sesenta y siete veces el chispazo de la manilla de un coche, que son 7,5 mJ —un cuerpo humano de 150 pF cargado a 10 kV—. Una esfera de 10 cm a 300 kV ya no es un juguete.
La esfera conductora del ejercicio 1 —10 cm de radio, cargada hasta el límite del aire seco— se parte mentalmente en dos mitades por un plano diametral. (a) Comprueba que su carga es la que corresponde a y halla la presión electrostática sobre su superficie. (b) Monta la integral de la fuerza con la que una mitad empuja a la otra: la presión es normal a la superficie en cada punto, así que hay que proyectar antes de sumar. (c) Alguien contesta «presión por área, o sea ». ¿En qué se equivoca, y por qué el factor que le sobra es exactamente 2? (d) ¿Qué campo y qué harían falta para que esa presión llegase a una atmósfera? ¿Se puede en aire?
Solución
(a) Justo fuera de un conductor , así que en la ruptura 26,6 μC/m², y 3,34 μC, que es la carga máxima del ejercicio 1 por otro camino. La presión es la del artículo: 39,8 Pa, la misma en todos los puntos porque es uniforme.
(b) Sobre cada elemento hay una fuerza dirigida a lo largo de , hacia fuera. Por simetría sólo sobrevive la componente perpendicular al plano del corte —las demás se cancelan a pares, como en el anillo del artículo 01—, y esa componente lleva el factor , con medido desde el eje del corte. Con :
(c) El error es no proyectar. Los 2πR² = 0,0628 m² son el área del casquete, y sobre ella las fuerzas apuntan en todas las direcciones de un semiespacio, de modo que se estorban entre sí. La integral es justamente el valor medio de pesado por el área, y ese convierte el área del casquete en el área proyectada, m², que es el círculo del corte. De ahí el factor 2 exacto.
(d) Igualando a 101 325 Pa sale 151 MV/m y 1,34 mC/m². En aire no se llega ni de lejos: se rompe con un campo 50 veces menor. Y conviene mirar de qué no dependen esas dos cifras — del radio: no hay ninguna esfera, de ningún tamaño, cuya presión electrostática en aire pase de los 39,8 Pa del apartado (a).
La segunda lección es que el resultado área proyectada no tiene nada de electrostático: vale para cualquier presión uniforme y normal sobre una tapa, y depende sólo del borde, no de la forma de la tapa. Es el mismo cálculo con el que se dimensiona el fondo de una caldera o el tapón de un cilindro a presión, y por eso ahí también se usa y no el área real de la pieza. La calibración cierra el argumento del principio del artículo: sobre ese mismo círculo la atmósfera aprieta con 3 183 N, 2 543 veces más que el campo más fuerte que el aire tolera. Y 1,25 N es el peso de 128 gramos: una esfera cargada hasta el límite absoluto no levanta ni un teléfono móvil. La electrostática no mueve cosas; mueve electrones.
Demuestra, sólo con la ley de Gauss y con dentro del metal, que (a) no puede haber carga neta en el interior de un conductor macizo en equilibrio y (b) el campo dentro de una cavidad vacía de ese conductor es cero, esté el conductor donde esté y haya lo que haya fuera.
Solución
(a) Toma cualquier superficie cerrada contenida enteramente en el metal. Como en todos sus puntos, el flujo es cero y por Gauss la carga encerrada también. Vale para cualquier superficie, por pequeña que sea, luego en todo punto interior.
(b) Rodea la cavidad con una superficie gaussiana que discurra por el metal: el flujo es cero, luego la carga total de la pared de la cavidad es cero. Falta descartar que haya cargas iguales y opuestas repartidas por ella —lo que daría campo dentro sin violar Gauss—, y para eso hace falta el otro teorema: si hubiera campo en la cavidad, existiría una línea de campo que iría de una zona positiva a una negativa de la pared, y cerrándola por el metal (donde ) tendríamos , contra .
La segunda lección es que ese apartado (b) necesita las dos ecuaciones, no sólo Gauss. Es el ejemplo más limpio del módulo de que y son información independiente y de que hacen falta las dos para determinar un campo. Y el resultado tiene una consecuencia práctica que se comprueba a diario: el interior de una jaula de Faraday está protegido del exterior sin necesidad de toma de tierra, porque nada de esta demostración la ha usado.
El condensador del ejemplo resuelto 2 — pF cargado a V— se conecta mediante un cable a un segundo condensador descargado de capacidad .
(a) Resuelve el caso general: halla y las energías inicial y final en función de , y , y demuestra que la fracción de energía que desaparece vale — sin por ninguna parte. (b) Evalúa con y con . (c) Para el caso , rehaz el balance por el otro camino: monta sobre el hueco de cada condensador —los dos de 100 cm² y 1 mm— antes y después, y di qué cambia más al conectarlos, la densidad de energía o el volumen que la aloja. (d) ¿Adónde ha ido lo que falta, y depende la respuesta de la resistencia del cable?
Solución
(a) Lo único que se conserva es la carga: se reparte entre los dos condensadores, que quedan a la misma tensión por estar unidos por un conductor. Luego , y las dos energías son
de modo que se pierde la fracción . La se ha ido al simplificar porque las dos energías van con : la fracción perdida no depende de con cuánta tensión se empiece, sólo del cociente de capacidades.
(b) Con la fracción es exacta: nC repartidos entre una capacidad doble dan 50 V, y la energía pasa de 443 nJ a 221 nJ. Con la fracción sube a 90,9 %: quedan V y 40,2 nJ. El límite dice hacia dónde va esto: descargar un condensador sobre otro mucho mayor —o sobre una batería— pierde casi todo.
(c) La energía está en el hueco, y con placas de cm² separadas mm el campo es uniforme, así que la integral se reduce a por el volumen m³:
Ahí está contestada la pregunta: el campo se ha partido por dos, así que la densidad de energía —que va con — cae a la cuarta parte, mientras que el volumen que la aloja sólo se duplica. Cuatro contra dos: de ahí el factor 2 final, y de ahí que el resultado no dependa de . Conviene notar que este camino no ha usado en ningún momento: sale de y de la geometría.
(d) A calor en la resistencia del cable, y —si el cable fuera un superconductor ideal— a radiación electromagnética, porque una corriente que cambia radia. El resultado no depende de la resistencia, y ésa es la parte desconcertante: bajar la resistencia acelera el trasvase pero no reduce la pérdida, sólo cambia el reparto entre calor y radiación.
La segunda lección es de método, y vale mucho más que el ejercicio: la conservación de la carga es una ley y la conservación de la energía «del condensador» no lo es, porque el condensador no es un sistema aislado — hay un cable, y por él se va. Cuando un balance energético no cuadra, la pregunta correcta nunca es «¿dónde está el error?» sino «¿qué parte del sistema he dejado fuera?». Es exactamente la pregunta que hay que hacerse en el problema 6 de la hoja, donde el sistema tiene una pieza más que ésta.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada fila está rehecha desde los datos, no copiada del párrafo que la enuncia. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado. Las tres últimas filas llevan todas las constantes que el módulo usa.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Ley de Coulomb, forma vectorial | F = (1/4πε₀)·qQ(r−r′)/|r−r′|³. Dos cargas de 1 nC a 1 cm: 89,9 μN | art. 01 |
| Campo de una distribución | E = (1/4πε₀)∫(r−r′)/|r−r′|³ dq′. Son TRES integrales, una por componente cartesiana | art. 01 |
| Anillo en su eje | E = kQz/(z²+R²)³ᐟ². Máximo en z = R/√2 y vale 0,385·kQ/R²: 13,8 kV/m a 3,54 cm (R = 5 cm, Q = 10 nC) | art. 01, ej. res. 1 |
| Disco en su eje | E = (σ/2ε₀)(1 − z/√(z²+R²)). R = 10 cm, Q = 10 nC (σ = 318 nC/m²): 17,8 kV/m a 1 mm | art. 01 |
| Corona circular en su eje | E = (σ/2ε₀)(z/√(z²+b²) − z/√(z²+R²)): al abrir el agujero desaparece el término de plano infinito y E(0) = 0. R = 10 cm, b = 1 cm, σ = 318 nC/m²: 1,61 kV/m a 1 mm (el 9,0 % del disco entero) y máximo de 12,6 kV/m a 1,95 cm | art. 01, ej. 4 |
| Semianillo, en su centro | E = 2kQ/πR² = 22,9 kV/m (R = 5 cm, Q = 10 nC). El 2/π es la proyección media; el anillo entero da 0 | art. 01, ej. 1 |
| Plano infinito | E = σ/2ε₀, independiente de la distancia. σ = 318 nC/m² → 18,0 kV/m; σ = 1 μC/m² → 56,5 kV/m | art. 01 |
| Cuándo algo es «infinito» | Error del plano = z/√(z²+R²) ≈ z/R. Disco de 10 cm: 1,0 % a 1,00 mm, 10 % a 10,1 mm, 44,7 % a 5,0 cm — donde la aproximación z/R ya se queda corta (predice 50 %) | art. 01, ej. 2 |
| Hilo infinito | E = λ/(2πε₀s) ∝ 1/s. λ = 1 μC/m a 1 cm: 1,80 MV/m; a 6,0 mm alcanza la ruptura del aire | art. 01, ej. res. 2 |
| Segmento finito, en su mediatriz | E = (2kλL)/(s√(s²+L²)); razón al infinito = L/√(s²+L²). Hilo de 1 m a 1 cm: −0,020 %; el 1 % llega a 7,1 cm | art. 01, ej. res. 2 |
| Flujo eléctrico | Φ = ∫E·da, en V·m = N·m²/C | art. 02 |
| Ley de Gauss, forma integral | ∮E·da = Qenc/ε₀, sea cual sea la superficie. 1 nC → 113 V·m | art. 02 |
| Flujo y ángulo sólido | Φ = qΔΩ/4πε₀. Carga en un vértice de un cubo: 14,1 V·m en total y 4,71 V·m por cada cara lejana; en el centro, 18,8 V·m por cara | art. 02, ej. 1 |
| Ley de Gauss, forma diferencial | ∇·E = ρ/ε₀ — la primera ecuación de Maxwell | art. 02 |
| Operadores radiales (los del módulo) | Esféricas: ∇·E = (1/r²)∂(r²E)/∂r y ∇²V = (1/r²)d(r²dV/dr)/dr · cilíndricas: ∇·E = (1/s)∂(sE)/∂s | art. 02 y 03 |
| Rotacional nulo | ∇×E = 0 ⟺ ∮E·dl = 0, sólo en estática. En cartesianas: (∂yEz−∂zEy, ∂zEx−∂xEz, ∂xEy−∂yEx) | art. 02, ej. 4 |
| Divergencia de la carga puntual | ∇·(r̂/r²) = 4πδ³(r) | art. 02 |
| Las tres simetrías | Dentro E = ρr/(d·ε₀) con d = 3 (esfera), 2 (cilindro), 1 (lámina). Fuera: 1/r², 1/r, constante. En la lámina, R es el SEMIespesor y r se mide desde el plano central | art. 02 |
| Esfera maciza uniforme | E = kQr/R³ dentro, kQ/r² fuera. R = 5 cm, Q = 10 nC (ρ = 19,1 μC/m³): 18,0 / 36,0 / 8,99 kV/m en R/2, R y 2R | art. 02, ej. res. 1 |
| Cuándo se puede despejar E | Sólo si la simetría fija la dirección de E y su módulo es constante en la superficie gaussiana | art. 02 |
| Carga de la Tierra | σ = ε₀E = −0,885 nC/m² con E = 100 V/m; Q = −452 kC = 2,82×10²⁴ electrones; C = 4πε₀R = 709 μF | art. 02, ej. res. 2 |
| Cota experimental de la ley | Exponente 2 + δ con |δ| ≤ 2,7×10⁻¹⁶ (Williams, Faller y Hill, 1971). Un δ ≠ 0 daría masa al fotón | art. 02 |
| Potencial | V = −∫E·dl; E = −∇V. Carga puntual: V = kq/r. Un protón a 52,9 pm: 27,2 V | art. 03 |
| Potencial de una distribución | V = (1/4πε₀)∫dq′/|r−r′| — UNA integral escalar, contra tres vectoriales | art. 03 |
| Poisson y Laplace | ∇²V = −ρ/ε₀; sin carga, ∇²V = 0 | art. 03 |
| Potencial de la esfera maciza | V = (kQ/2R)(3 − r²/R²) dentro, kQ/r fuera. V(0)/V(R) = 3/2 exacto: 2,70 kV frente a 1,80 kV (R = 5 cm, Q = 10 nC) | art. 03, ej. res. 1 |
| Disco: V y E de un tirón | V = (σ/2ε₀)(√(z²+R²) − z), y E = −dV/dz da lo del art. 01. R = 10 cm, Q = 20 nC: V(0) = 3 595 V, E(0) = 36,0 kV/m; a 4 cm, 2 434 V y 22,6 kV/m | art. 03, ej. res. 2 |
| Potencial de un segmento, en su mediatriz | V = (λ/2πε₀)·ln[(L+√(L²+s²))/s], y −dV/ds devuelve el E del art. 01. Hilo de 1 m, λ = 1 μC/m, a 1 cm: 82,8 kV. Diverge con L (41,4 kV por década), pero ΔV entre 1 y 2 cm son 12,5 kV, los mismos que en el hilo infinito | art. 03, ej. 4 |
| Condiciones de contorno | E⊥ salta σ/ε₀ · E∥ continua · V continuo. σ = 1 μC/m² → salto de 113 kV/m | art. 03 |
| Dipolo | V = kp·cosθ/r² con p = qd; E ∝ 1/r³. Cada orden multipolar cae una potencia más deprisa | art. 03, ej. 2 |
| Teorema de Earnshaw | Laplace no admite extremos interiores: no hay equilibrio estable con cargas fijas. Sólo puntos de silla | art. 03, ej. 3 |
| Referencia del potencial | V(∞) = 0 vale para distribuciones acotadas; falla para el hilo y el plano infinitos, donde la referencia va a distancia finita | art. 03 |
| Campo en una membrana celular | 70 mV / 5 nm = 14 MV/m, 4,7 × la rigidez del aire seco; σ = ε₀E = 124 μC/m² | art. 03, ej. 1 |
| Energía de montaje | W = ½ΣqiVi = ½∫ρV dτ. La SUMA DISCRETA excluye la autoenergía de cada carga puntual | art. 04 |
| Energía del campo | W = (ε₀/2)∫E² dτ en TODO el espacio; densidad u = ε₀E²/2. Incluye la autoenergía; para una ρ continua las dos expresiones dan lo mismo | art. 04 |
| La energía no se superpone | Wtotal = W₁ + W₂ + ε₀∫E₁·E₂ dτ. Doblar la carga cuadruplica la energía | art. 04 |
| Energía de una esfera | Maciza (3/5)kQ²/R = 10,8 μJ; cáscara ½kQ²/R = 8,99 μJ (R = 5 cm, Q = 10 nC). Razón 6/5; un sexto de la energía está dentro | art. 04, ej. res. 1 |
| Autoenergía | La de una carga puntual diverge. re = ke²/mec² = 2,82 fm; tamaño medido del electrón < 10⁻¹⁸ m | art. 04 |
| Conductor en equilibrio | E = 0 y ρ = 0 dentro · carga toda en la superficie · equipotencial · fuera E = σ/ε₀ ⊥ (no σ/2ε₀). R = 10 cm, 10 nC: σ = 79,6 nC/m² → 8,99 kV/m | art. 04 |
| Presión electrostática | P = σ²/2ε₀ = ε₀E²/2 = u, siempre hacia fuera. A la ruptura del aire: 39,8 Pa, el 0,039 % de 1 atm | art. 04 |
| Fuerza sobre media esfera cargada | F = P·πR², el área PROYECTADA y no los 2πR² del casquete. Esfera de 10 cm en la ruptura del aire: 1,25 N, 2 543 veces menos que la atmósfera sobre ese mismo círculo | art. 04, ej. 2 |
| Densidad de energía máxima en aire | 39,8 J/m³, frente a 2,5×10⁹ J/m³ de una batería de litio: factor 6,3×10⁷ | art. 04 |
| Esfera conductora al límite | Vmáx = Erup·R. Con R = 10 cm: 300 kV, Q = 3,34 μC, W = kQ²/2R = 0,50 J, C = 11,1 pF | art. 04, ej. 1 |
| Dónde está la energía del campo | Fuera de un radio r hay la fracción R/r del total: la mitad cae entre R y 2R, el 90 % dentro de 10R | art. 04, ej. 1 |
| Capacidad | C = Q/V; esfera aislada 4πε₀R (1 m → 111 pF); plano ε₀A/d; U = ½CV² = Q²/2C | art. 04, ej. res. 2 |
| Condensador de 100 cm² y 1 mm | C = 88,5 pF. A 100 V: Q = 8,85 nC, E = 100 kV/m, σ = 885 nC/m², U = 443 nJ, F = 443 μN. Salta el arco a 3,0 kV | art. 04, ej. res. 2 |
| Trasvase de carga entre condensadores | Vf = C₁V₀/(C₁+C₂); se pierde la fracción C₂/(C₁+C₂), sea cual sea V₀ y sea cual sea la resistencia. Con C₂ = C₁: 100 → 50 V y 443 → 221 nJ, la mitad | art. 04, ej. 4 |
| Constantes universales | ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m · k = 1/4πε₀ = 8,988×10⁹ N·m²/C² · 1/ε₀ = 1,129×10¹¹ m/F · e = 1,602×10⁻¹⁹ C | art. 01 a 04 |
| Datos del mundo que el módulo usa | rigidez dieléctrica del aire seco 3,0×10⁶ V/m · campo atmosférico de buen tiempo 100 V/m · radio de la Tierra 6 371 km | art. 01 a 04 |
| Escalas atómicas que aparecen | a₀ = 52,9 pm · mec² = 0,511 MeV · re = 2,818 fm | art. 03 y 04 |