Hoja de problemas del módulo II.1

El positronio es un estado ligado de un electrón y un positrón: la misma carga que el hidrógeno, pero las dos partículas pesan exactamente lo mismo. Vive poco, porque acaba aniquilándose, y aun así se le ha medido el espectro con una precisión de partes por millón.

(a) ¿Cuánto vale la masa reducida, y qué le pasa por tanto a $a_0$ y a la energía de ligadura? Calcula el radio de Bohr del positronio, $E_1$ y la longitud de onda de la transición $1s \to 2p$. (b) ¿Sigue valiendo el teorema del virial? Justifícalo mirando la deducción del artículo 01, no el resultado, y saca de ahí $\langle T\rangle$, $\langle V\rangle$ y la velocidad $\sqrt{\langle v^2\rangle}$ del movimiento relativo. (c) Sabiendo que en el hidrógeno $A(2p\to1s) = 6{,}2649\times10^8$ s⁻¹, calcula la del positronio razonando por separado cómo entra la masa reducida en $\omega$ y en el elemento de matriz, y da la vida del 2p. (d) Al aniquilarse en su estado fundamental de espín cero, el positronio emite dos fotones. ¿Qué energía se lleva cada uno, y en qué razón está el total con la energía de ligadura de (a)? Esa razón tiene forma cerrada en $\alpha$: encuéntrala.

En 1913 Henry Moseley midió los rayos X característicos de casi todos los elementos conocidos y encontró que la raya $K_\alpha$ —la caída de un electrón de $n=2$ al hueco que otro ha dejado en $n=1$— cumple una ley sorprendentemente simple. Con ella ordenó la tabla periódica por número atómico en vez de por peso, y dejó huecos donde faltaban elementos.

(a) Argumenta por qué el electrón que cae ve una carga efectiva $Z-1$ y no $Z$, y escribe la energía del fotón $K_\alpha$ en función de $Z$. (b) Evalúala para el hierro ($Z=26$), el cobre (29), el molibdeno (42) y el wolframio (74), y compárala con lo medido —las $K_{\alpha 1}$ de la NIST X-Ray Transition Energies Database, que es de donde salen y no del catálogo ASD—: $6403{,}8$, $8047{,}8$, $17\,479{,}3$ y $59\,318{,}2$ eV. (c) El error crece de forma sistemática con $Z$. Ajusta con qué potencia de $Z$ crece el error relativo y compáralo con el parámetro $(Z\alpha)^2$ del artículo 01. Después contesta la pregunta que decide el asunto: ¿qué modelo de apantallamiento produce un error relativo que crece con $Z$? (d) Prueba la vía contraria. En vez de suponer que el apantallamiento vale 1, despeja de cada medida el $\sigma$ que la reproduciría exactamente, con $E = \tfrac34\text{Ry}\,(Z-\sigma)^2$. ¿Es constante? ¿Qué demuestra su signo en el wolframio?

Un átomo de hidrógeno se prepara en el estado 4f. A diferencia de casi todos los demás, este átomo no tiene ninguna elección: hay un solo camino de vuelta al fundamental compatible con las reglas de selección, y tarda en recorrerlo mucho más de lo que sugiere su energía.

(a) Enumera todas las bajadas dipolares permitidas desde cada uno de los cuatro estados con $n = 4$ y di cuántas opciones tiene cada uno. (b) Sólo uno de los cuatro tiene una cascada completamente determinada hasta el 1s: identifícalo y demuestra que en cada peldaño tampoco hay alternativa —la tabla de vidas del artículo 04 te da las salidas de los niveles con $n \le 3$—. Después encuentra todos los estados del hidrógeno, con cualquier $n$, que tengan esa propiedad, y descríbelos en una frase. Cuidado: no son sólo los de la familia obvia. (c) Calcula la vida del 4f. La integral radial vale $\int R_{43}\,r^3 R_{32}\,dr = 10{,}2303\,a_0$, y el factor angular general, que el artículo 04 no dedujo porque allí bastaba con el caso $\ell = 0$, es $|\mathbf{d}_{fi}|^2 = e^2\,\frac{\ell_{\max}}{2\ell_i+1}\left|\int R_f\,r^3R_i\,dr\right|^2$ con $\ell_{\max} = \max(\ell_i, \ell_f)$. Comprueba primero que esa fórmula reproduce el $A(2p\to1s)$ del ejemplo resuelto 1 del artículo 04, y sólo entonces úsala. (d) Con $\tau(3\text{d}) = 15{,}47$ ns y $\tau(2\text{p}) = 1{,}596$ ns, ¿cuánto tarda de media el átomo en volver al fundamental, y qué peldaño manda? Explica por qué el resultado es lo contrario de lo que sugiere la intuición.

En 1912, Alfred Fowler observó en un tubo de descarga con helio una serie de rayas que caían casi encima de las de Balmer y que atribuyó al hidrógeno. Bohr sostuvo en 1913 que eran del $\text{He}^+$ y —esto es lo importante— predijo exactamente cuánto tenían que desviarse. Fowler midió, y Bohr acertó. Es la primera predicción cuantitativa que la teoría cuántica ganó contra una interpretación alternativa.

(a) Escribe el espectro del $\text{He}^+$ y demuestra que sus transiciones $2k \to 4$ caen casi encima de las $k \to 2$ del hidrógeno. ¿Por qué «casi» y no «exactamente»? (b) Calcula la razón $R_{\text{He}}/R_{\text{H}}$ con las masas reales del protón y del núcleo de helio-4. (c) Evalúa la separación entre la $6\to4$ del $\text{He}^+$ y la Balmer-$\alpha$ del hidrógeno, y di qué poder resolutivo hacía falta en 1912 para verla. (d) La misma raya, en $^3\text{He}^+$: ¿hacia dónde se corre, cuánto, y qué poder resolutivo pide? ¿Cuántas veces menor es ese desplazamiento que la separación de (c), y qué dice eso sobre llamar «pequeño» a un efecto?

Metido en un campo eléctrico uniforme $\mathcal{E}$, un átomo ve sus niveles desplazarse. En todos los átomos ese desplazamiento es proporcional a $\mathcal{E}^2$ —efecto cuadrático—, salvo en el hidrógeno, donde el nivel $n=2$ se parte en tres componentes separadas proporcionalmente a $\mathcal{E}$, lineal. La causa está entera en este módulo.

(a) La perturbación es $H' = e\mathcal{E}z$. Demuestra que su valor esperado en cualquier estado $|n\ell m\rangle$ es cero, y di con qué argumento del artículo 04. ¿Vale eso sólo para el hidrógeno? (b) Entonces, ¿cómo puede haber un efecto lineal? Di qué hipótesis de la teoría de perturbaciones de primer orden falla en el hidrógeno y no falla en el sodio, y ponle número: ¿qué campo haría falta para que $3ea_0\mathcal{E}$ igualara los 2,104 eV que separan el 3s del 3p del sodio, y qué fracción del campo atómico del artículo 01 es? (c) Calcula $\langle 2\text{s}|z|2\text{p}_0\rangle$ —el único elemento no nulo dentro del nivel $n=2$— integrando de verdad, con $R_{20} = \left(2\sqrt2\,a_0^{3/2}\right)^{-1}\!\left(2 - r/a_0\right)e^{-r/2a_0}$ y la $R_{21}$ del artículo 03, y comprueba que el desdoblamiento vale $\pm 3ea_0\mathcal{E}$. (d) Evalúalo para $\mathcal{E} = 10^5$ V/m y compáralo con el desplazamiento de Lamb, 4,375 µeV, que separa el 2s del 2p en el átomo real. ¿A partir de qué campo dejan de tener sentido las etiquetas 2s y 2p?

Un guion de divulgación dice, de un átomo de hidrógeno en el estado 2p: «el electrón está a 265 pm del núcleo, dando unas $8\times10^{14}$ vueltas por segundo, y cuando $m = \pm1$ su movimiento ocurre en el plano perpendicular al eje». Las tres afirmaciones son de tipos distintos: una es cierta si se dice de qué magnitud habla, la de en medio no es ni verdadera ni falsa, y la tercera acierta el estado y se equivoca en todo lo demás.

(a) El artículo 03 da, para el 2p, $r_{\text{máx}} = 4a_0$ y $\langle r\rangle = 5a_0$. Añade $\sqrt{\langle r^2\rangle}$ y $\Delta r$ en picómetros, ordena los tres «radios» y calcula qué fracción de la probabilidad hay más lejos que $\langle r\rangle$. ¿Alguno merece llamarse el radio? (b) Demuestra que la pregunta a la que contesta la segunda cifra no tiene respuesta en un estado estacionario, y di qué se conserva en su lugar. Después propón la pregunta bien planteada más parecida y contéstala con un número para $n = 2$. Por último, di en qué límite «dar vueltas» vuelve a significar algo: compruébalo comparando, para $n = 30$, la frecuencia de la transición $30 \to 29$ con la frecuencia de giro de una órbita de Bohr de $n = 30$. (c) La tercera afirmación tiene dos errores independientes. Deduce $|Y_{1,\pm1}|^2$ del teorema de Unsöld y del $|Y_{10}|^2$ del artículo 03 —sin mirar ninguna tabla—, y da la fracción de probabilidad angular que un $m = \pm1$ tiene dentro de $\pm30°$ del plano ecuatorial. Compárala con la de un orbital s y con la de un $m = 0$. El guion acierta al señalar el $m = \pm1$ como el estado que se aplana contra el ecuador; sus dos errores son otros. Nómbralos, y usa tus tres fracciones para medir cuánto se equivoca el segundo.