Las escalas: por qué un átomo mide lo que mide

Un átomo mide un angstrom y no un micrómetro ni un femtómetro, y la razón cabe en un sistema lineal de tres ecuaciones. Con las tres constantes que definen el problema — $\hbar$ , la masa del electrón $m_e$ y la intensidad de la atracción eléctrica $\kappa = e^2/4\pi\varepsilon_0$ — hay exactamente una combinación con dimensión de longitud, y da 52,9177 pm. Hay exactamente una con dimensión de energía, y da 27,2114 eV. Y el cociente entre la velocidad que sale de ahí y la de la luz es 1/137,036, que es la constante de estructura fina — el número que decide que este módulo entero se pueda hacer sin relatividad.

Prerrequisitos: del Nivel I de este sitio, el módulo I.2 completo — los tamaños, y el argumento de confinamiento del artículo 02, que aquí se convierte en teorema. De fuera, y esto es lo importante: la ecuación de Schrödinger y la interpretación de Born se dan por sabidas, y las funda Cuantario II.1 entero. Este módulo empieza donde acaba aquél: con la ecuación escrita y un potencial concreto que meterle. Matemáticamente: derivadas parciales, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y números complejos.

Tres constantes, y una sola longitud posible

Antes de resolver nada conviene preguntarse qué puede salir. El problema del átomo de hidrógeno tiene tres constantes y sólo tres. Está $\hbar$ , porque el electrón es una onda de materia. Está $m_e$ , porque hay una partícula con inercia. Y está la fuerza que lo ata, que en el potencial de Coulomb aparece siempre en el mismo bloque:

V(r) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} \equiv -\frac{\kappa}{r}, \qquad \kappa \equiv \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 2{,}3071 \times 10^{-28}\ \text{J}\cdot\text{m}.

Ni $e$ ni $\varepsilon_0$ aparecen por separado en ninguna parte del problema: sólo su combinación $\kappa$ . Y $c$ no aparece en absoluto, porque la ecuación de Schrödinger no es relativista. Tres constantes, entonces, con estas dimensiones en el sistema (kg, m, s):

Constante	Unidades	Dimensión (kg, m, s)
$\hbar$	J·s = kg m² s⁻¹	(1, 2, −1)
$m_e$	kg	(1, 0, 0)
$\kappa$	J·m = kg m³ s⁻²	(1, 3, −2)

Los tres vectores de dimensión son linealmente independientes —el determinante de la matriz de dimensiones vale 1, no cero—, y eso tiene una consecuencia fuerte: toda magnitud física del problema tiene una expresión y sólo una en términos de las tres. No hay parámetros libres, no hay un número adimensional que ajustar, no hay familias de soluciones. El tamaño del átomo no es una elección de la naturaleza: es la única salida aritmética.

Ejemplo resuelto 1 · La longitud que sale de resolver el sistema

Problema. Encuentra los exponentes $a, b, g$ tales que $\hbar^{a} m_e^{b} \kappa^{g}$ tenga dimensión de longitud, y evalúa el resultado. Repite para la energía, el tiempo y la velocidad.

Solución. Igualando las dimensiones componente a componente —masa, longitud y tiempo— el sistema es

\begin{cases} a + b + g = 0 & (\text{kg}) \\ 2a + 3g = 1 & (\text{m}) \\ -a - 2g = 0 & (\text{s})\end{cases}

De la tercera, $a = -2g$ . Sustituyendo en la segunda, $-4g + 3g = 1$ , es decir $g = -1$ y $a = 2$ ; la primera da entonces $b = -1$ . Solución única, sin resto:

a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e \kappa} = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} = 5{,}29177 \times 10^{-11}\ \text{m}.

Con la energía —dimensión (1, 2, −2)— el mismo sistema da $(-2, 1, 2)$ , o sea $E_h = m_e\kappa^2/\hbar^2 = \kappa/a_0 = \hbar^2/m_ea_0^2$ . Con el tiempo sale $(3, -1, -2)$ y con la velocidad, $(-1, 0, 1)$ , es decir $v_{\text{at}} = \kappa/\hbar$ .

Magnitud	Expresión	Valor
Longitud	$a_0 = \hbar^2/m_e\kappa$	52,9177 pm
Energía	$E_h = \kappa/a_0$	27,2114 eV
Tiempo	$\hbar/E_h$	24,189 as
Velocidad	$\kappa/\hbar$	2,18769 × 10⁶ m/s
Campo eléctrico	$\kappa/ea_0^2$	5,1422 × 10¹¹ V/m

Resultado. El radio de Bohr no se ha deducido de ninguna teoría: se ha contado. Y ahí está lo que el análisis dimensional puede y no puede hacer, que conviene tener claro desde el primer artículo del nivel. Puede fijar la escala: cualquier longitud del problema es $a_0$ multiplicado por un número puro. No puede dar ese número puro. Que el radio más probable del estado fundamental sea exactamente $1{,}000\,a_0$ y su radio medio exactamente $1{,}500\,a_0$ son resultados del artículo 03, y hay que resolver la ecuación para obtenerlos. Lo que este ejemplo garantiza es que ninguno de los dos puede salir $10^{-4}a_0$ ni $10^{4}a_0$ , y eso ya es la mitad de la física.

A las cinco magnitudes de la tabla se las llama unidades atómicas, y medio artículo de investigación en física atómica está escrito en ellas: se toma $\hbar = m_e = \kappa = 1$ y las fórmulas pierden los factores que estorban. En esas unidades la energía del estado fundamental del hidrógeno es exactamente $-1/2$ , que es la forma más limpia de escribir −13,6057 eV.

El hartree, y por qué la luz visible ve a los átomos

La energía de la tabla tiene nombre propio: el hartree, $E_h = 27{,}2114$ eV. Su mitad es el rydberg, $\text{Ry} = 13{,}6057$ eV, que es la energía de ligadura del hidrógeno. Que el factor sea exactamente 1/2 no lo dice el análisis dimensional: sale del teorema del virial, y es el asunto del ejemplo resuelto 2.

Con esa escala en la mano se puede contestar una pregunta que en el Nivel I quedó sin respuesta: por qué las rayas de los átomos caen en el visible. El módulo I.1 midió que el doblete del sodio está en 2,104 eV y que las rayas de Balmer van de 1,89 a 3,40 eV, pero no dijo de dónde sale ese orden de magnitud. Sale de aquí. Cualquier transición electrónica de un átomo ligero es una diferencia de energías de orden $E_h$ dividida por números pequeños al cuadrado; con $E_h = 27{,}2$ eV y factores como $1/4 - 1/9$ , lo que queda cae inevitablemente en el intervalo de 1,65 a 3,26 eV que el ojo llama luz.

La afirmación es falsable y se comprueba en dos direcciones. Hacia arriba: la primera raya de la serie de Lyman vale $\tfrac{3}{4}E_h/2 = 10{,}20$ eV, ultravioleta de vacío, y no se ve. Hacia abajo: la primera de Paschen vale 0,661 eV, infrarrojo, y tampoco. El visible es la franja estrecha donde $E_h/n^2$ se cruza con la sensibilidad de una molécula orgánica, que a su vez está hecha de átomos con la misma $E_h$ . No es casualidad que veamos justo ahí: el ojo y la raya salen de la misma constante.

α no es un número decorativo: es una velocidad partida por c

La velocidad atómica de la tabla, $v_{\text{at}} = \kappa/\hbar$ , vale 2,18769 × 10⁶ m/s. No es un dato suelto: comparada con la velocidad de la luz da un número puro, y ese número es la constante de estructura fina:

\alpha \equiv \frac{v_{\text{at}}}{c} = \frac{\kappa}{\hbar c} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = 7{,}297\,353 \times 10^{-3} = \frac{1}{137{,}036}.

Escrito así, $\alpha$ deja de ser un número misterioso y pasa a ser el parámetro de comparación del átomo: dice cuánta relatividad hay en juego. La misma constante aparece disfrazada de cinco formas distintas, y las cinco son la misma cuenta vista desde otro sitio:

Cómo se escribe	Qué compara	Valor
$\alpha = \kappa/\hbar c$	La energía eléctrica frente a la cuántica	1/137,036
$\alpha = v_{\text{at}}/c$	La velocidad del electrón frente a la de la luz	1/137,036
$\alpha = \bar\lambda_C/a_0$	La longitud de onda Compton frente al átomo	1/137,036
$\alpha = r_e/\bar\lambda_C$	El radio clásico del electrón frente a la Compton	1/137,036
$\alpha = \sqrt{E_h/m_ec^2}$	La energía atómica frente a la de reposo	1/137,036

La tercera y la cuarta ordenan de golpe todas las escalas de la física atómica. Con $\bar\lambda_C = \hbar/m_ec = 386{,}159$ fm la longitud de onda Compton reducida y $r_e = \alpha^2 a_0 = 2{,}8179$ fm el radio clásico del electrón, las tres longitudes forman una progresión geométrica de razón $\alpha$ :

r_e \;:\; \bar\lambda_C \;:\; a_0 \;=\; \alpha^2 \;:\; \alpha \;:\; 1 \;=\; 1 \;:\; 137{,}0 \;:\; 18\,779.

Tres longitudes separadas por el mismo factor, y cada una es el terreno de una teoría distinta: $a_0$ es el de la mecánica cuántica no relativista —este módulo—, $\bar\lambda_C$ el de la ecuación de Dirac y la creación de pares, y $r_e$ el de la electrodinámica cuántica. Que estén separadas por 137 en cada paso es lo que permite hacer física atómica sin hacer teoría cuántica de campos.

Y de la quinta línea de la tabla sale la relación que más veces se usa en todo el nivel:

E_h = \alpha^2 m_e c^2 = \left(\tfrac{1}{137{,}036}\right)^2 \times 510\,999\ \text{eV} = 27{,}2114\ \text{eV}.

La energía de un átomo es la energía en reposo del electrón multiplicada por $\alpha^2$ , es decir, dividida por 18 779. Ésa es la frase que explica por qué la química mueve electronvoltios y la física nuclear, megaelectronvoltios.

Ejemplo resuelto 2 · El teorema del virial, deducido escalando la función de onda

Problema. El análisis dimensional da la escala pero no el factor 1/2 entre $E_h$ y la energía de ligadura. Demuestra, sin resolver la ecuación de Schrödinger, que en cualquier estado ligado del potencial de Coulomb se cumple $2\langle T\rangle + \langle V\rangle = 0$ , y saca de ahí $\langle T\rangle$ , $\langle V\rangle$ y $\sqrt{\langle v^2\rangle}$ para el estado fundamental.

Solución. Sea $\psi$ la solución verdadera, normalizada. Construye la familia de funciones de prueba $\psi_\lambda(\mathbf{r}) = \lambda^{3/2}\psi(\lambda\mathbf{r})$ , donde el $\lambda^{3/2}$ mantiene la normalización. Comprimir el estado por un factor $\lambda$ hace dos cosas, y sólo dos. Cada derivada espacial aporta un factor $\lambda$ , así que la energía cinética escala con $\lambda^2$ ; y $1/r$ escala con $\lambda$ , así que la potencial escala con $\lambda$ . Por tanto

E(\lambda) = \lambda^2\,\langle T\rangle + \lambda\,\langle V\rangle.

El estado verdadero es el que minimiza la energía, y corresponde a $\lambda = 1$ . Imponer que la derivada se anule ahí — $dE/d\lambda|_{\lambda=1} = 2\langle T\rangle + \langle V\rangle = 0$ — da el teorema. Combinándolo con $E = \langle T\rangle + \langle V\rangle$ :

\langle T\rangle = -E, \qquad \langle V\rangle = 2E.

Para el estado fundamental, con $E_1 = -13{,}6057$ eV: $\langle T\rangle = +13{,}6057$ eV y $\langle V\rangle = -27{,}2114$ eV, que es exactamente $-E_h$ . Y de la cinética sale la velocidad cuadrática media:

\sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\tfrac{2\langle T\rangle}{m_e}} = 2{,}18769\times10^6\ \text{m/s} = \alpha c.

Resultado. Tres cosas de una sola idea. Primera: el factor 1/2 entre el hartree y el rydberg es el virial, no una convención — la energía potencial vale un hartree entero y la mitad se la come la cinética. Segunda: $\sqrt{\langle v^2\rangle}$ no es «del orden de» $\alpha c$ : es $\alpha c$ , exactamente, y por eso la quinta definición de la tabla de arriba tiene el significado que tiene. Tercera, y es la que este módulo va a explotar sin parar: el virial convierte una energía en un $\langle 1/r\rangle$ , porque $\langle V\rangle = -\kappa\langle 1/r\rangle$ . Del resultado $\langle V\rangle = 2E_n = -2\text{Ry}/n^2$ se lee, sin integrar nada, $\langle 1/r\rangle = 1/n^2a_0$ — un valor esperado obtenido de un argumento de escalado. El artículo 03 lo comprueba integrando y sale idéntico.

El módulo I.2 llegó al mismo $a_0$ minimizando una energía de juguete $\hbar^2/2m_er^2 - \kappa/r$ y allí se dijo que «los factores numéricos elegidos a ojo se compensan entre sí». Ahora se ve por qué se compensaban: aquella minimización era este escalado con la función de prueba correcta, y el teorema garantiza que el resultado sea exacto y no aproximado.

Cuánta relatividad hay que ignorar, con el número delante

Con $v/c = \alpha$ ya se puede contestar la pregunta que legitima el módulo entero: ¿cuánto se pierde por resolver el hidrógeno con la ecuación de Schrödinger, que no es relativista? La respuesta no es «poco»: es un número.

El primer término que la relatividad añade a la energía cinética es $-p^4/8m_e^3c^2$ , la corrección al desarrollo de $\sqrt{p^2c^2 + m_e^2c^4}$ . Su tamaño relativo es el que dice el virial:

\frac{\langle T\rangle}{m_ec^2} = \frac{13{,}6057}{510\,999} = 2{,}6626\times10^{-5} = \frac{\alpha^2}{2}.

Evaluado a mano sobre el estado fundamental, ese término vale −0,9057 meV, un 6,66 × 10⁻⁵ de la energía de ligadura — que es $1{,}25\,\alpha^2$ exactamente. Es decir: tratar el hidrógeno sin relatividad cuesta una parte en quince mil. Un módulo entero de física puede construirse sobre un error de esa magnitud sin pedir perdón, siempre que se diga cuál es.

Lo que α² esconde, y dónde vive. Hay que ser honesto con el número anterior, porque tiene truco. Los −0,9057 meV del término $p^4$ no son el desplazamiento observable del nivel 1s: a ese orden aparecen otras dos contribuciones del mismo tamaño —el término de Darwin, que sólo actúa en los estados con $\ell = 0$ , y el acoplamiento espín-órbita, que en el 1s vale cero por ser $\ell = 0$ y en los demás no—. Sumadas, las tres reproducen el desarrollo de la ecuación de Dirac hasta $\alpha^4$ , y se cancelan en buena parte entre ellas: lo que queda es varias veces menor que cualquiera de los sumandos que no se anulan. Cuánto vale cada uno es el cálculo de la estructura fina, es el módulo II.2 y aquí se aparca: este artículo mide el tamaño de lo que ignora, no lo desglosa. La cifra que lo fija es ésta: el desdoblamiento entre los niveles $2p_{3/2}$ y $2p_{1/2}$ vale 10,95 GHz, o sea 45,3 µeV, frente a los 10,2043 eV que separan $n=1$ de $n=2$ . La razón es 4,44 × 10⁻⁶, prácticamente $\alpha^2/12$ . Todo lo que este módulo calcule será cierto hasta ahí, y el II.2 empieza justo donde este error deja de ser despreciable. Que las correcciones vayan en potencias de $\alpha$ —y no en potencias de cualquier otra cosa— es la razón de que la física atómica sea calculable: cada potencia de $\alpha$ es 137,036 veces menor que la anterior, y cada dos, 18 779.

El mito: «α es un número mágico sin significado». Se repite mucho, y suele venir con la anécdota de Feynman llamándolo «uno de los mayores misterios de la física» y de Pauli obsesionado con el 137. La anécdota es cierta y la conclusión que se saca de ella es falsa. Lo que nadie sabe explicar es por qué vale 1/137,036 y no otra cosa; su significado está perfectamente establecido desde 1916 y es el de esta página: $\alpha$ es la velocidad del electrón atómico en unidades de $c$ , y por tanto el parámetro en el que se desarrolla toda la física atómica. Con él se predice el tamaño de la estructura fina ( $\alpha^2$ relativo), el de la anchura natural de una raya ( $\alpha^3$ , artículo 04), el de la corrección de Lamb ( $\alpha^3\ln\alpha$ ) y el del momento magnético anómalo del electrón ( $\alpha/2\pi$ ). Un número que ordena cinco fenómenos distintos en potencias sucesivas no carece de significado.

Y hay un dato que remata el asunto y que casi nunca se cuenta: $\alpha$ no es constante. Su valor depende de la energía a la que se mida, porque el vacío polariza y apantalla la carga: 1/137,036 a energía cero, y aproximadamente 1/128 a la escala del bosón Z, 91 GeV. Eso está medido, no conjeturado. De modo que la pregunta «¿por qué 137?» ni siquiera está bien planteada tal cual: 137 es el valor de la constante en el límite de baja energía, que es precisamente donde vive la física atómica. El porqué de ese valor sigue abierto y es de Particulario, que cuenta con detalle por qué la carga desnuda no es la que se mide.

Ejercicios

Ejercicio 1 · Las otras unidades atómicas

Con el mismo sistema del ejemplo resuelto 1, construye la unidad atómica de momento lineal, la de momento angular y la de campo eléctrico, y evalúalas. Después contesta: ¿por qué la unidad atómica de campo eléctrico es la cifra que decide si un láser puede arrancarle el electrón a un átomo?

Solución

Momento lineal, dimensión (1, 1, −1): sale $(a,b,g) = (-1,1,1)$ , es decir $p_{\text{at}} = m_e\kappa/\hbar = m_e v_{\text{at}} = \hbar/a_0 = 1{,}9929\times10^{-24}$ kg·m/s. Momento angular, dimensión (1, 2, −1): sale $(1,0,0)$ , o sea $\hbar$ a secas — el momento angular es su propia unidad, que es exactamente por qué los números cuánticos son enteros. Campo eléctrico: hace falta meter $e$ aparte, y sale $\mathcal{E}_{\text{at}} = \kappa/ea_0^2 = 5{,}1422\times10^{11}$ V/m, que es el campo que el protón produce a la distancia $a_0$ .

La segunda lección está en el uso: un láser cuyo campo eléctrico se acerque a $\mathcal{E}_{\text{at}}$ compite de tú a tú con el núcleo, y a partir de ahí no tiene sentido hablar de «excitar un nivel» — el átomo se ioniza por deformación del propio potencial. La intensidad correspondiente es $I = \tfrac12\varepsilon_0 c\,\mathcal{E}^2 = 3{,}51\times10^{16}$ W/cm², y es la cifra de referencia de la física de campos intensos: por debajo se hace espectroscopía, por encima se hace generación de armónicos altos y pulsos de attosegundos. Y el attosegundo tampoco es casual — es la unidad atómica de tiempo, 24,2 as. Toda una disciplina experimental vive en las unidades que acabas de construir con tres ecuaciones lineales.

Ejercicio 2 · Cambiar el electrón por un muón

El muón es idéntico al electrón salvo en la masa: $m_\mu = 206{,}768\,m_e$ . Un protón puede capturar uno y formar hidrógeno muónico. Sin resolver ninguna ecuación, predice el tamaño y la energía de ligadura de ese átomo, y la longitud de onda de su transición $1s \to 2p$ . Después estima qué fracción de la probabilidad del estado fundamental cae dentro del protón (0,841 fm de radio), sabiendo que para el hidrógeno normal vale 5,35 × 10⁻¹⁵, y explica para qué sirve eso.

Solución

En $a_0 = \hbar^2/m\kappa$ y $E_h = m\kappa^2/\hbar^2$ la masa entra a la −1 y a la +1: el átomo encoge y la energía sube en el mismo factor. Pero el factor no es 206,768, porque con una partícula tan pesada el protón ya no se puede considerar fijo: hay que usar la masa reducida $\mu = m_\mu m_p/(m_\mu + m_p) = 185{,}841\,m_e$ , que el artículo 02 justifica. Con ella, $a_\mu = a_0/185{,}841 = 284{,}7$ fm y $E_1 = -13{,}6057 \times 185{,}841 = -2{,}528$ keV. La transición $1s\to2p$ se lleva tres cuartos de eso, 1,896 keV, o sea $\lambda = 0{,}654$ nm: rayos X blandos. Un átomo de hidrógeno cuyo espectro está en los rayos X.

La probabilidad dentro del protón escala como el cubo del cociente de radios, porque $|\psi(0)|^2 = 1/\pi a^3$ y el volumen de integración no cambia: $185{,}84^3 = 6{,}4\times10^6$ veces más, es decir 3,42 × 10⁻⁸ frente a 5,35 × 10⁻¹⁵. La segunda lección es para qué sirve: ese factor de seis millones es la razón de que el hidrógeno muónico mida el radio del protón. Los niveles se desplazan tanto más cuanto más entre el orbital en la carga nuclear, así que la sensibilidad al tamaño del protón se multiplica por lo mismo. En 2010 esa medida dio un radio de carga un 4 % menor que el de la espectroscopía del hidrógeno normal, con siete desviaciones típicas de discrepancia: el proton radius puzzle, que tardó una década en resolverse —a favor del valor muónico, tras rehacer las medidas electrónicas—. Cambiar una masa por otra en una fórmula de tres constantes acabó corrigiendo una constante fundamental.

Ejercicio 3 · Cuándo deja de valer este módulo

El texto afirma que la corrección relativista relativa vale $1{,}25\,\alpha^2$ para el 1s del hidrógeno. Para un ion con un solo electrón y carga nuclear $Z$ , esa fracción se convierte en $1{,}25\,(Z\alpha)^2$ . (a) Justifica de dónde sale el $Z$ . (b) ¿A qué número atómico la corrección llega al 1 %? (c) Un espectrómetro mide la transición $1s\to2p$ del $\text{Fe}^{25+}$ con una precisión de una parte en 10⁴. ¿Puede fiarse de la fórmula no relativista?

Solución

(a) Con carga nuclear $Z$ el bloque $\kappa$ pasa a ser $Z\kappa$ , de modo que $v_{\text{at}} = Z\kappa/\hbar = Z\alpha c$ . El parámetro de comparación con la luz no es $\alpha$ sino $Z\alpha$ , y todo lo que iba con $\alpha^2$ va con $(Z\alpha)^2$ .

(b) De $1{,}25(Z\alpha)^2 = 0{,}01$ sale $Z = 12{,}26$ : a partir del aluminio ( $Z = 13$ , un 1,13 %) el tratamiento no relativista se equivoca en más del 1 % en la energía de la capa K; el magnesio, con $Z = 12$ , se queda justo debajo, en un 0,96 %. (c) El hierro es $Z = 26$ , con $(Z\alpha)^2 = 0{,}036$ : la corrección es del 4,5 %, cuatrocientas cincuenta veces mayor que la precisión del aparato. No puede fiarse ni de lejos.

La segunda lección es sobre qué significa que una teoría «funcione». La misma fórmula que acierta el hidrógeno con cinco cifras falla el hierro en la segunda, y no porque el modelo esté peor hecho, sino porque el parámetro pequeño ha dejado de ser pequeño. Toda aproximación lleva escrito su propio certificado de caducidad si uno se molesta en leer el parámetro en el que desarrolla; la lista de fallos históricos por no leerlo es larga. Aquí además hay una frontera dura: cuando $Z\alpha \to 1$ , o sea $Z \approx 137$ , la propia ecuación de Dirac deja de tener solución para un núcleo puntual — el ejercicio 3 del artículo 02 del módulo I.2 cuenta qué pasa entonces.