Si el núcleo de un átomo de oro fuese un guisante de 1 mm de radio, el átomo entero mediría 45,6 metros de diámetro: un edificio de quince pisos con un guisante en el centro. Esa comparación está calculada, no inventada, y su geometría es correcta. Lo que casi siempre se deduce de ella —que la materia es sobre todo espacio vacío— es falso, y el resto de este módulo consiste en explicar por qué.
Elige un elemento sólido. El panel cuenta cuántos átomos caben en un metro cúbico a partir de su densidad medida, reparte el volumen entre ellos y compara el resultado con el tamaño del núcleo. Después construye el modelo a escala que siempre se cuenta mal — y dice por cuánto hay que hacer trampa para poder dibujarlo.
Oro (Au): 79 protones, masa atómica 196.967 u, densidad 19 300 kg/m³.
…el átomo de oro mediría 45.6 m de diámetro: la altura de un edificio de 15 pisos. El núcleo se lleva 8,4 × 10⁻¹⁴ del volumen —una parte en 1,19 × 10¹³— y 99.978 % de la masa. Pero el resto no está vacío: está ocupado por los 79 electrones, que llegan hasta el borde y son los que deciden a qué distancia se para el átomo de al lado.
La densidad nuclear que sale es 2,29 × 10¹⁷ kg/m³ — 2,29 × 10⁸ toneladas por centímetro cúbico— y es la misma para el litio que para el uranio, porque el volumen del núcleo crece proporcionalmente al número de nucleones. El radio nuclear usa R = 1,2·A1/3 fm, que reproduce el radio de carga medido del oro al 0,5 % y falla un 14 % en el carbono-12: los núcleos ligeros no son gotas.
Contar átomos con una balanza
Antes de decir que un átomo es grande o pequeño hay que medirlo, y el camino más corto pasa por una balanza. Un metro cúbico de oro pesa 19 300 kg y un mol de oro son 196,97 g, así que en ese metro cúbico hay átomos. Repartido el volumen entre ellos, a cada uno le tocan m³, que es una esfera de 159,3 pm de radio.
Ese número no se cree por venir de una fórmula: se comprueba por un camino que no tiene nada que ver. El oro cristaliza en una red cúbica centrada en las caras cuyo parámetro, medido por difracción de rayos X, es 407,82 pm; en esa celda caben cuatro átomos, de modo que a cada uno le corresponden m³. Una balanza y un difractómetro, sin nada en común, coinciden en el 0,06 %. La distancia entre dos vecinos en esa red es pm, y de ahí sale la costumbre de llamar «radio» a la mitad.
Conviene decir de entrada lo que ese radio no es. El átomo no tiene borde. Lo que se mide es la distancia a la que se quedan dos vecinos, y esa distancia depende de quién sea el vecino: el radio metálico, el covalente y el de van der Waals de un mismo elemento pueden diferir en un tercio. El «tamaño de un átomo» es una convención útil, no una propiedad como la masa — y el artículo 03 explica de dónde sale esa borrosidad, que no es experimental sino de fondo.
El núcleo: una gota de densidad constante
El radio nuclear sigue una regla asombrosamente simple: femtómetros, donde es el número másico. Que aparezca la raíz cúbica de significa que el volumen crece proporcionalmente al número de nucleones, es decir, que los nucleones se apelotonan siempre a la misma densidad, como las moléculas de un líquido. Para el oro, da 6,98 fm.
¿Vale esa regla? Se comprueba contra los radios de carga medidos por dispersión de electrones. Para una esfera uniforme, el radio cuadrático medio es , y con eso el oro sale 5,409 fm frente a los 5,437 medidos —un 0,5 %— y el plomo 5,507 frente a 5,501, un 0,1 %. Ahora la parte honesta: para el calcio-40 la regla falla un 8,6 % y para el carbono-12 un 13,9 %. Los núcleos ligeros no son gotas: tienen tan pocos nucleones que la palabra «densidad» empieza a perder sentido. La fórmula es buena de la mitad de la tabla hacia arriba, y en este artículo se usa donde vale.
La consecuencia de la densidad constante es una cifra que no depende del elemento: kg/m³, la misma para el litio que para el uranio. Son 229 millones de toneladas por centímetro cúbico. Puesto de otro modo: toda la humanidad —ocho mil doscientos millones de personas a 62 kg de media— comprimida a densidad nuclear ocuparía 2,2 cm³, un cubo de 1,3 cm de lado. Ahí está toda la masa de la especie, y sobraría sitio en un dedal.
Problema. Con el radio atómico del oro (159,3 pm) y su radio nuclear (6,98 fm), ¿qué fracción del volumen del átomo es núcleo? ¿Y en el hidrógeno, cuyo átomo mide 52,918 pm —el radio de Bohr— y cuyo núcleo es un protón de 0,841 fm?
Solución. La razón de radios del oro es , y la de volúmenes es su cubo:
una parte en . Para el hidrógeno la razón de radios es 62 940 y la de volúmenes, .
Resultado. El núcleo se lleva entre una parte en y una en del volumen. Y el detalle que nadie espera: el átomo de hidrógeno está veintiuna veces más «vacío» que el de oro, no al revés. La razón es que del hidrógeno al uranio el núcleo crece 8,8 veces mientras el átomo sólo crece 3,2: los electrones que se van añadiendo se apretujan en un volumen que apenas cambia. Los átomos pesados son, en proporción, mucho más compactos que el ligero.
Y sin embargo el oro es opaco
Si el núcleo se lleva una parte en del volumen, la pregunta obvia es por qué una lámina de oro no deja pasar la luz, ni el agua, ni un dedo. La respuesta está en que la fracción que acabamos de calcular contesta a otra pregunta: dónde está la masa, no dónde hay algo.
Los electrones del oro pesan el 0,022 % del átomo —los setenta y nueve juntos, uno entre cuatro mil quinientos— y en el hidrógeno el 0,054 %. Son una insignificancia en la balanza y son el 100 % del tamaño: la nube de electrones llega hasta el borde del átomo, es la que decide a qué distancia se para el átomo vecino y es con la que interacciona la luz visible. El volumen «vacío» del ejemplo anterior está lleno de electrones de arriba abajo. En un empaquetamiento compacto como el del oro, el 74,05 % del volumen queda dentro de las esferas atómicas, y el 26 % restante tampoco está vacío: es nube electrónica, porque las esferas eran una convención desde el principio.
Lo que de verdad atraviesa la materia es lo que no ve a los electrones. Un neutrino cruza la Tierra entera sin enterarse porque no siente ni la fuerza electromagnética ni la fuerte. Los rayos X pasan a medias, porque su energía es la de los electrones de las capas internas y sólo interaccionan con ellos. La luz visible no pasa por el oro por la misma razón por la que sí pasa por el vidrio: no es cuestión de huecos, es cuestión de si hay una transición disponible a esa energía — que es exactamente el asunto del módulo I.1.
Problema. Una partícula alfa atraviesa una lámina de oro de 1 µm de espesor. ¿Qué fracción del área transversal está tapada por núcleos?
Solución. En un metro cuadrado de lámina de 1 µm hay núcleos, y cada uno tapa m². El producto es la fracción tapada:
nueve de cada millón, o una de cada 111 000.
Resultado. De cada millón de partículas que cruzan la lámina, 999 991 no se cruzan geométricamente con nada. Ésa es la razón de que el experimento de Geiger y Marsden de 1909 fuese sorprendente al revés de como se cuenta: lo raro no era que casi todas pasaran de largo, sino que alguna volviera. Un matiz obligado: esta cifra es la del choque geométrico, y la dispersión que Rutherford calculó es electrostática — el campo eléctrico del núcleo se nota mucho más lejos de 7 fm, y por eso los rebotes son bastante más frecuentes que nueve en un millón. Lo que esta cuenta sí demuestra, y de sobra, es lo pequeño que hay que ser para pasar tan desapercibido.
El estadio y la canica: la geometría bien, la conclusión mal. La analogía es cuantitativamente correcta —un núcleo de 1 mm en un átomo de 45,6 m, calculado arriba— y aun así hace más daño del que arregla, porque de ella se saca casi siempre la conclusión falsa: que la materia es espacio vacío y que atravesarla debería ser fácil. Dos correcciones con número. La primera: el espacio entre el núcleo y el borde no está vacío, es donde viven los electrones, y son ellos —no el núcleo— los que paran tu mano en la mesa; la escala de esa resistencia es de 38 GPa, unas 380 000 atmósferas, y se calcula en el artículo 04. La segunda: la analogía sugiere que se podría apuntar «entre» los átomos, y en un sólido no hay entre. Los átomos se tocan: el 74 % del volumen queda dentro de sus esferas y el resto también es nube electrónica. Lo correcto es decir que el átomo está vacío de masa, y eso es una afirmación sobre dónde está el peso, no sobre dónde hay sitio.
Ejercicios
El plomo tiene un núcleo mayor que el oro (7,10 fm frente a 6,98) y, sin embargo, la fracción de volumen que ocupa su núcleo es menor: frente a . Sabiendo que el radio atómico del plomo es 193,5 pm y el del oro 159,3 pm, explica por qué, y di qué te dice eso sobre el tamaño de los átomos a lo largo de la tabla.
Solución
Porque el numerador crece un 1,7 % y el denominador un 21 %. La razón de radios pasa de 22 820 en el oro a 27 250 en el plomo, y al cubo eso es el factor 1,7 que separa las dos fracciones. Lo interesante es el dato de partida: el átomo de plomo es un 21 % más grande que el de oro aunque tenga sólo tres protones más. El tamaño de un átomo no crece de forma ordenada con Z — sube y baja a lo largo de cada periodo y pega un salto al empezar el siguiente. Ese sube y baja no es un detalle de tabla: es la periodicidad química entera, y sale de cómo se llenan las capas. Es el artículo 04.
Una cucharilla de café rasa son unos 5 cm³. Llénala de materia nuclear. ¿Cuánto pesa? Compárala con algo que puedas imaginar.
Solución
kg, o sea 1150 millones de toneladas: unas tres veces la masa de todos los seres humanos vivos, en una cucharilla. La segunda lección es que esto no es una fantasía de divulgación: hay materia a esa densidad de verdad, en las estrellas de neutrones, y no por casualidad — una estrella de neutrones es un núcleo atómico de veinte kilómetros, sostenido por su propia gravedad en vez de por la fuerza nuclear. Que las dos densidades salgan parecidas es una de las comprobaciones cruzadas más bonitas de la física.
En el interactivo, compara el litio con el uranio. La razón de tamaños pasa de 75 460 a 22 920, y la fracción de volumen que ocupa el núcleo, de a : el átomo de litio está treinta y seis veces más «vacío». ¿Por qué, si el litio tiene tres electrones y el uranio noventa y dos?
Solución
Porque el núcleo del uranio es 3,2 veces mayor que el del litio (7,44 fm frente a 2,29) mientras que su átomo es prácticamente igual de grande: 170,5 pm frente a 172,7. Los ochenta y nueve electrones de más no ensanchan el átomo, lo rellenan — y a la vez tiran de él hacia dentro, porque los noventa y dos protones atraen mucho más fuerte. La segunda lección es que ésa es la razón de que la tabla periódica quepa en una hoja: si cada electrón añadiera su volumen, el uranio sería treinta veces el litio y la química de los elementos pesados no se parecería en nada a la de los ligeros. Lo que hace que los átomos tengan todos el mismo tamaño, dentro de un factor dos, es exactamente el principio de exclusión — artículo 04.