Un átomo de sodio excitado, en una habitación a 300 K, emite 2,3 × 10³⁵ fotones por su cuenta por cada uno que emite porque otro fotón le obligó a copiarse. A 23,87 GHz, en la microonda, la proporción se invierte: hay 261 copias por cada caída espontánea. El número que decide es siempre el mismo —cuántos fotones hay ya en el modo del campo— y no depende del átomo, sólo de frente a . De ahí sale todo este artículo, incluida la razón de que el máser funcionara seis años antes que el láser.
Un átomo excitado bañado en radiación térmica puede caer solo —emisión espontánea— o porque un fotón que pasa le obliga a copiarse —emisión estimulada—. El cociente entre las dos tasas es el número de fotones térmicos que hay en el modo, n̄ = 1/(ehν/kBT − 1), y no depende del átomo: sólo de hν frente a kBT. Mueve la frecuencia y mira dónde está la frontera.
A esta frecuencia hay 4,44 × 10⁻³⁶ fotones térmicos por modo: en la práctica, ninguno. La emisión espontánea gana por 2,3 × 10³⁵ a uno, y con ella la luz sale en direcciones y fases al azar. Aquí la emisión estimulada hay que fabricarla: concentrar fotones en un modo con un resonador y mantener más átomos arriba que abajo. Ése es todo el trabajo que hace un láser, y la razón de que costara seis años más que el máser.
El panel supone equilibrio térmico y una sola pareja de niveles. La curva es la ocupación de un modo del campo, que es lo mismo que el cociente A/B evaluado en la ley de Planck; lo que un láser hace es salirse del equilibrio, y entonces esta curva deja de valer — que es exactamente el motivo de que un láser no tenga temperatura.
Tres cosas le pueden pasar a un átomo de dos niveles
En 1917 Einstein se propuso deducir la ley de Planck de la radiación térmica con el mínimo de hipótesis, y para conseguirlo tuvo que inventar un proceso que nadie había visto. Con dos niveles separados y un baño de radiación alrededor, contó lo que puede ocurrir:
- Absorción. El átomo de abajo se traga un fotón y sube. El ritmo es proporcional a la radiación que hay: .
- emisión espontánea. El átomo de arriba cae solo, sin que nada lo provoque, y suelta un fotón en la dirección, la fase y la polarización que le da la gana. El ritmo es y no depende de la radiación exterior.
- emisión estimulada. Un fotón que pasa obliga al átomo de arriba a caer, y el fotón que sale es indistinguible del que lo provocó: misma dirección, misma frecuencia, misma fase. El ritmo es .
Los tres números —los coeficientes de Einstein— no son independientes. Imponiendo que en equilibrio térmico las subidas igualen a las bajadas y que el resultado sea la ley de Planck, salen dos relaciones obligatorias: y
Sin la emisión estimulada la cuenta no cierra: sale la ley de Wien, que falla en el infrarrojo. Es decir, el láser estaba implícito en el espectro de una estufa cuarenta años antes de que nadie construyera uno.
El ejemplo concreto que va a acompañar todo el módulo es la raya amarilla del sodio. Su nivel de arriba, el 3p, está 2,1044 eV por encima del fundamental; el fotón correspondiente tiene 589,16 nm de longitud de onda en el vacío. Y ese nivel dura 16,25 ns: es el ritmo , medido, y de él sale la anchura natural de la raya, MHz. Comparada con la frecuencia de la transición, 508,8 THz, esa anchura es una parte en 5,2 × 10⁷ — la raya del sodio es, ya de partida, uno de los patrones de frecuencia más finos que hay en la naturaleza.
Quién gana depende sólo de hν frente a kBT
Divide la tasa de emisión estimulada por la de emisión espontánea. Toda la física atómica se cancela —los coeficientes se van con su relación — y lo que queda, en un baño térmico, es la ocupación de un modo del campo:
Ese número es literalmente cuántos fotones hay ya en el modo. Si hay muchos, la copia domina; si no hay ninguno, el átomo cae solo. Y como se ve, la frontera no la pone la sustancia: la ponen la frecuencia y la temperatura.
| Transición | Frecuencia | a 300 K | |
|---|---|---|---|
| Raya de 21 cm del hidrógeno | 1,420 GHz | 5,87 µeV | 4400 |
| Transición de reloj del cesio | 9,193 GHz | 38,0 µeV | 680 |
| Máser de amoníaco | 23,87 GHz | 98,7 µeV | 261 |
| Láser de CO₂ | 28,3 THz | 0,117 eV | 0,0110 |
| Raya D del sodio | 508,8 THz | 2,104 eV | 4,4 × 10⁻³⁶ |
El empate, , cae donde : a 300 K, en 69 µm, en pleno infrarrojo lejano. Todo lo que esté por debajo de esa frecuencia vive en un mundo en el que la emisión estimulada viene de serie; todo lo que esté por encima, en uno en el que hay que fabricarla. La raya del sodio está ciento diecisiete veces por encima, y por eso su cociente sale absurdo.
Problema. En 1954 Townes, Gordon y Zeiger hicieron funcionar el primer amplificador de emisión estimulada, con moléculas de amoníaco a 23,87 GHz. El primer láser tardó hasta 1960. ¿Cuánto de esa diferencia es física y cuánto es ingeniería?
Solución. Compara los dos exponentes. A 300 K, meV. Para el amoníaco, µeV, de modo que y
Para la raya del sodio, y .
Resultado. En la microonda la emisión estimulada gana 261 a uno sin que nadie haga nada; en el visible pierde por 2,3 × 10³⁵ a uno. La segunda lección es qué implica eso para el aparato: como , pasar de 23,87 GHz a 508,8 THz multiplica por 10¹³ el ritmo de la caída espontánea a igualdad de todo lo demás. Un láser tiene que reponer la inversión a ese ritmo y encerrar los fotones en un resonador para que vuelvan a pasar por los átomos. Nada de eso hace falta en un máser. La diferencia de seis años no fue de ideas: fue de qué exige la fórmula a cada lado de los 69 µm.
Invertir una población es salirse del equilibrio
Para que un medio amplifique en vez de absorber hace falta que las emisiones estimuladas superen a las absorciones, y como los dos procesos tienen el mismo coeficiente por estado, eso exige que haya más átomos por estado arriba que abajo. Es la inversión de población, y el equilibrio térmico no puede darla nunca. En el sodio a 300 K:
o sea un átomo excitado por cada 7,5 × 10³⁴. Calienta a 1800 K, la llama de un mechero, y sube a 3,8 partes por millón; a los 5772 K de la fotosfera solar, al 4,4 %. Y a temperatura infinita el cociente se para en 3, que es : los seis estados del 3p contra los dos del 3s. Por estado, el nivel de arriba nunca alcanza al de abajo. La única manera de escribir una inversión con la fórmula de Boltzmann es con una temperatura negativa — y eso no es un truco de notación, es la definición operativa de «este sistema no está en equilibrio con nada».
Tampoco sirve iluminar los dos niveles y esperar. La luz que sube átomos también los baja por emisión estimulada, con exactamente el mismo ritmo por estado, así que un sistema de dos niveles bombeado con luz se satura en el reparto a partes iguales: se vuelve transparente y ahí se queda. Se necesita al menos un tercer nivel, y ahí empiezan los dos diseños clásicos:
| Esquema | Ejemplo | Dónde acaba el salto | Umbral |
|---|---|---|---|
| Tres niveles | Rubí, 694,3 nm (Maiman, 1960) | En el estado fundamental | Hay que subir más de la mitad de los iones |
| Cuatro niveles | He-Ne 632,8 nm · Nd:YAG 1064 nm | En un nivel intermedio que se vacía solo | Casi cero: el nivel de abajo está vacío |
La diferencia es enorme en la práctica. El rubí de Maiman es un zafiro con un 0,05 % en peso de Cr₂O₃, es decir 1,58 × 10¹⁹ iones de cromo por centímetro cúbico, y como la transición termina en el estado fundamental —donde están todos los iones—, hay que bombear más de la mitad antes de que empiece a amplificar. Por eso el primer láser funcionaba a pulsos, con una lámpara de flash de espiral y un condensador detrás. Un láser de cuatro niveles no tiene ese problema: su nivel de abajo está vacío porque se desagua solo, sin radiar, mucho antes de que llegue el siguiente átomo, de modo que el primer ion excitado ya produce ganancia. Ésa es la razón técnica de que casi todos los láseres útiles sean de cuatro niveles y funcionen en continuo.
Lo que distingue a un láser no es la potencia
Un puntero de 1 mW emite cien mil veces menos luz que una bombilla de 100 W y quema la retina, cosa que la bombilla no hace. La cifra que lo explica no es la potencia sino la radiancia: potencia por unidad de área y de ángulo sólido. La bombilla reparte sus 100 W en todas direcciones y desde una superficie grande; el puntero los concentra en un haz de un milímetro que se abre un miliradián.
Y la radiancia tiene una propiedad que la vuelve el invariante correcto: ningún sistema de lentes y espejos puede aumentarla. Se puede concentrar la luz de una bombilla en un punto, sí, pero a cambio de que salga abriéndose más, y el producto no mejora. Por eso no existe la lupa que convierta una lámpara en un láser: la radiancia de la fuente es la que es, y es una propiedad del proceso que emitió la luz, no de la óptica que venga después. Lo mismo, dicho al revés: la coherencia no se fabrica con vidrio.
Problema. Un puntero de 1 mW emite un haz de 1 mm de diámetro que diverge con un semiángulo de 1 mrad. ¿Cómo se compara su radiancia con la de la superficie del Sol, que radia como un cuerpo negro a 5772 K?
Solución. El área del haz es m² y el ángulo sólido, sr, de modo que
La del Sol es en las mismas unidades.
Resultado. El puntero de un llavero tiene veinte veces la radiancia de la superficie del Sol, y con un milivatio. Pero la comparación buena es la espectral, porque el Sol reparte su potencia por todo el espectro y el láser la mete toda en una raya: un diodo rojo corriente —650 nm, con 1 nm de anchura— tiene 17 900 veces la radiancia espectral del Sol a esa misma longitud de onda, y un láser estabilizado de 1 MHz de anchura, 1,3 × 10¹⁰ veces. La segunda lección es lo que eso significa en términos térmicos: para igualar esa radiancia espectral con un cuerpo negro habría que calentarlo a 6 × 10¹² K. No existe tal objeto, y no hace falta que exista — el medio del láser no está caliente, está invertido, y un sistema con temperatura negativa se salta esa cota por definición.
La retina, y por qué un miliwatio es peligroso y cien vatios no. El ojo es un instrumento de foco fijo diseñado para fuentes lejanas, y un haz colimado es exactamente eso: lo concentra en una mancha de unas diez micras. Un milivatio repartido en ese círculo son 1270 W/cm², unas doce mil setecientas veces la irradiancia de la luz solar directa a mediodía. La bombilla de 100 W, a un metro, deja 8 W/m² sobre la pupila y no se concentra en nada, porque no viene de un punto lejano sino de un objeto extenso cuya imagen ocupa media retina. La lección general no es sobre láseres: lo que hace daño no es la potencia sino la irradiancia, y la irradiancia máxima que se puede alcanzar enfocando está fijada por la radiancia de la fuente, que ninguna óptica aumenta. Es el mismo teorema que impide que una lente concentre luz solar por encima de los 5772 K de la fotosfera — un límite que se enunció mucho antes de que hubiera láseres, precisamente para prohibir un móvil perpetuo de segunda especie.
Ejercicios
¿A qué temperatura habría en el sodio tantos átomos en el 3p como en el 3s? Y una vez la tengas: ¿ese gas amplificaría luz de 589 nm?
Solución
De sale K. Es una temperatura de estrella caliente, no de laboratorio, pero es finita: el cociente de poblaciones totales sí se puede igualar calentando.
La segunda parte es la interesante, y la respuesta es no. Lo que decide si un medio amplifica no es , sino , porque la absorción y la emisión estimulada tienen el mismo coeficiente por estado. Y ese cociente vale , que es menor que 1 para cualquier temperatura positiva, por alta que sea. A 22 229 K hay el mismo número de átomos arriba que abajo, pero repartidos entre seis estados arriba y dos abajo: por estado, el de abajo sigue triplicando al de arriba, y el gas absorbe. La segunda lección es que la degeneración no es un detalle de contabilidad: es lo que hace que la inversión sea imposible en equilibrio y obliga a los esquemas de tres y cuatro niveles.
El rubí de Maiman era una barra de un centímetro cúbico de zafiro con un 0,05 % en peso de Cr₂O₃ —1,58 × 10¹⁹ iones de cromo por cm³—, bombeada con una lámpara de flash que emite sobre todo en el verde, hacia 550 nm. Estima la energía mínima del destello, y compárala con los cerca de mil julios que consumían aquellas lámparas.
Solución
Al ser un láser de tres niveles hay que subir al menos la mitad de los iones, . Cada fotón verde de 550 nm lleva J, así que en el mejor de los casos imaginables hacen falta 2,85 J.
Contra los ~1000 J reales, el rendimiento es del 0,3 %, y la razón no es que la física esté mal: es que la lámpara radia en todas direcciones y en todo el espectro, y el rubí sólo absorbe dos bandas estrechas; que el nivel de bombeo tiene que decaer al metaestable antes de que se relaje por otro lado; y que todo lo demás acaba en calor, que hay que sacar de la barra antes del siguiente disparo. La segunda lección es la que ordena la historia posterior del campo: casi todo el progreso de los láseres ha consistido en mejorar el bombeo, no la física del medio. Sustituir la lámpara de flash por un diodo semiconductor que emite justo en la banda de absorción —bombeo por diodo, años ochenta— subió el rendimiento de un láser de estado sólido del 1 % a más del 30 %, y con eso llegaron el corte industrial y la cirugía.
En el interactivo, pon la temperatura en 2,725 K —el fondo cósmico de microondas— y busca dónde está el empate. Después coloca la frecuencia en la raya de 21 cm del hidrógeno. ¿Qué le pasa a esa raya en el espacio profundo?
Solución
A 2,725 K el empate cae en 7,6 mm, así que la raya de 21 cm está por debajo y el fondo cósmico tiene 39,5 fotones por modo en ella. Es decir: incluso en el vacío intergaláctico, a tres grados sobre el cero absoluto, la emisión estimulada de esa transición supera a la espontánea por cuarenta a uno. La segunda lección es que eso no significa que el hidrógeno interestelar sea un máser: la ocupación del modo dice quién gana entre los dos procesos de bajada, pero para amplificar sigue haciendo falta la inversión, y en una nube en equilibrio con el fondo no la hay. Lo que sí ocurre —y ocurre de verdad, es la razón de que existan las nubes máser interestelares de agua y de hidroxilo— es que basta un mecanismo de bombeo modestísimo para invertir una transición de microondas, porque el nivel de arriba prácticamente no se vacía solo: la vida radiativa de la raya de 21 cm es de once millones de años. En el visible, con 16 ns, esa estrategia es impensable.