Por qué el electrón no cae al núcleo

Un electrón que girase alrededor del protón como un planeta caería al núcleo en 1,56 × 10⁻¹¹ segundos, después de dar unas doscientas mil vueltas. Quince picosegundos: lo que tarda la luz en recorrer cuatro milímetros y medio. El cálculo no usa nada cuántico — es electrodinámica clásica de 1873— y por eso es demoledor: dice que el átomo de Rutherford, el que todo el mundo dibuja, no puede existir.

Prerrequisitos: del artículo 01, los tamaños del átomo y del núcleo. De fuera, la longitud de onda de de Broglie, que funda Cuantario I.2, artículo 01: aquí se da por sabida y se aplica. También conviene el modelo de Bohr, en Cuantario I.1, artículo 03.

Rutherford construyó un átomo que no puede existir

En 1911 Rutherford dedujo, de los rebotes de partículas alfa en una lámina de oro, que la carga positiva del átomo está concentrada en un núcleo diminuto. De ahí sale el dibujo que todos hemos visto: un electrón dando vueltas alrededor. Pongámosle números al dibujo antes de criticarlo, que es la única forma decente de criticarlo.

Un electrón en una órbita circular de radio $a_0 = 52{,}918$ pm alrededor de un protón necesita, para que la atracción eléctrica haga de fuerza centrípeta, una velocidad de 2,188 × 10⁶ m/s. Son 7,3 milésimas de la velocidad de la luz — deprisa, pero no tanto como para necesitar relatividad. Con esa velocidad, el periodo de la órbita es $1{,}52 \times 10^{-16}$ s: el electrón daría 6,6 × 10¹⁵ vueltas por segundo, seis mil seiscientos billones. Y la aceleración centrípeta que sufre es $v^2/r = 9{,}0 \times 10^{22}$ m/s², nueve mil doscientos trillones de veces la gravedad terrestre.

Aquí llega el problema, y no lo trae la cuántica: lo trae Maxwell. Una carga acelerada radia energía. Es lo mismo que hace una antena de radio, donde los electrones se mueven arriba y abajo y emiten ondas; es electrodinámica clásica, comprobada mil veces, y no se le puede pedir que haga una excepción con el átomo. La potencia emitida la da la fórmula de Larmor, la radiación de Larmor:

P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3},

y con la aceleración de arriba sale $P = 4{,}67 \times 10^{-8}$ W. Parece poquísimo, pero hay que compararlo con lo que el átomo tiene para gastar. En electronvoltios por segundo son $2{,}9 \times 10^{11}$ eV/s, y la energía total de ligadura del electrón son 13,6 eV. La cuenta que sale de ahí es desoladora.

Ejemplo resuelto 1 · Cuánto tarda en caer

Problema. Un electrón clásico en órbita de radio $a_0$ radia 4,67 × 10⁻⁸ W y está ligado por 13,6 eV. Estima cuánto tarda en caer al núcleo, y después compara la estimación con el resultado exacto.

Solución. La estimación es una división. Si radiase siempre a la misma potencia, agotaría su energía de ligadura en

t \approx \frac{E}{P} = \frac{13{,}6\ \text{eV} \times 1{,}602\times10^{-19}\ \text{J/eV}}{4{,}67\times10^{-8}\ \text{W}} = 4{,}7\times10^{-11}\ \text{s}.

Pero no radia a potencia constante: al perder energía la órbita se encoge, la aceleración crece como $1/r^2$ y la potencia, que va con el cuadrado de la aceleración, crece como $1/r^4$ . Al llegar a la mitad del radio ya radia dieciséis veces más. El cálculo exacto —que exige una integral y por tanto es de Nivel II— da una fórmula cerrada:

t = \frac{a_0^3\, c^3}{4\kappa^2}, \qquad \kappa \equiv \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e} = 253{,}3\ \text{m}^3/\text{s}^2,

y sustituyendo, $t = 1{,}56 \times 10^{-11}$ s.

Resultado. Quince picosegundos y medio, tres veces menos que la estimación ingenua — y el factor tres es justamente la aceleración final. Lo que hace que este número sea un argumento y no una curiosidad es que no depende de dónde se decida que el electrón «ha llegado»: parar la cuenta en el radio del protón en vez de en cero cambia el resultado en cuatro partes en $10^{15}$ . No hay ningún parámetro que ajustar y ninguna salida elegante. Un átomo clásico dura lo que tarda la luz en recorrer 4,7 mm.

Y hay una segunda catástrofe, gratis. Durante esos quince picosegundos el electrón da 204 783 vueltas, con un periodo que se acorta todo el rato: empieza en 1,52 × 10⁻¹⁶ s y el promedio es la mitad. Como la frecuencia de la luz emitida es la de giro, el átomo no emitiría rayas sino un barrido continuo, que arrancaría en 45,6 nm —ultravioleta lejano— y subiría de frecuencia sin parar hasta el final. Es decir: el modelo clásico no sólo predice que los átomos duran una centésima de nanosegundo, sino que en ese rato emitirían justo lo contrario de lo que se mide. Todo el módulo I.1 —cada elemento con su juego de rayas fijas— es la refutación experimental de este dibujo.

Lo que la cuántica cambia, y lo que no

La salida no es que el electrón tenga prohibido radiar por decreto. Bohr lo postuló así en 1913 —existen órbitas «permitidas» en las que, misteriosamente, no se radia— y funcionó para el hidrógeno, pero es un parche: no explica nada, sólo prohíbe. La razón de verdad es otra y se puede contar con álgebra.

Un electrón no es una bolita: tiene una longitud de onda, $\lambda = h/p$ , y una onda no se puede meter en una caja más pequeña que ella sin pagar. Confinar el electrón en una región de tamaño $r$ obliga a que su longitud de onda sea del orden de $r$ , es decir, a que su momento sea del orden de $\hbar/r$ y su energía cinética, de $\hbar^2/2m_er^2$ . Cuanto más lo aprietas, más rápido se mueve. Súmale la atracción eléctrica, que sí quiere aplastarlo:

E(r) = \frac{\hbar^2}{2m_e r^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.

El primer término crece hacia dentro como $1/r^2$ y el segundo baja como $1/r$ : el primero gana siempre en el límite, así que la suma tiene un mínimo. Y no un mínimo cualquiera. Buscándolo sale $r = 52{,}918$ pm, que es exactamente el radio de Bohr, con una energía de −13,606 eV, que es exactamente el rydberg — la energía de ionización medida del hidrógeno es 13,598 eV, un 0,05 % menos por el retroceso del núcleo. Un modelo de juguete de dos líneas acierta las dos cifras: no por suerte, sino porque los exponentes son los correctos y los factores numéricos elegidos a ojo se compensan entre sí. La versión rigurosa es la ecuación de Schrödinger, y es de Cuantario y del Nivel II.

El átomo, entonces, no se cae por la misma razón por la que una pelota no atraviesa el fondo de un cuenco: abajo no hay nada más bajo. En el estado fundamental el electrón ya está en el mínimo de energía, y radiar exigiría bajar de él. No hay adonde.

Ejemplo resuelto 2 · Cuánto cuesta aplastar un átomo

Problema. Usando $E(r)$ , calcula qué energía haría falta para comprimir el átomo de hidrógeno a la décima parte de su tamaño, a la centésima, y hasta el radio del protón.

Solución. En el mínimo, $E(a_0) = -13{,}6$ eV. Sustituyendo los otros tres radios:

E(a_0/10) = +1088\ \text{eV}, \qquad E(a_0/100) = +1{,}33\times10^{5}\ \text{eV}, \qquad E(r_p) = +5{,}4\times10^{10}\ \text{eV}.

El término cinético, que va como $1/r^2$ , se come al eléctrico en cuanto se aprieta un poco.

Resultado. Encoger el átomo de hidrógeno a la décima parte cuesta 1088 eV: ochenta veces lo que cuesta arrancarle el electrón del todo. Es más barato destruir el átomo que comprimirlo. Y llevarlo hasta el tamaño del núcleo cuesta 54 GeV, más de cincuenta veces la energía en reposo de un protón. Ésa es la cifra que hay detrás de la dureza de la materia: los átomos no se aplastan porque aplastarlos es carísimo, y de ahí sale que un sólido tenga un tamaño propio en vez de irse haciendo pequeño según lo aprietas. El artículo 04 convierte esto en presiones, y salen 38 GPa.

Los electrones no orbitan, y el argumento decisivo no es cuántico. Suele decirse que «en realidad no giran, es más complicado», como si fuese una sutileza de interpretación. No lo es: el modelo planetario está refutado por la física clásica, con el número de arriba —1,56 × 10⁻¹¹ s— y sin invocar nada moderno. Pero hay un segundo argumento, aún más limpio, que remata el asunto. El momento angular orbital del estado fundamental del hidrógeno es cero, no $\hbar$ : en el estado 1s, la letra «s» significa literalmente $\ell = 0$ . Bohr le asignaba $\hbar$ a su primera órbita y se equivocaba, y lo sabemos porque el momento angular se mide —en el efecto Zeeman, en las reglas de selección de las rayas, en los haces de Stern y Gerlach. Y una órbita con momento angular cero no es una órbita: es una recta que pasa por el centro. No hay manera de arreglar el dibujo. Detalle bonito y honesto: la longitud de onda de de Broglie del electrón en $a_0$ vale 332,5 pm, que es exactamente la circunferencia $2\pi a_0$ . Ésa fue la intuición de de Broglie en 1924, y explica por qué ese radio y no otro; lo que no significa es que haya nada dando vueltas por ahí, porque lo que se cierra sobre sí mismo es una amplitud de probabilidad, no una cuerda.

Y sin embargo el átomo sí radia, cuando le toca

Sería fácil quedarse con la idea contraria y también falsa: que la cuántica «prohíbe radiar». No prohíbe nada de eso. Un átomo excitado radia y muy deprisa: el nivel 2p del hidrógeno vive 1,6 ns, y el 3p del sodio que da la luz de las farolas, 16 ns. Lo que la cuántica dice es que sólo se radia bajando, y que desde el fundamental no se puede bajar.

La comparación pone las cosas en su sitio: esos 1,6 ns de vida del 2p son 103 veces más que lo que duraría el átomo clásico entero. Un estado excitado del hidrógeno, que es lo más efímero que estudia este sitio, es un anciano al lado del átomo de Rutherford. Y las rayas prohibidas del módulo I.1 —el verde de la aurora, con sus 0,75 s— viven $4{,}8 \times 10^{10}$ veces más. Todo lo que se mide en un espectro presupone que el átomo dura, y el átomo clásico no dura.

Ejercicios

Ejercicio 1

¿Cuánto duraría un ion $\text{He}^+$ clásico? Sabiendo que para un ion hidrogenoide de carga $Z$ el radio de la órbita es $a_0/Z$ y la constante $\kappa$ se multiplica por $Z$ , deduce cómo escala el tiempo de colapso y ponle número.

Solución

Con $t = r^3c^3/(4\kappa^2)$ , sustituir $r \to a_0/Z$ divide por $Z^3$ y sustituir $\kappa \to Z\kappa$ divide por otro $Z^2$ : el tiempo va como $Z^{-5}$ . Para el helio ionizado, $1{,}56\times10^{-11}/2^5 = 4{,}9\times10^{-13}$ s. La segunda lección está en el exponente: para el hierro ( $Z = 26$ ) saldría $1{,}3\times10^{-18}$ s, un attosegundo. Cuanto más pesado el átomo, más escandalosa la contradicción — y sin embargo el hierro existe desde hace trece mil millones de años. Una teoría que se equivoca por treinta órdenes de magnitud no está «casi bien».

Ejercicio 2

En el colapso, el electrón da 204 783 vueltas en 1,56 × 10⁻¹¹ s. Calcula el periodo medio y compáralo con el periodo inicial de 1,52 × 10⁻¹⁶ s. ¿Qué dice la comparación?

Solución

$1{,}56\times10^{-11}/204\,783 = 7{,}6\times10^{-17}$ s, exactamente la mitad del periodo inicial. Es decir: el electrón pasa la mayor parte de las vueltas ya muy adentro, girando al doble de deprisa que al principio o más. Esa es la firma de un proceso que se acelera a sí mismo — pierde energía, se acerca, radia más, pierde más. La segunda lección es metodológica: cuando un proceso se retroalimenta así, la estimación «energía dividida por potencia inicial» siempre sale larga, y aquí sale larga por un factor tres. Es el mismo motivo por el que dos agujeros negros que se fusionan acaban dando ese chirrido ascendente de frecuencia.

Ejercicio 3

¿Por qué el término $\hbar^2/2m_er^2$ es el que gana cuando $r$ se hace pequeño, y qué pasaría si la energía cinética de confinamiento fuese $1/r$ en vez de $1/r^2$ ?

Solución

Gana porque $1/r^2$ crece más deprisa que $1/r$ cuando $r \to 0$ : al dividir el radio por diez, el término cinético se multiplica por cien y el eléctrico sólo por diez. Si el confinamiento costase sólo $1/r$ , los dos términos irían con la misma potencia, su suma sería $(A - B)/r$ y no habría mínimo: o el átomo se colapsaría sin fondo (si $B > A$ ) o no se ligaría en absoluto. La segunda lección es que la estabilidad de la materia depende de una comparación de exponentes, no de un ajuste fino de constantes. Es también por lo que un electrón relativista —cuya energía cinética de confinamiento sí va como $1/r$ — no forma átomos estables por este mecanismo: para un núcleo puntual el equilibrio sólo existe si $Z\alpha < 1$ , es decir $Z < 137{,}04$ . Con un núcleo de tamaño finito el límite se corre hasta $Z \approx 173$ , donde el nivel 1s se hunde en el continuo de energías negativas y el vacío mismo se vuelve inestable. Ninguno de los dos se ha alcanzado —el elemento más pesado sintetizado es el 118—, y es una frontera abierta de verdad.