Un segundo son 9 192 631 770 oscilaciones exactas de la microonda que hace saltar un átomo de cesio-133 entre los dos niveles de su estado fundamental. Exactas por decreto: desde 1967 ese número no se mide, se define, y lo que se mide es todo lo demás contra él. La energía del salto es minúscula —38,0 µeV, equivalentes a 0,441 K— y la raya, estrechada en una fuente de átomos fríos, llega a 1 hercio de anchura. De esa pareja de cifras salen los 38,5 microsegundos al día que un satélite GPS adelanta a un reloj de tierra, que son 11,5 kilómetros de error de posición si nadie los corrige.
Un reloj no tiene un solo número de calidad: tiene dos. La inestabilidad baja como 1/√τ mientras se promedia —dos medidas ruidosas dan una media mejor— y la exactitud es el suelo donde deja de bajar, porque ahí ya no manda el ruido sino los efectos sistemáticos que nadie ha sabido restar. Elige un reloj y mira cuánto hay que esperar para sacarle todo lo que tiene.
Todavía manda el ruido: a τ = 2.8 h la inestabilidad va por 1,50 × 10⁻¹⁵ y sigue bajando como 1/√τ. Este reloj tarda 26.0 días en llegar a su exactitud de 1,0 × 10⁻¹⁶. Cuadruplicar el tiempo de medida sólo divide el error por dos, y por eso una comparación entre patrones primarios es una campaña de semanas y no una tarde.
La curva es sólo la parte de ruido blanco de frecuencia, que es la que domina un reloj atómico mientras promedia; un reloj real acaba subiendo otra vez por deriva, y esa rama no está dibujada. Las cifras de inestabilidad y exactitud son valores típicos publicados de cada familia, no de un aparato concreto.
Todo reloj es un oscilador y un contador
Un reloj de péndulo cuenta oscilaciones de una barra; un reloj de cuarzo cuenta las de un cristal cortado en forma de diapasón que vibra a 32 768 Hz —2¹⁵, para poder dividir la frecuencia quince veces con biestables y sacar un pulso por segundo—. En los dos casos el patrón es un objeto: se fabrica, envejece, se dilata con la temperatura y no hay dos iguales. Un reloj atómico cambia eso por una propiedad de la naturaleza, que llega idéntica a cualquier laboratorio y no se desgasta.
La cifra de mérito de un patrón es su factor de calidad, : cuántas veces cabe la anchura de la resonancia dentro de su propia frecuencia. Cuanto mayor sea, más fino se puede apuntar al centro de la raya. Pero Q no es exactitud, y confundirlos es el error clásico: un oscilador con altísimo puede estar sistemáticamente desplazado. Hay que dar dos números, y por eso el interactivo pide dos.
Por qué el cesio, y qué es exactamente ese salto
El salto que define el segundo no es un salto electrónico: es estructura hiperfina. En el cesio-133 el núcleo tiene espín 7/2 y el electrón de valencia, 1/2, y el acoplamiento entre los dos momentos magnéticos separa el estado fundamental en dos niveles, y , apartados J. Es cincuenta y seis veces menos que la estructura fina del sodio del módulo I.1 y cincuenta y cinco mil veces menos que su salto óptico: la microonda correspondiente tiene 3,26 cm de longitud de onda, y su energía equivale a una temperatura de 0,441 K.
El cesio ganó el puesto por una lista de virtudes prácticas, no por elegancia:
- Es monoisotópico. Todo el cesio natural es , así que no hay que separar nada — y después del módulo I.3 ya se sabe lo que eso cuesta.
- Es el más pesado de los alcalinos estables, luego el más lento a una temperatura dada: sus átomos vuelan despacio y se les puede interrogar durante más tiempo.
- Es fácil de manipular. Funde a 28 °C, se evapora sin esfuerzo, y su transición hiperfina se puede desviar con imanes para separar los átomos que han saltado de los que no.
La raya se estrecha alargando el vuelo
La anchura de una resonancia interrogada durante un tiempo no puede bajar de . La anchura natural del cesio no manda aquí —el nivel hiperfino es eterno a estos efectos—, así que lo que fija la raya es cuánto tiempo se puede tener al átomo bajo la microonda. Y Norman Ramsey encontró en 1949 la forma de aprovecharlo del todo: en vez de un pulso largo, dos pulsos cortos separados por un vuelo libre. La interferencia entre ambos produce franjas cuya anchura es con el tiempo entre pulsos, y de paso hace la medida inmune a lo que le pase al átomo por el camino. Es el método de Ramsey, y le valió el Nobel de 1989.
Problema. Un reloj de haz clásico manda átomos de cesio a unos 200 m/s por un tubo de un metro entre las dos cavidades. Una fuente lanza átomos fríos hacia arriba y los deja caer. Compara las dos anchuras de raya, y calcula a qué altura hay que lanzarlos.
Solución. En el haz, el tiempo entre pulsos es ms, de modo que Hz y . En la fuente se busca s, con lo que Hz y . El átomo sube y baja bajo la gravedad, así que y
alcanzados con una velocidad de lanzamiento de 2,45 m/s.
Resultado. Treinta centímetros de altura compran un factor cien en el factor de calidad, y ésa es toda la idea de una fuente atómica. Pero sólo funciona con átomos fríos, y ahí es donde el artículo 02 se vuelve imprescindible: un átomo de cesio en el límite Doppler tiene 8,85 cm/s de velocidad transversal, así que en medio segundo la nube se abre 4,4 cm y todavía cabe en la cavidad. Un átomo del haz térmico, a 200 m/s de dispersión transversal, se habría ido cien metros. La segunda lección es el orden histórico: la fuente atómica se propuso en 1954 —Zacharias lo intentó y fracasó— y no funcionó hasta 1989, cuando hubo melazas ópticas. El reloj no mejoró por electrónica: mejoró porque alguien aprendió a enfriar átomos.
El GPS no funcionaría sin relatividad
Un receptor de GPS calcula dónde está midiendo cuánto tarda en llegarle la señal de varios satélites, cada uno con su reloj atómico a bordo. Como la señal viaja a , un error de un nanosegundo en un reloj son 30 cm de error de posición. Y los relojes del satélite y del suelo no marchan igual, por dos motivos que van en sentidos contrarios.
Problema. Un satélite GPS da dos vueltas a la Tierra por día sidéreo, es decir una cada 43 082 s. Calcula su altura y su velocidad, y con ellas las dos correcciones relativistas de su reloj: la cinemática, , y la gravitatoria, .
Solución. Con m³/s² y un periodo de 43 082 s, la tercera ley de Kepler da km —20 191 km de altura— y m/s. De ahí:
Resultado. El reloj del satélite va 38,5 µs al día más deprisa que el de tierra: pierde 7,21 por ir rápido y gana 45,7 por estar arriba, donde el potencial gravitatorio es menos profundo. Multiplicado por , eso son 11,5 km de error de posición al día, y ya 481 m tras una sola hora sin corregir. La segunda lección es cómo se resuelve, que es más elegante de lo que suele contarse: los osciladores de los satélites se fabrican adrede con la frecuencia cambiada, ajustados en tierra a 10 229 999,995 43 Hz en vez de los 10 230 000 nominales, de modo que en órbita marchen justo a 10,23 MHz. La relatividad no se corrige en el receptor de tu bolsillo: viene corregida de fábrica en el reloj. Y el GPS es, de paso, la mayor comprobación cotidiana de la relatividad general que existe — no funcionaría un solo día sin ella.
Relojes ópticos: subir la frecuencia cinco órdenes de magnitud
Si , la vía obvia para mejorar es subir . Una transición de reloj óptica en el estroncio-87 vale 429 228 004 229 873,0 Hz: 46 693 veces la frecuencia del cesio. Además es una transición prohibida, con una vida del orden de 150 s, lo que le da una anchura natural de una milésima de hercio y un intrínseco de 4 × 10¹⁷. En la práctica lo que limita es la pureza del láser que interroga, y se llega a rayas de un hercio: , cinco órdenes de magnitud por encima de una fuente de cesio.
Durante cuarenta años ese camino estuvo cerrado por un problema de contabilidad: no se pueden contar 429 billones de oscilaciones por segundo. Ninguna electrónica llega. Se resolvió en 1999 con el peine de frecuencias ópticas: un láser de pulsos ultracortos cuyo espectro no es un continuo sino una regla de dientes igualmente espaciados, separados por la frecuencia de repetición del tren —250 MHz, una radiofrecuencia perfectamente contable—. La transición del estroncio cae junto al diente número 1 716 912, y contando dientes se enlaza lo óptico con lo contable. Hänsch y Hall se llevaron por ello medio Nobel en 2005.
Con los átomos sujetos en una red de luz —un reloj óptico de red— y el peine para leerlos, las exactitudes han bajado a 2 × 10⁻¹⁸: menos de un segundo de desviación acumulada en toda la edad del universo. Y hay una consecuencia que no es metrológica sino geofísica. Como el corrimiento al rojo gravitatorio vale , un reloj con esa exactitud nota un centímetro de altura: 1,09 × 10⁻¹⁸ por cada centímetro. En 2010 se midió la diferencia entre dos relojes separados 33 cm en vertical, y en 2022, entre la parte de arriba y la de abajo de una misma nube de un milímetro.
El día ya no dura 86 400 segundos, y por eso hay segundos intercalares. El segundo se definió durante siglos como 1/86 400 del día solar medio, y esa definición se abandonó porque la Tierra resultó ser un reloj mediocre: se frena por las mareas —unos 2 ms por siglo de aumento de la duración del día—, se acelera cuando el manto se reajusta tras la última glaciación, y da tumbos de milisegundos con los vientos y las corrientes. Con el patrón mudado al cesio, ambas escalas se separan: entre 1972 y 2016 hubo que intercalar 27 segundos en la escala civil para que el mediodía siguiera cayendo a mediodía, uno cada año y ocho meses de media, lo que corresponde a un día solar 1,64 ms más largo que los 86 400 s del cesio. Hoy la diferencia entre las dos escalas es de 37 segundos. Y esos saltos son un incordio en cualquier sistema que dé por hecho que un minuto tiene sesenta segundos, así que en 2022 la Conferencia General de Pesas y Medidas decidió abolir el segundo intercalar antes de 2035 y dejar que las dos escalas se separen hasta un minuto entero. La lección de fondo no es sobre calendarios: cuando el patrón mejora, lo que antes era «lo mismo» se rompe en dos cosas distintas, y hay que decidir cuál de las dos se sigue llamando por el nombre de siempre.
Ejercicios
Un reloj de cesio primario tiene que dar la frecuencia con una exactitud de 10⁻¹⁶. Su mayor corrección conocida es el desplazamiento que produce la radiación térmica de las paredes de la cámara, que vale . ¿Con qué precisión hay que conocer la temperatura de la cámara?
Solución
Derivando, la sensibilidad es por kelvin, así que para no gastar más de 10⁻¹⁶ en esta partida hay que conocer con ±0,44 K. Diez grados de error meterían 2,4 × 10⁻¹⁵, veinticuatro veces el presupuesto entero.
La segunda lección es la que separa la exactitud de la estabilidad: este error no baja promediando. Se puede medir durante un año y la desviación de Allan seguirá cayendo como 1/√τ, pero el desplazamiento del cuerpo negro seguirá exactamente donde estaba, porque es un sesgo y no un ruido. Por eso los relojes primarios llevan termómetros calibrados dentro de la zona de vuelo, y por eso hay laboratorios que han montado la cámara a temperatura criogénica: a 4 K, el mismo término vale 5 × 10⁻²², y el problema desaparece en vez de medirse.
Tu cabeza está unos 1,7 m por encima de tus pies. ¿Cuánto tiempo de más acumula en ochenta años de vida? ¿Y qué exactitud de reloj hace falta para medirlo en una tarde?
Solución
La diferencia relativa de ritmo es . En ochenta años —2,5 × 10⁹ segundos— eso son 468 nanosegundos: menos de medio microsegundo de vida extra por ir de pie.
Para medirlo en una tarde, cuatro horas, harían falta 1,9 × 10⁻¹⁶ × 14 400 s = 2,7 ps de resolución temporal — o, dicho como se dice de verdad, un par de relojes capaces de comparar frecuencias a 2 × 10⁻¹⁶, que es justo lo que hace una fuente de cesio tras un día de promediado y lo que hace un reloj óptico en menos de un segundo. La segunda lección es que este experimento ya se ha hecho: en 2010, con dos relojes de ion de aluminio separados 33 cm en vertical, y en 2022 con un solo reloj de estroncio midiendo la diferencia entre la parte de arriba y la de abajo de una nube de un milímetro, donde el efecto es de 1,09 × 10⁻¹⁹. La relatividad general dejó hace tiempo de ser una teoría de agujeros negros para convertirse en una corrección de mesa de laboratorio.
En el interactivo, pon la fuente de cesio y busca cuánto tarda en llegar a su exactitud. Después haz lo mismo con el reloj óptico de estroncio. ¿Por qué la diferencia es tan grande, si los dos acaban limitados por sus sistemáticos?
Solución
La fuente parte de 1,5 × 10⁻¹³ a un segundo y tiene que bajar hasta 10⁻¹⁶: como , necesita segundos, es decir 26 días. El de estroncio parte de 4,8 × 10⁻¹⁷ y baja a 2 × 10⁻¹⁸ en 576 segundos, diez minutos. Para llegar a 10⁻¹⁶, que a la fuente le cuesta cuatro semanas, el óptico tarda 0,23 s.
La razón es que la inestabilidad de partida ya es cuatro órdenes de magnitud mejor, y la ley de la raíz castiga sin piedad: cada factor diez que se quiera ganar cuesta cien veces más tiempo. La segunda lección es práctica y explica por qué la redefinición del segundo está en marcha: con un reloj de cesio, comparar dos patrones es una campaña de semanas —y durante esas semanas hay que mantener el aparato estable—, mientras que con relojes ópticos la misma comparación cabe en una pausa para el café. Eso no sólo mejora el número: cambia qué experimentos se pueden intentar, incluida la búsqueda de una posible deriva de las constantes fundamentales, que se hace comparando dos relojes de átomos distintos durante años.