Frenar un átomo con luz

Un fotón de 589 nm absorbido por un átomo de sodio le cambia la velocidad en 2,95 cm/s. Es un empujón ridículo: para parar un átomo que va a 500 m/s —del orden de lo que corre una molécula del aire que respiras— hacen falta 17 000. Pero un átomo saturado absorbe y reemite 30,8 millones de fotones por segundo, así que los 17 000 se le entregan en medio milisegundo, sobre catorce centímetros de vuelo, con una deceleración de 92 400 g. Ésa es la operación entera. Lo difícil no es la fuerza: es que el átomo siga en resonancia mientras frena.

Prerrequisitos: del artículo 01 de este módulo, la emisión espontánea y la anchura natural

\Gamma

; del módulo I.3, que la masa de un átomo suelto es

M/N_A

; del I.1, el efecto Doppler en su forma no relativista,

\Delta\nu/\nu = v/c

. Nada más: aquí no hay cuántica, hay conservación del momento repetida muchas veces.

Enfriar un gas empujándolo con luz

Dos haces enfrentados, los dos por debajo de la frecuencia de la transición. Un átomo parado los ve iguales y no se mueve; uno que se mueve ve el de frente corrido al azul —más cerca de resonancia— y absorbe más de ese lado. La fuerza es siempre contraria a la velocidad. Cada punto es un átomo, colocado por su posición y su velocidad: mira cómo la nube se desploma sobre el eje y dónde se para.

Desintonía δ: -0.50 Γ (-4.9 MHz, al rojo) Saturación s₀ = I/I_sat: 0.20 (1.25 mW/cm² por haz)

Temperatura medida 0 µK

La que predice la teoría 282 µK

Velocidad rms 0.0 cm/s

Fotones por segundo y átomo 5,13 × 10⁶

Retroceso de un fotón 2.95 cm/s

Frenado máximo ħkΓ/2m 92 400 g

Melaza transcurrida 0.00 ms

Estás en el punto óptimo, δ = −Γ/2. Con s₀ → 0 la teoría da exactamente ħΓ/2k_B = 235 µK: el límite Doppler, donde el frenado y el paseo aleatorio de las emisiones espontáneas se equilibran. La velocidad residual, 29 cm/s, son 10 retrocesos — el átomo no puede quedarse más quieto que el propio grano de la luz que lo empuja.

Simulación en una dimensión y de dos niveles: el átomo real tiene estructura hiperfina, y precisamente por eso las melazas de verdad llegan más frías que este panel —43 µK medidos en sodio frente a los 235 del límite Doppler—. Tampoco hay trampa: una melaza frena, no sujeta, y aquí los átomos siguen paseando de un lado a otro de la caja.

Un fotón empuja poquísimo, y treinta millones de veces por segundo

Un fotón lleva momento $p = h/\lambda$ . Cuando un átomo lo absorbe se lo queda entero, y cambia de velocidad en lo que se llama la velocidad de retroceso:

v_r = \frac{h}{m\lambda} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{3{,}818\times10^{-26} \times 589{,}16\times10^{-9}} = 2{,}95\ \text{cm/s}.

Al reemitirlo también retrocede, pero esa segunda patada va en una dirección al azar y en promedio no cuenta: sumada muchas veces se cancela. Lo que no se cancela es la absorción, porque todos los fotones absorbidos vienen del mismo sitio. El resultado neto es una fuerza en la dirección del haz, la fuerza de dispersión, igual al momento de un fotón por la tasa a la que se dispersan.

Y esa tasa tiene un techo duro. Un átomo que ya está excitado no puede absorber otro fotón: tiene que caer primero, y eso tarda $\tau = 16{,}25$ ns. Por más luz que se le eche, no pasa de estar excitado la mitad del tiempo, de modo que el número de ciclos por segundo se estanca en $\Gamma/2 = 30{,}8$ millones. La fuerza máxima es

F_{\max} = \frac{\hbar k \Gamma}{2} = 3{,}46\times10^{-20}\ \text{N} \quad\Longrightarrow\quad a_{\max} = 9{,}07\times10^{5}\ \text{m/s}^2.

Puesto en perspectiva: el peso de ese mismo átomo es $mg = 3{,}74\times10^{-25}$ N, así que la luz le gana a la gravedad por un factor 92 400. Un átomo iluminado no cae: lo que hace con la gravedad es ignorarla. Y la intensidad que hace falta para llegar ahí es sorprendentemente modesta — la intensidad de saturación de la raya D2 del sodio es 6,26 mW/cm², que es lo que deja un puntero de llavero de 1 mW repartido en una mancha de 4,5 mm.

El problema no es frenar: es seguir en resonancia

Aquí llega la trampa. Mientras el átomo frena, su velocidad cambia, y con ella el corrimiento Doppler de la luz que ve venir de frente. Los números son brutales comparados con la anchura de la raya:

Velocidad	Corrimiento Doppler $v/\lambda$	En anchuras naturales	Campo Zeeman que lo compensa
1000 m/s	1697 MHz	173 $\Gamma$	1213 G
500 m/s	849 MHz	86,6 $\Gamma$	606 G
100 m/s	170 MHz	17,3 $\Gamma$	121 G
1 m/s	1,70 MHz	0,173 $\Gamma$	1,21 G

Un átomo que pierde 5,8 metros por segundo ya se ha salido de resonancia por una anchura natural entera, y a partir de ahí deja de absorber. Con la luz sintonizada para un átomo de 1000 m/s, el frenado se para solo cuando el átomo ha perdido el 0,6 % de su velocidad. Hay dos maneras de arreglarlo, y las dos se usan:

Perseguirlo con la frecuencia. Se barre la frecuencia del láser hacia arriba al mismo ritmo al que el átomo frena — el chirp—. Es sencillo, pero sólo frena a los átomos que iban a la velocidad correcta en el instante correcto: sale un chorro a pulsos.
Perseguirlo con el átomo. Un desacelerador Zeeman pone un campo magnético que decrece a lo largo del tubo, de modo que el desdoblamiento Zeeman de los niveles del átomo compense en cada punto el Doppler que le queda. Funciona en continuo: todo átomo por debajo de la velocidad de diseño acaba parado en el mismo sitio, se meta en el tubo cuando se meta.

Ejemplo resuelto 1 · Cuánto mide un desacelerador Zeeman

Problema. Un horno de sodio a 600 K entrega un haz cuya velocidad media es 743 m/s. Diseña un desacelerador que capture hasta 1000 m/s: ¿qué campo hace falta a la entrada, y qué longitud tiene el tubo?

Solución. El corrimiento que hay que compensar a la entrada es $\Delta\nu = v/\lambda = 1697$ MHz. Un campo magnético desplaza la transición cíclica en $\mu_B B/h = 13{,}996$ GHz por tesla, así que

B = \frac{h\,\Delta\nu}{\mu_B} = \frac{1697\ \text{MHz}}{13\,996\ \text{MHz/T}} = 0{,}121\ \text{T} = 1213\ \text{G}.

Para la longitud, ninguna máquina real trabaja a $a_{\max}$ : hay que dejar margen para que el átomo no se salga de resonancia por delante, y se diseña con $\eta \approx 0{,}5$ . Entonces $L = v^2/(2\eta a_{\max}) = 1{,}10$ m, recorridos en 2,21 ms, durante los cuales el átomo dispersa 33 900 fotones.

Resultado. Un metro de tubo y 1200 gauss: cifras de laboratorio, no de gran instalación — el campo es el de un imán de neodimio corriente y la bobina es de cobre refrigerado por agua. La segunda lección está en la dependencia: $L \propto v^2$ , así que capturar el doble de velocidad cuadruplica el tubo. Por eso los desaceleradores se diseñan justo por encima de la velocidad media del horno y se acepta perder los átomos más rápidos: en el chorro de este horno hay un 40 % más de átomos por debajo de 1400 m/s que por debajo de 1000, y recogerlos cuesta pasar de 1,10 a 2,16 m de tubo: el doble de máquina por un 40 % más de átomos. Y ojo con el atajo que parece obvio: los alcalinos pesados —cesio, rubidio— son más lentos a la misma temperatura, sí, pero su aceleración máxima es quince veces menor, y el tubo les sale más largo, no más corto. Por eso muchos de esos experimentos no llevan desacelerador: cargan la trampa directamente de un vapor a temperatura ambiente, quedándose sólo con la cola lenta de la distribución.

Dos haces enfrentados: la melaza y su suelo

Frenar en una dirección no sirve de nada si el átomo se escapa por otra. La idea que lo resuelve es de 1975 —Hänsch y Schawlow— y es de una simplicidad desconcertante: pon dos haces enfrentados, los dos sintonizados por debajo de la transición. Un átomo parado los ve igual de desintonizados y absorbe lo mismo de los dos: fuerza neta cero. Uno que se mueve ve corrido al azul el que le viene de frente —más cerca de resonancia, absorbe más— y corrido al rojo el que le viene por detrás. La fuerza es siempre contraria a la velocidad, se mueva hacia donde se mueva. Con seis haces, tres parejas ortogonales, la cosa funciona en las tres direcciones y el gas se mueve como si estuviera dentro de un jarabe: es la melaza óptica.

Pero la melaza no puede llegar al cero absoluto, y la razón es que las emisiones espontáneas son al azar. Cada fotón reemitido da al átomo un retroceso de 2,95 cm/s en una dirección impredecible, de modo que mientras el frenado quita velocidad ordenada, la reemisión añade velocidad desordenada. El equilibrio entre los dos define el límite Doppler:

k_B T_D = \frac{\hbar\Gamma}{2} \quad\Longrightarrow\quad T_D = 235\ \mu\text{K (sodio)},\quad 125\ \mu\text{K (cesio)}.

Doscientas treinta y cinco millonésimas de kelvin. Para hacerse una idea: el fondo cósmico de microondas, que es lo más frío que hay en el universo por su cuenta, está a 2,725 K — once mil seiscientas veces más caliente. La velocidad que le queda al átomo en ese límite son 29 cm/s, es decir diez retrocesos; y el suelo absoluto de este mecanismo, la temperatura a la que un solo retroceso ya es toda la energía, es el límite de retroceso, 2,40 µK en el sodio. Entre los dos límites hay un factor 98, y ahí es donde estaba escondida la sorpresa que cuenta el aparte de más abajo.

Una advertencia que se olvida siempre: la melaza frena, pero no sujeta. La fuerza depende de la velocidad, no de la posición, así que los átomos se difunden lentamente hacia fuera y acaban perdiéndose. Para atraparlos hace falta añadir un campo magnético en cuadrupolo, que hace que la desintonía dependa de dónde esté el átomo: con un gradiente de 10 gauss por centímetro, un átomo a 1 cm del centro está desplazado 14,0 MHz —una anchura natural y media— y la luz lo empuja de vuelta. Eso es una trampa magneto-óptica, el aparato que hay hoy en cualquier laboratorio de átomos fríos y el punto de partida del artículo 04.

El átomo tiene que poder repetir el ciclo

Todo lo anterior da por supuesto algo que no es gratis: que el átomo, al caer, vuelva exactamente al nivel del que salió, para poder absorber otra vez. Una pareja de niveles con esa propiedad es una transición cíclica, y encontrarla condiciona qué elementos se pueden enfriar. Si el nivel excitado puede caer también a otro sitio —un nivel hiperfino vecino, un metaestable—, el átomo desaparece del ciclo y deja de sentir la luz.

Ejemplo resuelto 2 · Cuántas fugas aguanta el ciclo

Problema. Supón que en cada desexcitación hay una probabilidad $p$ de que el átomo caiga a un nivel del que la luz de enfriamiento ya no lo saca. ¿Qué valor de $p$ es tolerable si hay que frenar sodio desde 500 m/s?

Solución. El átomo sobrevive de media $1/p$ ciclos, y cada ciclo le quita 2,95 cm/s, así que la velocidad máxima que se le puede quitar es $v_r/p$ . Con los 17 000 fotones que exigen los 500 m/s:

p < \frac{v_r}{500\ \text{m/s}} = \frac{0{,}0295}{500} = 5{,}9\times10^{-5}.

Una fuga de una parte en mil deja al átomo tras 1000 ciclos, es decir tras quitarle 29 m/s: nada.

Resultado. El ciclo tiene que ser puro a una parte en diecisiete mil para que el frenado sirva de algo, y ningún átomo real lo es. En el sodio, la luz de enfriamiento bombea la transición $F=2 \to F'=3$ , y aunque la regla de selección prohíbe que el excitado caiga al $F=1$ , la raya $F'=2$ está a sólo 60 MHz y se excita por error de vez en cuando; el átomo cae entonces al $F=1$ , a 1772 MHz del otro, y se queda ahí para siempre. La solución es un segundo láser, el rebombeador, que lo devuelve al ciclo. La segunda lección es que casi todo montaje de átomos fríos tiene dos láseres y no uno, y que el segundo, el que nadie menciona en las charlas de divulgación, es el que decide si el experimento funciona.

En 1988 los átomos salieron más fríos de lo que la teoría permitía. El límite Doppler no era una estimación: era un resultado cerrado, con su deducción de dos líneas, y decía 235 µK para el sodio. Cuando el grupo de William Phillips midió su melaza con un método nuevo —soltar la nube, dejarla expandirse y fotografiarla— le salieron 43 ± 20 µK, cinco veces y media por debajo. La primera reacción, la correcta, fue desconfiar del termómetro; se rehizo la medida por tres caminos distintos y el número no se movió. La explicación tardó un año y llegó de Dalibard y Cohen-Tannoudji: los seis haces no forman una intensidad uniforme sino un paisaje de polarización con cuestas de fracciones de micra, y un átomo real —que tiene varios subniveles, no dos— se pasa la vida subiendo esas cuestas y siendo bombeado al fondo justo cuando llega arriba. Es el enfriamiento Sísifo, y baja hasta unas pocas veces el límite de retroceso. La lección no es que la teoría estuviera mal: estaba bien para el átomo de dos niveles que suponía. La lección es que la simplificación que hace tratable un cálculo puede ser exactamente la que esconde el efecto — y que los tres protagonistas de esta historia, Chu, Cohen-Tannoudji y Phillips, compartieron el Nobel de 1997.

Ejercicios

Ejercicio 1

Repite las cifras clave para el cesio: masa 132,905 u, línea D2 en 852,35 nm y $\Gamma/2\pi = 5{,}22$ MHz. Retroceso, aceleración máxima y distancia para frenarlo desde 200 m/s. ¿Por qué el cesio es a la vez más fácil y más difícil de enfriar que el sodio?

Solución

El retroceso es $h/m\lambda = 0{,}352$ cm/s, ocho veces menor que el del sodio. La aceleración máxima, $v_r\Gamma/2 = 5{,}78\times10^{4}$ m/s², es quince veces menor, así que frenar desde 200 m/s exige 34,6 cm y 56 800 fotones.

Más fácil, porque su límite Doppler es 125 µK frente a los 235 del sodio, y su límite de retroceso, 0,198 µK frente a 2,40: un átomo pesado con una raya estrecha se puede dejar mucho más quieto. Y su velocidad térmica es menor, así que hay menos que frenar. Más difícil, porque esa misma raya estrecha y ese mismo retroceso pequeño dan una fuerza pequeñísima: la aceleración máxima del cesio son 5890 g, y aunque siga siendo enorme, el aparato es más largo y más lento. La segunda lección es la regla de diseño que se usa a diario: los átomos pesados con rayas estrechas se enfrían más pero se capturan peor, y por eso el estroncio y el iterbio, que tienen dos transiciones —una ancha para capturar y una estrecha para enfriar—, son hoy los preferidos de los relojes ópticos.

Ejercicio 2

En el interactivo, pon la desintonía en +0,5 $\Gamma$ con el resto igual. La nube se abre en vez de cerrarse. Explica por qué, y di qué se puede hacer con eso.

Solución

Con el láser por encima de la resonancia, un átomo que se aleja del haz ve la luz corrida al azul hacia la resonancia, así que absorbe más del haz que huye de él y se acelera en el sentido en que ya iba. La fuerza pasa de ser $-\beta v$ a ser $+\beta v$ : el mismo montaje, con la frecuencia una anchura más arriba, es un calentador. La segunda lección es que eso se usa a propósito. Calentar selectivamente con luz azul desintonizada es una de las formas de purgar de una trampa los átomos que están en el estado equivocado; y sobre todo, es lo que hay detrás de las pinzas ópticas y de las redes de luz del artículo 04, donde la luz desintonizada al azul repele a los átomos y la desintonizada al rojo los atrae. El signo de la desintonía es, en átomos fríos, tan importante como el signo de una carga en electrostática.

Ejercicio 3

En el interactivo, sube la saturación hasta el máximo con la desintonía óptima. La temperatura de equilibrio empeora. ¿Por qué, si más luz significa más fuerza de frenado?

Solución

Porque la fuerza de frenado y el calentamiento no crecen igual. El frenado depende de la diferencia entre las tasas de los dos haces, y esa diferencia se satura: por mucha luz que se eche, el átomo no puede dispersar más de $\Gamma/2$ fotones por segundo. El calentamiento, en cambio, depende de la suma, que es el número total de retrocesos al azar, y ésa sigue creciendo. En la fórmula del equilibrio, $k_BT = (\hbar\Gamma/8)(1+2s_0+(2\delta/\Gamma)^2)/(|\delta|/\Gamma)$ , el $2s_0$ del numerador es exactamente eso. La segunda lección es de método experimental: en una melaza se captura con mucha luz y se enfría bajando la potencia al final, que es lo que hace en la práctica cualquier secuencia de laboratorio — primero unos milisegundos de trampa a plena potencia, después una fase de melaza con la intensidad reducida y la desintonía alejada, y sólo entonces se apaga todo.