Un condensado de Bose-Einstein de sodio contiene 1,5 × 10¹⁴ átomos por centímetro cúbico: es 167 000 veces más tenue que el aire de esta habitación, y aun así es lo más frío que existe, a 2,0 µK. Lo que ocurre a esa temperatura no tiene nada que ver con la densidad ni con la energía: la longitud de onda de cada átomo llega a 259 nm mientras la distancia media entre vecinos es de 188, los átomos se solapan, y en cuanto dejan de poder distinguirse el gas entero se desploma al mismo estado cuántico. Este artículo es el camino desde un horno a 600 K hasta ahí, y lo que se hace después con el resultado.
La cadena de enfriamiento, etapa por etapa
La magnitud que hay que vigilar no es la temperatura sino la densidad en el espacio de fases, : cuántos átomos hay dentro de un cubo del tamaño de su propia longitud de onda térmica de de Broglie,
Enfriar sube porque crece; comprimir la sube porque crece . Y hay que llegar a , que es donde la estadística de Bose se rompe. Los números de un experimento de sodio, en órdenes de magnitud:
| Etapa | Temperatura | Densidad | Separación | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Haz del horno | 600 K | 10¹⁰ cm⁻³ | 14,9 pm | 4,6 µm | 3,3 × 10⁻¹⁷ |
| Trampa magneto-óptica | 100 µK | 10¹⁰ cm⁻³ | 36,4 nm | 4,6 µm | 4,8 × 10⁻⁷ |
| Melaza sub-Doppler | 25 µK | 10¹¹ cm⁻³ | 72,8 nm | 2,2 µm | 3,9 × 10⁻⁵ |
| Trampa magnética comprimida | 200 µK | 10¹² cm⁻³ | 25,7 nm | 1,0 µm | 1,7 × 10⁻⁵ |
| Tras la evaporación | 1,97 µK | 1,5 × 10¹⁴ cm⁻³ | 259 nm | 188 nm | 2,61 |
Dos cosas saltan a la vista. La primera, el salto de diez órdenes de magnitud que da el enfriamiento láser en la primera etapa: de a sólo por apagarle la velocidad al gas. La segunda es aleccionadora: comprimir la nube no sirve de nada. La cuarta fila multiplica la densidad por diez y la temperatura por ocho, y el resultado es que baja. Es el teorema de Liouville disfrazado: apretar un gas en el espacio lo calienta en la misma proporción, y en el espacio de fases no se gana nada. Todo lo que queda por hacer entre y 2,6 hay que hacerlo tirando átomos.
Qué cambia exactamente a los dos microkelvin
La condición de condensación no dice «cuando haga mucho frío»: dice cuándo la onda de cada átomo empieza a pisar la del vecino. En el aire de esta habitación, un átomo de sodio tendría 21 pm de longitud de onda y sus vecinos estarían a 3,4 nm: cabrían ciento sesenta ondas entre dos átomos, y por eso el aire se comporta como un puñado de bolas de billar y se le pueden poner etiquetas. A dos microkelvin la onda mide 259 nm y los vecinos están a 188. No caben. En ese momento la pregunta «¿cuál de estos dos átomos es cuál?» deja de tener respuesta, y para un bosón —cualquier átomo con un número par de protones, neutrones y electrones, como el — eso tiene una consecuencia brutal: cuantos más haya ya en un estado, más probable es que el siguiente caiga en él. El gas se desploma sobre su estado de mínima energía.
Problema. El condensado de sodio del MIT, en 1995, se formó a una densidad de pico de 1,5 × 10¹⁴ átomos/cm³. ¿A qué temperatura? Comprueba el resultado por un segundo camino.
Solución. Imponiendo con y despejando:
Comprobación: a esa temperatura nm, y nm, de modo que — la onda es efectivamente un 38 % mayor que el hueco disponible, que es lo que la condición dice con otras palabras. Y por un camino de verdad distinto: la forma en que la fórmula viene en los libros, , da el mismo 1,97 µK sin pasar por .
Resultado. Dos millonésimas de kelvin. La segunda lección está en cómo escala: , así que subir la densidad ayuda poco —hay que multiplicarla por 32 para ganar un factor 10 en temperatura— y por eso el trabajo real está en la temperatura y no en apretar. Y como baja con la masa, condensar hidrógeno a esa misma densidad sería 23 veces más fácil que condensar sodio; se intentó durante veinte años, y se consiguió en 1998, tres años después que con el rubidio y el sodio — porque el hidrógeno no tiene ninguna transición óptica accesible con la que enfriarlo, y la técnica pesó más que la termodinámica.
Evaporar: tirar el 99,96 % para ganar un factor cinco millones
El último tramo lo hace el enfriamiento evaporativo, que es lo mismo que soplar un café. Se rebaja el borde de la trampa hasta una altura , los átomos más energéticos se escapan por encima, y los que quedan vuelven a repartirse la energía con menos de la que había: la nube se enfría. No hace falta ninguna luz — de hecho hay que apagarla toda, porque un solo fotón dispersado devuelve al átomo el retroceso de 2,95 cm/s, que a 100 nK es cinco veces la velocidad típica de un átomo.
Problema. En una trampa armónica la energía media por átomo es y la densidad va como . Si se corta la trampa a y se deja escapar el 1 % de los átomos, ¿cuánto se gana? ¿Y cuántos átomos cuesta llegar al condensado?
Solución. Cada átomo que se va se lleva , el doble de la media, así que la energía cae el doble de deprisa que el número: la temperatura baja un 1 %. Como , perder el 1 % de y el 1 % de deja un 2 % arriba. En general, con , que aquí vale 2. Para subir de los 4,8 × 10⁻⁷ del MOT a los 2,612 del umbral hay que ganar un factor 5,4 × 10⁶, y con eso cuesta dividir el número de átomos por .
Resultado. Se tira el 99,96 % de los átomos para quedarse con el 0,04 % a dos microkelvin. Suena a despilfarro y es exactamente lo contrario: es el único proceso de toda la cadena que no tiene límite inferior. El enfriamiento láser se para en el retroceso porque los fotones tienen grano; la evaporación no tiene grano, y por eso los récords publicados están hoy en decenas de picokelvin —38 pK en un experimento en caída libre en 2021—, sesenta mil veces por debajo del límite de retroceso en el que la luz se para. La segunda lección es sobre el coste real: como , cortar más alto ( grande) es mucho más eficiente, pero entonces se escapan menos átomos por segundo y todo el proceso tarda más. La evaporación es una carrera contra la vida de la trampa, y ésa es la razón de que un condensado tarde entre diez y treinta segundos en hacerse y no un microsegundo.
Para qué sirve un gas así
El condensado fue el titular —Cornell y Wieman con rubidio en junio de 1995, Ketterle con sodio en septiembre, Nobel compartido en 2001—, pero la aplicación cotidiana de todo esto es más prosaica y mucho más extendida: un átomo frío es un átomo que se queda quieto el tiempo suficiente para preguntarle algo.
- Relojes. Es la conexión con el artículo 03. Un reloj óptico de red sujeta miles de átomos de estroncio en los pozos de una red de luz de 813,4 nm, elegida porque a esa longitud de onda «mágica» la red desplaza igual los dos niveles del reloj y la transición no se entera de que el átomo está atrapado. Con eso se interroga durante segundos a un átomo que no se mueve, y salen los 2 × 10⁻¹⁸ de exactitud.
- Interferómetros y gravímetros. A 293 K la onda de un átomo de sodio mide 21 pm y no hay forma de partirla y volverla a juntar; a 100 nK mide 1,15 µm, cincuenta y cuatro mil veces más, y ya se puede hacer con ella lo que se hace con la luz. Los gravímetros atómicos que se usan hoy en prospección geofísica y en vulcanología miden dejando caer una nube fría y contando franjas de interferencia.
- Simulación cuántica. Un gas frío en una red óptica es un cristal artificial cuyos parámetros —la profundidad de los pozos, la interacción entre átomos— se controlan con un mando. Se usa para reproducir modelos de materia condensada que nadie sabe resolver, con la ventaja de que aquí se ve el resultado átomo a átomo.
- Matrices de átomos individuales. Con pinzas ópticas se coloca un átomo por pinza, en rejillas de cientos, y se les hace interactuar a distancia excitándolos a estados muy grandes. Es una de las líneas serias de computación cuántica de la década de 2020, y desciende en línea recta de la melaza del artículo 02.
Un condensado no es el estado de mínima energía de esos átomos: es un estado prestado. A dos microkelvin, el verdadero mínimo del sodio no es un gas cuántico sino un trocito de metal sólido, y la naturaleza lo sabe. Lo que impide que el gas se convierta en él es que para formar una molécula hacen falta tres átomos —dos que se unan y un tercero que se lleve la energía sobrante—, y una colisión de tres cuerpos es rarísima en un gas 167 000 veces más tenue que el aire. Ésa es la razón profunda de que estos experimentos trabajen a densidades tan ridículas: no por elegancia, sino porque a densidades normales el condensado se congelaría antes de existir. La consecuencia es que un condensado tiene vida finita —de segundos a algún minuto, según lo bueno que sea el vacío— y que se mide su decaimiento como quien mide una desintegración radiactiva. Merece la pena decirlo sin adornos, porque la divulgación suele presentar el condensado como «el quinto estado de la materia», una expresión que sugiere permanencia: lo que hay es un estado metaestable cuidadosamente aislado, mantenido por la escasez de encuentros, en una cámara con menos moléculas residuales que el espacio interplanetario.
Ejercicios
Un condensado esférico de 20 µm de radio a 1,5 × 10¹⁴ cm⁻³. ¿Cuántos átomos tiene y cuánto pesa? Compara la cifra con el número de moléculas de aire en ese mismo volumen.
Solución
El volumen es m³, así que hay 5,0 × 10⁶ átomos, con una masa total de kg: 0,19 femtogramos. En ese mismo volumen, el aire de la habitación tendría 8,4 × 10¹¹ moléculas — 167 000 veces más.
La segunda lección es que esto obliga a reconsiderar qué significa «denso» en física cuántica: lo que hace cuántico a un gas no es que los átomos estén apretados, sino que sus ondas sean grandes. Un condensado es el gas más diluido con el que se trabaja en un laboratorio y a la vez el más cuántico, mientras que el aire, con cien mil veces más átomos por centímetro cúbico, es clásico hasta el aburrimiento. La misma idea explica por qué los electrones de un metal son un gas degenerado a temperatura ambiente y los átomos del mismo metal no lo son: es la masa la que decide el tamaño de la onda, y un electrón pesa cuarenta y dos mil veces menos que un sodio.
¿Por qué hay que apagar todos los láseres antes de evaporar? Calcula qué le hace a una nube de 100 nK un solo fotón dispersado por átomo.
Solución
A 100 nK, la velocidad cuadrática media de un átomo de sodio en una dirección es mm/s. Un solo retroceso vale 29,5 mm/s, cinco veces más, y como la energía va con el cuadrado, un solo retroceso equivale a una temperatura de 2,40 µK —el límite de retroceso del artículo 02—, es decir veinticuatro veces la energía térmica de la nube. Un fotón por átomo y el condensado ha desaparecido.
La segunda lección es la que ordena el diseño de todo el aparato: por debajo del límite de retroceso, la luz es un accidente. Cualquier fotón que llegue a la nube —de una fuga en un obturador, de un reflejo, de la propia luz ambiente si la longitud de onda coincide— la destruye. Por eso las trampas de la última etapa son magnéticas o de luz muy desintonizada (donde el átomo casi no absorbe pero sí siente el potencial), y por eso la fotografía final se hace después de soltar el condensado: la imagen se toma iluminándolo, y la iluminación lo mata. Todas las fotos de condensados que has visto son fotos de un condensado en su último instante.
La tabla de arriba dice que la trampa magnética comprimida empeora la densidad en el espacio de fases. Si es así, ¿por qué se comprime?
Solución
Porque lo que hace falta para evaporar no es sino colisiones: la evaporación sólo funciona si los átomos que quedan se reparten la energía entre ellos, y eso exige que choquen muchas veces —del orden de cien— entre dos recortes del borde de la trampa. La tasa de colisiones va como , así que multiplicar la densidad por diez a costa de calentar un factor ocho sube las colisiones por 28. Se paga y se compra velocidad de proceso.
La segunda lección es que en toda cadena de enfriamiento hay dos relojes corriendo: el de la evaporación y el de la vida de la trampa, que en un vacío bueno son unos cien segundos antes de que una molécula residual se lleve un átomo por delante. Si la evaporación es demasiado lenta, se pierde la nube por el camino y no se condensa nunca, por bien planteada que esté la termodinámica. Comprimir es cambiar una magnitud conservada por tiempo, y es la clase de decisión que no aparece en ninguna fórmula del proceso.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para resolver un problema del módulo sin volver al texto: la primera fila trae las constantes y las dos siguientes, los datos de los dos átomos que se usan de principio a fin.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Constantes del módulo | h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s · ħ = 1,055 × 10⁻³⁴ J·s · kB = 1,381 × 10⁻²³ J/K · c = 2,998 × 10⁸ m/s · u = 1,661 × 10⁻²⁷ kg · µB/h = 13,996 GHz/T · g = 9,807 m/s² | General |
| El sodio, de principio a fin | m = 22,990 u = 3,818 × 10⁻²⁶ kg · D2 en 589,16 nm (vacío) · Γ/2π = 9,79 MHz · τ = 16,25 ns · Isat = 6,26 mW/cm² | art. 01-02 |
| El cesio, de principio a fin | m = 132,905 u · D2 en 852,35 nm · Γ/2π = 5,22 MHz · Isat = 1,10 mW/cm² · Δνhf = 9 192 631 770 Hz | art. 02-03 |
| Estimulada frente a espontánea | n̄ = 1/(ehν/kBT − 1); 261 a 23,87 GHz y 4,4 × 10⁻³⁶ a 589 nm, ambos a 300 K | art. 01 |
| Coeficientes de Einstein | A/B = 8πhν³/c³ y g₁B₁₂ = g₂B₂₁ | art. 01 |
| Dónde empatan | hν = kBT·ln 2; 69 µm a 300 K, 7,6 mm a 2,725 K | art. 01 |
| Anchura natural | Γ = 1/τ; en el sodio 9,79 MHz, una parte en 5,2 × 10⁷ | art. 01 |
| Población térmica | N₂/N₁ = (g₂/g₁)e−ΔE/kBT; sodio a 300 K, 1,3 × 10⁻³⁵; tope T → ∞: g₂/g₁ = 3 | art. 01 |
| Condición de ganancia | N₂/g₂ > N₁/g₁, imposible con T > 0: exige temperatura negativa | art. 01 |
| Radiancia | L = P/(AΩ); Sol 2,0 × 10⁷, puntero de 1 mW 4,1 × 10⁸ W·m⁻²·sr⁻¹; ninguna óptica la aumenta | art. 01 |
| Velocidad de retroceso | vr = h/mλ; Na 2,95 cm/s · Cs 0,352 cm/s | art. 02 |
| Tasa de dispersión | R = (Γ/2)·s₀/(1 + s₀ + 4δ²/Γ²); techo Γ/2 = 3,08 × 10⁷ s⁻¹ en el sodio | art. 02 |
| Fuerza y frenado máximos | F = ħkΓ/2 = 3,46 × 10⁻²⁰ N; a = 9,07 × 10⁵ m/s² = 92 400 g (sodio) | art. 02 |
| Cuánto cuesta parar un átomo | N = v/vr fotones, L = v²/2a; sodio a 500 m/s → 17 000 fotones, 13,8 cm, 0,55 ms | art. 02 |
| Intensidad de saturación | Isat = πhcΓ/3λ³ | art. 02 |
| Doppler y compensación Zeeman | Δν = v/λ = 1,70 MHz por m/s (Na); B = hΔν/µB; 1000 m/s → 1697 MHz y 1213 G | art. 02 |
| Melaza: temperatura de equilibrio | kBT = (ħΓ/8)(1 + 2s₀ + (2δ/Γ)²)/(|δ|/Γ) | art. 02 |
| Límite Doppler | TD = ħΓ/2kB; Na 235 µK (29 cm/s) · Cs 125 µK | art. 02 |
| Límite de retroceso | Tr = mvr²/kB; Na 2,40 µK · Cs 0,198 µK | art. 02 |
| Sub-Doppler | Sísifo baja un orden más: melaza de sodio medida a 43 µK en 1988 | art. 02 |
| Trampa magneto-óptica | Melaza + cuadrupolo; 10 G/cm → 14,0 MHz (1,4 Γ) a 1 cm del centro | art. 02 |
| El segundo | Δν(¹³³Cs) = 9 192 631 770 Hz exacto; 3,26 cm, 38,0 µeV, 0,441 K | art. 03 |
| Ramsey | Δν = 1/2T; haz de 5 ms → 100 Hz · fuente de 0,5 s → 1 Hz (lanzamiento a 30,6 cm) | art. 03 |
| Factor de calidad | Q = ν/Δν; cuarzo 10⁵ · haz de Cs 9,2 × 10⁷ · fuente 9,2 × 10⁹ · Sr óptico 4,3 × 10¹⁴ | art. 03 |
| Estabilidad y exactitud | σy(τ) = σy(1 s)/√τ con suelo en la exactitud; fuente de Cs: 26 días hasta 10⁻¹⁶ | art. 03 |
| Reloj óptico | ⁸⁷Sr en 429 228 004 229 873,0 Hz (698,4 nm); exactitud 2 × 10⁻¹⁸; red mágica en 813,4 nm | art. 03-04 |
| Corrimiento gravitatorio | Δf/f = gh/c² = 1,09 × 10⁻¹⁸ por centímetro de altura | art. 03 |
| GPS | a = 26 562 km, v = 3874 m/s; −7,21 y +45,7 → +38,5 µs/día = 11,5 km/día | art. 03 |
| Cuerpo negro en un reloj de cesio | Δν/ν = −1,71 × 10⁻¹⁴·(T/300 K)⁴; hay que conocer T a ±0,44 K | art. 03 |
| Longitud de onda térmica | λ = h/√(2πmkBT); sodio: 21 pm a 293 K · 259 nm a 1,97 µK · 1,15 µm a 100 nK | art. 04 |
| Densidad en el espacio de fases | D = nλ³; MOT 4,8 × 10⁻⁷ · condensado 2,612; comprimir no la sube | art. 04 |
| Condensación de Bose-Einstein | nλ³ = 2,612 ⇒ Tc = (2πħ²/mkB)(n/2,612)^(2/3); Na a 1,5 × 10¹⁴ cm⁻³ → 1,97 µK | art. 04 |
| Evaporación | D ∝ N−γ con γ = η − 4 ≈ 2; ganar 5,4 × 10⁶ cuesta tirar el 99,96 % de los átomos | art. 04 |
Fin del módulo I.4. Con esto ya sabes qué le pide un láser a un átomo —una inversión de población, que el equilibrio térmico no puede dar—, por qué la frontera entre la emisión espontánea y la estimulada cae en 69 µm y no en ningún sitio que dependa de la sustancia, cómo se para un átomo con 17 000 empujones de 2,95 cm/s, dónde está el suelo de ese método y por qué resultó no serlo, cómo se convierte un salto de 38 microelectronvoltios en la unidad de tiempo del SI, y cómo se llega desde un horno a 600 K hasta un gas a dos millonésimas de kelvin en el que los átomos dejan de poder distinguirse. Los tres módulos anteriores describían el átomo; éste es el primero en el que se le manda. Lo que falta es que dejen de estar solos. Todo este módulo trata a un átomo aislado, con dos niveles y una transición cíclica limpia; una molécula no tiene nada de eso — vibra, gira, y sus niveles se cuentan por millares, de modo que ninguna luz la devuelve al estado del que salió y las técnicas del artículo 02 dejan de funcionar tal cual. El módulo I.5 empieza justo ahí: por qué dos átomos se pegan y a qué distancia exactamente, qué forma toman las moléculas, y qué significa que el CO₂ y el vapor de agua absorban en el infrarrojo — que es, con los números delante, de lo que trata el efecto invernadero.