El mol, o cómo contar con una balanza

Un vaso de agua de 250 g contiene 8,36 × 10²⁴ moléculas y 2,51 × 10²⁵ átomos. Nadie las ha contado. Se han pesado, y el puente entre las dos cosas es el mol: la unidad que convierte una lectura de balanza en un número de partículas. Contar esas moléculas de una en una, a una por segundo, llevaría 2,6 × 10¹⁷ años, veinte millones de veces la edad del universo. Por eso se pesan.

Prerrequisitos: del artículo 01 de este módulo, el peso atómico y por qué es un promedio; del 02, que ese promedio se puede medir. De fuera, nada. Aquí no hay más matemáticas que una regla de tres, y ése es exactamente el motivo por el que el mol es una idea tan buena.

Contar pesando

Un mol es una cantidad de cosas, como una docena. Desde el 20 de mayo de 2019 su definición es una frase y un número exacto: un mol contiene exactamente 6,022 140 76 × 10²³ entidades elementales. Ese número es la constante de Avogadro, y no tiene incertidumbre porque ya no se mide: se ha fijado, igual que la velocidad de la luz.

Lo que convierte esa definición en una herramienta es la masa molar: la masa de un mol de una sustancia, en gramos, es numéricamente su peso atómico o molecular. El agua pesa 18,015 g por mol porque sus átomos pesan 18,015 u de media; el cobre, 63,546 g por mol. La cuenta es entonces una regla de tres, y de ahí sale el vaso del principio:

N = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{250\ \text{g}}{18{,}015\ \text{g/mol}} \times 6{,}022\times10^{23} = 8{,}36\times10^{24}.

Merece la pena ver por qué funciona esa coincidencia entre gramos y unidades de masa atómica, porque no es magia: es cómo se eligió el tamaño del mol. La unidad de masa atómica unificada se definió como la doceava parte de la masa de un átomo de carbono-12, y el mol se definió —hasta 2019— como el número de átomos que hay en 12 gramos de carbono-12. Con esas dos definiciones encadenadas, la masa de un mol en gramos sale igual al peso atómico en u por construcción, no por casualidad.

Ejemplo resuelto 1 · Cuántos átomos hay en una moneda, y con qué error

Problema. Pesas 1,000 g de cobre en una balanza que aprecia 0,1 mg. ¿Cuántos átomos tienes, y con qué incertidumbre?

Solución. Con $M = 63{,}546$ g/mol,

N = \frac{1{,}000}{63{,}546} \times 6{,}022\,140\,76\times10^{23} = 9{,}477\times10^{21}\ \text{átomos}.

La incertidumbre de la balanza es de una parte en diez mil, así que $\Delta N = 9{,}48\times10^{17}$ átomos, o 1,57 µmol.

Resultado. Nueve mil cuatrocientos setenta y siete trillones de átomos, conocidos con un error de 950 000 billones de átomos — que suena escandaloso hasta que uno se da cuenta de que es una parte en diez mil. La segunda lección es dónde está ahora la incertidumbre. Antes de 2019 esta cuenta arrastraba el error de $N_A$ ; hoy $N_A$ es exacto y lo único que limita el resultado es la balanza… y el peso atómico. En el cobre eso da igual, pero si la muestra fuese de boro, cuyo peso atómico IUPAC declara con 1388 ppm de anchura, el número de átomos quedaría determinado catorce veces peor que con esta misma balanza. La composición isotópica de tu muestra ha pasado a ser el eslabón débil.

Un número que no cabe en la imaginación

Conviene una calibración honesta de $N_A$ , porque las comparaciones habituales son malas. No basta con decir «muchísimo»: hay que ponerlo al lado de cosas que también sean enormes y ver que sigue ganando.

Contando. A un átomo por segundo, un mol tarda $1{,}91\times10^{16}$ años: un millón cuatrocientas mil veces la edad del universo. A mil millones por segundo, aún tarda 19 millones de años.
En volumen. Un mol de granos de arena de medio milímetro ocupa $6{,}2\times10^{13}$ m³ apilados como se apila la arena. Extendido sobre España entera, la capa mide 122 metros de espesor.
En agua. En todos los océanos del planeta hay $7{,}5\times10^{22}$ moles de agua. Es decir: los océanos no llegan a un mol de moles — se quedan en 0,12.
Y sin embargo cabe en una cucharada. Un mol de agua son 18 mL. Un mol de gas, a 0 °C y una atmósfera, ocupa 22,414 litros: una caja de 28 cm de lado.

Ese último dato es más antiguo que la propia constante y fue el primer indicio serio de su tamaño. Si un volumen dado de cualquier gas contiene el mismo número de moléculas —la hipótesis de Avogadro, de 1811—, basta con estimar el tamaño de una molécula para contarlas. Josef Loschmidt lo hizo en 1865 combinando el recorrido libre medio de un gas con el volumen del líquido, y obtuvo el primer número de moléculas por metro cúbico de gas; hoy esa cantidad se llama constante de Loschmidt y vale, exactamente, $2{,}686\,78\times10^{25}$ m⁻³. En los países germánicos el número de Avogadro se sigue llamando, con justicia, número de Loschmidt.

Ejemplo resuelto 2 · El último aliento de Julio César

Problema. La atmósfera pesa $5{,}15\times10^{18}$ kg y su masa molar media es 28,96 g/mol. Una respiración son 0,5 L a 37 °C y una atmósfera de presión. Si el último aliento de César se hubiese repartido uniformemente por todo el aire del planeta, ¿cuántas de aquellas moléculas hay en la respiración que acabas de hacer?

Solución. La atmósfera contiene $(5{,}15\times10^{21}\ \text{g}/28{,}96) \times N_A = 1{,}07\times10^{44}$ moléculas. Una respiración, por la ley de los gases ideales, $n = pV/RT = 0{,}0196$ mol, es decir $1{,}18\times10^{22}$ moléculas. La fracción de la atmósfera que fue de César es $1{,}18\times10^{22}/1{,}07\times10^{44}$ , y hay que aplicarla a las moléculas que acabas de inhalar:

\frac{(1{,}18\times10^{22})^2}{1{,}07\times10^{44}} = 1{,}3\ \text{moléculas}.

Resultado. Una o dos. El resultado es famoso y la conclusión que suele sacarse —«respiras el aire de César»— es correcta sólo con letra pequeña, así que aquí va. La hipótesis fuerte no es la aritmética sino el reparto uniforme: mezclar la atmósfera entera lleva un par de años, lo cual está bien para dos mil, pero además hay que suponer que ninguna de aquellas moléculas ha desaparecido en veintiún siglos. Para el oxígeno y el CO₂ eso es sencillamente falso —los recicla la biosfera cada pocos años—, y para el vapor de agua, ridículo. La cuenta sólo se sostiene con el nitrógeno, que es inerte y es el 78 % del aire, y con el argón, que lo es todavía más. Rehecha sólo con nitrógeno da una molécula, y ahí sí es defendible. La segunda lección es metodológica y vale para todo el módulo: un número grande no valida un razonamiento — la cuenta era correcta desde el primer renglón y la física estaba mal hasta el último.

De dónde salió el número, y por qué ahora es exacto

Durante un siglo, medir $N_A$ fue una industria. Jean Perrin lo obtuvo hacia 1909 por media docena de caminos independientes —movimiento browniano, sedimentación, opalescencia crítica— y todos cayeron entre 6 y 7 × 10²³; que métodos sin nada en común coincidieran fue lo que acabó de convencer a los últimos escépticos de que los átomos existían, y le valió el Nobel en 1926. Después llegaron dos rutas de precisión.

La primera es electroquímica y es preciosa por lo directa. Si haces pasar una corriente por una disolución de plata, cada ion que se deposita ha necesitado exactamente un electrón, de modo que la carga total dividida por la carga del electrón es el número de átomos depositados. La carga por mol es la constante de Faraday, 96 485,332 12 C/mol, y entonces

N_A = F/e.

Depositar un gramo de plata cuesta 894,5 culombios, quince minutos a un amperio. Hoy esa igualdad es exacta por construcción — $F$ y $e$ lo son—, pero durante décadas fue una medida real y buena.

La segunda es la que acabó cerrando el asunto: contar los átomos de un cristal. Si conoces el parámetro de red del silicio, sabes cuántos átomos hay por metro cúbico —ocho por celda cúbica de 543,102 pm de arista, es decir $4{,}994\times10^{28}$ átomos por m³—, y comparando con su densidad y su masa molar sale la constante:

N_A = \frac{8M}{\rho\,a^3}.

Con los valores de manual del silicio natural esa fórmula da $6{,}0220\times10^{23}$ , a 22 ppm del valor exacto. La versión seria del experimento —el Proyecto Avogadro— llevó ese 22 ppm hasta dos partes en cien millones, y para eso hubo que fabricar la cosa redonda más perfecta jamás hecha: una esfera de silicio isotópicamente purificado de 93,7 mm de diámetro, un kilogramo justo, con $2{,}15\times10^{25}$ átomos dentro. Medir su volumen con esa precisión significa conocer su diámetro con un error de 0,62 nanómetros, que son menos de tres distancias entre átomos vecinos.

El 20 de mayo de 2019 todo eso cambió de sentido. En vez de medir $N_A$ en unidades del kilogramo patrón, el SI fijó $N_A$ —y $h$ , y $e$ , y $k_B$ — y dejó que fueran las unidades las que se dedujeran de ahí. La esfera de silicio no se ha jubilado: sigue siendo uno de los dos experimentos con los que se realiza el kilogramo, pero ahora el número que se mide es otro.

Doce gramos de carbono-12 ya no son exactamente un mol. Es la consecuencia más fina de la reforma de 2019 y casi nadie la ha notado. Antes, la definición del mol era «las entidades que hay en 12 g de carbono-12», así que la masa molar del carbono-12 valía 12 g/mol por decreto y sin error. Ahora el mol se define contando y la masa molar del carbono-12 ha pasado a ser una cantidad medida: vale 12,000 000 012 6 g/mol, que se aparta de 12 en 1,05 partes en mil millones. Lo mismo le pasa a la constante de masa molar, que era exactamente 1 g/mol y ahora vale 1,000 000 001 05 con una incertidumbre de 3 × 10⁻¹⁰. Para cualquier uso práctico —incluido pesar un reactivo con la mejor balanza del mundo— la diferencia es invisible: mil veces menor que la mejor medida de masa que se sabe hacer. Pero conceptualmente el cambio es total, y es el mismo que este módulo lleva contando desde el artículo 01: una unidad no debe apoyarse en ningún objeto, ni en un cilindro de París, ni en un elemento natural, ni en doce gramos de nada.

Ejercicios

Ejercicio 1

La esfera del Proyecto Avogadro mide 93,7 mm de diámetro y su volumen tiene que conocerse con dos partes en cien millones. Demuestra que eso obliga a medir el diámetro con 0,62 nm de error, y explica por qué el factor tres del razonamiento es la parte importante.

Solución

El volumen de una esfera va como $d^3$ , así que un error relativo $\varepsilon$ en el diámetro produce $3\varepsilon$ en el volumen. Para $3\varepsilon = 2\times10^{-8}$ hace falta $\varepsilon = 6{,}7\times10^{-9}$ , y sobre 93,7 mm eso son 0,62 nm. La segunda lección es que ese factor tres es la razón de que el experimento sea tan difícil: toda magnitud que entre al cubo triplica su exigencia de precisión, y en esta fórmula entra al cubo dos veces, porque el parámetro de red también. Conocer $N_A$ a dos partes en $10^{8}$ exige el parámetro de red a $7\times10^{-9}$ , o sea 0,004 femtómetros: menos que el tamaño de un núcleo. Que se consiga es porque la interferometría de rayos X no mide una distancia entre dos átomos, sino la media sobre muchísimos planos — y promediar es la única forma conocida de medir por debajo del ruido.

Ejercicio 2

Un mol de agua ocupa 18 mL y un mol de aire, 22,4 L a 0 °C: mil doscientas cuarenta veces más. ¿Qué dice esa razón sobre la distancia entre moléculas en un gas y en un líquido?

Solución

Si el volumen por molécula es 1240 veces mayor, la distancia típica entre vecinas es la raíz cúbica de eso: 10,7 veces. En el agua líquida las moléculas están a unos 0,31 nm y en el aire, a unos 3,3 nm. La segunda lección es que ese factor diez es toda la diferencia entre un gas y un líquido, y explica de un golpe por qué un gas se comprime y un líquido no —en el gas hay sitio y en el líquido las moléculas ya se tocan—, por qué un gas se difunde deprisa y por qué la ley de los gases ideales funciona: a diez diámetros de distancia, las moléculas casi no se enteran unas de otras. También dice dónde deja de valer: comprime el gas diez veces y las dos escalas se juntan.

Ejercicio 3

Antes de 2019, $N_A$ se medía y el kilogramo era un cilindro guardado en Sèvres. Después, $N_A$ es exacto y el kilogramo se deduce. ¿Qué cantidad, que antes era exacta, ha pasado a tener incertidumbre? Y una pregunta más incómoda: ¿qué se ha ganado, si los números son los mismos hasta la novena cifra?

Solución

Han pasado a tener incertidumbre la masa del kilogramo patrón —que ahora es un objeto más, con su error— y la masa molar del carbono-12, que era 12 g/mol por definición y hoy es 12,000 000 012 6(37) g/mol. Lo que se gana no se ve en las cifras de hoy, sino en las de mañana: un patrón material se raya, se contamina y deriva —los testigos oficiales del kilogramo se separaron unos 50 µg del prototipo en un siglo, y no había forma de saber cuál de ellos había cambiado—, mientras que una definición basada en constantes se puede realizar en cualquier laboratorio del mundo y en cualquier momento, con la precisión que permita la tecnología del día. La segunda lección es que una definición no es una medida: es una elección sobre qué se declara exacto. El error total no desaparece nunca, se muda — antes vivía en $N_A$ y ahora vive en el aparato con el que realizas el kilogramo.