En un gramo de carbono de un ser vivo hay 5,86 × 10¹⁰ átomos de : uno por cada 855 000 millones de átomos de carbono. De esos, se desintegran 13,56 por minuto, y cuando el ser vivo muere deja de reponerlos. Contar esas trece desintegraciones —o, mejor, contar directamente los átomos que quedan— es todo lo que hay detrás de una fecha de radiocarbono. Este artículo trata de las dos cosas que se hacen con los isótopos una vez que se saben pesar: leerlos como un reloj y separarlos.
Mientras un ser vivo respira, su carbono lleva la misma proporción de ¹⁴C que el aire. Al morir deja de reponerlo y empieza la cuenta atrás: la mitad cada 5700 años. El panel calcula lo que quedaría en tu muestra a la edad elegida y —esto es lo que decide si una fecha vale— cuántas cuentas registraría cada método y con qué error en años.
Contando desintegraciones de 1.00 g de carbono durante 24 h se registran 9763 cuentas, y la estadística sola ya deja la fecha en ±83 años. Es el método de Libby, y su problema no es la física sino la aritmética: de los 2,93 × 10¹⁰ átomos de ¹⁴C que hay ahí dentro, en todo el recuento se desintegra 3,3 × 10⁻⁵ % — el resto sigue esperando su turno durante miles de años.
A los 5700 años queda el 50.000 % del ¹⁴C inicial, o sea un átomo de ¹⁴C por cada 1,71 × 10¹² de carbono. El método se acaba donde la muestra deja de distinguirse del fondo del laboratorio: si al preparar la muestra se le cuela un 1 % de carbono moderno, la edad medida nunca podrá pasar de 37 870 años, tenga la muestra la edad que tenga. Por eso el límite práctico del radiocarbono anda por los 50 000 años y no lo arreglan ni un detector mejor ni más paciencia: lo pone la química de la preparación.
Un reloj que arranca al morir
El no debería existir. Es inestable: se convierte en por desintegración beta, con un periodo de semidesintegración de 5700 ± 30 años, de modo que cualquier átomo de presente en la formación de la Tierra desapareció hace muchísimo. Y sin embargo lo hay, porque se fabrica sin parar: los rayos cósmicos arrancan neutrones en la alta atmósfera y esos neutrones convierten nitrógeno en carbono-14. Producción y desintegración se equilibran, y el resultado es una atmósfera con una proporción de aproximadamente constante: es lo que hace posible la datación por radiocarbono.
Todo ser vivo intercambia carbono con esa atmósfera —directamente, si respira CO₂; a través de lo que come, si no— y por eso lleva la misma proporción. Cuando muere, el intercambio se corta y la proporción empieza a bajar según la ley de la desintegración: la mitad cada 5700 años, siempre, sin importar la temperatura, la presión ni la química del entorno. Un núcleo no envejece: la probabilidad de que se desintegre en el próximo minuto es la misma tenga un día o diez mil años.
| Años transcurridos | Semividas | ¹⁴C que queda | ¹⁴C en 1 g de carbono | Actividad |
|---|---|---|---|---|
| 0 (vivo) | 0 | 100 % | 5,86 × 10¹⁰ | 0,226 Bq |
| 5700 | 1 | 50,0 % | 2,93 × 10¹⁰ | 0,113 Bq |
| 11 400 | 2 | 25,0 % | 1,47 × 10¹⁰ | 0,057 Bq |
| 20 000 | 3,51 | 8,79 % | 5,15 × 10⁹ | 0,020 Bq |
| 30 000 | 5,26 | 2,60 % | 1,53 × 10⁹ | 0,0059 Bq |
| 40 000 | 7,02 | 0,772 % | 4,53 × 10⁸ | 0,0017 Bq |
| 50 000 | 8,77 | 0,229 % | 1,34 × 10⁸ | 0,00052 Bq |
La tabla ya contiene el problema del método. A los 40 000 años quedan cuatrocientos cincuenta millones de átomos de en cada gramo —una barbaridad— pero su actividad es de 0,0017 becquerelios: una desintegración cada diez minutos. Contando durante un día entero se recogen ciento cincuenta cuentas, y la estadística de Poisson —el error de un recuento es su raíz cuadrada— convierte eso en ±670 años de incertidumbre. El método de Libby se estrella no contra la física, sino contra la paciencia: casi todo el de la muestra sigue ahí, esperando turno durante milenios.
La solución fue dejar de esperar. Un espectrómetro de masas con acelerador ioniza la muestra y cuenta los átomos de uno a uno, con la maquinaria del artículo 02 llevada al extremo para eliminar dos interferencias temibles: el , que pesa casi lo mismo, y las moléculas y , que pesan 14 también. Con una eficiencia global del 1 % —conservadora—, un miligramo de una muestra de 40 000 años da 4500 cuentas y una incertidumbre de ±120 años. Mil veces menos muestra y cinco veces mejor precisión: por eso hoy se data un hilo de un tapiz en vez de quemar el tapiz.
Problema. Si el AMS cuenta átomos y a los 50 000 años todavía quedan por gramo, ¿por qué no se datan muestras de 100 000 años con una muestra un poco mayor?
Solución. Porque el límite no lo pone el detector, lo pone la contaminación. Preparar una muestra —limpiarla, quemarla, grafitizarla— introduce inevitablemente algo de carbono moderno. Supón que ese carbono intruso es el 1 % del total. Entonces la muestra nunca puede medirse por debajo de , y la edad que sale de esa fracción es
Resultado. Con un 1 % de contaminación moderna, todo lo más viejo que 37 900 años da la misma fecha: la del contaminante. Bajar la contaminación al 0,1 % lleva el techo a 56 800 años, y al 0,01 % a 75 700 — cada factor diez en limpieza compra unos 19 000 años. La segunda lección es la que más se olvida al leer una fecha publicada: el límite de una técnica suele estar en la preparación de la muestra y no en el instrumento. Comprar un detector mejor no arregla un blanco sucio, y por eso los laboratorios de radiocarbono son, antes que nada, laboratorios de química analítica obsesiva.
La letra pequeña de una fecha
Tres advertencias que separan una fecha de radiocarbono de un dato de calendario, y las tres tienen número.
El periodo que se usa está mal a propósito. Libby midió 5568 años, y el valor correcto es 5700. Las fechas «convencionales» de radiocarbono se siguen publicando con los 5568 de Libby para que toda la literatura sea comparable: una muestra de 5700 años de edad verdadera se publica como 5568 BP, con un sesgo de 132 años que la calibración deshace después. Una fecha de radiocarbono sin calibrar no es una fecha, es una medida.
La proporción atmosférica no ha sido constante. La producción de depende del flujo de rayos cósmicos, que depende del campo magnético terrestre y de la actividad solar. Por eso las fechas se calibran contra archivos que se cuentan de uno en uno —anillos de árboles, año a año hasta más de doce mil años atrás, y corales y sedimentos laminados más allá—, y la curva de calibración internacional se revisa cada pocos años. En algunos tramos la curva es plana y una misma medida es compatible con dos o tres siglos distintos: no es un fallo del laboratorio, es la atmósfera de la época.
Y el siglo XX ha estropeado y regalado el método a la vez. Quemar carbón y petróleo —carbono fósil, sin nada de — ha diluido la proporción atmosférica: es el efecto Suess, y hace que una planta actual parezca artificialmente vieja. Y en sentido contrario, las pruebas nucleares atmosféricas de los años cincuenta y sesenta casi duplicaron el del aire, con un máximo en 1963 que ha ido bajando desde entonces —no por desintegración, que a esa escala no hace nada, sino porque el océano y la biosfera se lo van llevando—. Ese pico artificial es un regalo forense: cualquier tejido formado después de 1955 se puede fechar con precisión de uno o dos años mirando dónde cae en la curva del pico, y con eso se ha medido, por ejemplo, la edad de las neuronas de una persona.
Separar isótopos: lo que la química no puede hacer
Leer isótopos es barato. Cambiar su proporción es otra cosa, y la razón es precisamente lo que dijo el artículo 01: los isótopos de un elemento tienen la misma química. No hay reactivo, ni disolvente, ni columna que distinga un de un , porque los dos tienen 92 electrones colocados igual. Lo único que los diferencia es la masa, y la diferencia relativa es minúscula.
| Pareja | Diferencia de masa relativa | Qué método funciona |
|---|---|---|
| ²³⁵UF₆ / ²³⁸UF₆ | 0,85 % | difusión o centrifugado, en cascada |
| ¹²C / ¹³C | 8,4 % | intercambio químico, destilación |
| H₂O / D₂O | 11,2 % | intercambio químico: la química sí llega |
Para el uranio hay que recurrir a la física del movimiento. El primer método industrial fue la difusión gaseosa: se pasa hexafluoruro de uranio gaseoso por una barrera porosa, y como a la misma temperatura las moléculas ligeras van más deprisa, atraviesan un poco más. El factor de separación de una etapa es , y con las masas del artículo 02 —349,034 y 352,041—
Cuatro décimas de tanto por ciento por etapa. Para pasar del 0,72 % natural al 3,5 % de un reactor hacen falta 375 etapas ideales, y para llegar al 90 %, 1661 — con bombas, compresores y refrigeración en cada una, y el gas dando vueltas en cascada durante semanas antes de que salga nada.
La centrifugadora cambió las cifras. Al girar el gas a gran velocidad, las moléculas pesadas se acumulan hacia la pared y el factor de separación es , que depende de la diferencia de masas y no de su cociente. A 500 m/s de velocidad periférica y 320 K sale : una sola máquina hace el trabajo de 33 etapas de difusión, y bastan once para llegar al 3,5 % y cincuenta para el 90 %. Ésa es la razón técnica de que la difusión gaseosa esté hoy desmantelada en todo el mundo y de que el control de la proliferación consista, en la práctica, en contar centrifugadoras.
Problema. Para el uranio, una centrifugadora bate a la difusión por un factor 33 en trabajo por etapa. ¿Qué pasa si el objetivo es separar hidrógeno de deuterio, es decir H₂ (2,0157 u) de HD (3,0219 u)?
Solución. Por difusión, . Por centrifugado a las mismas 500 m/s y 320 K, g/mol da
Resultado. La difusión gana, y por mucho: 22,4 % por etapa frente a 4,8 %. El resultado se invierte respecto del uranio, y la razón está en las fórmulas. El factor de la difusión depende del cociente de masas, que en el hidrógeno es enorme y en el uranio es casi 1; el del centrifugado depende de la diferencia, que en el hidrógeno es de 1 g/mol y en el UF₆ de 3. La segunda lección es una regla que se usa a diario en el diseño de separaciones: la centrifugación gana con los elementos pesados y la pierde con los ligeros, y por eso el agua pesada no se hace ni centrifugando ni difundiendo, sino con reacciones químicas de intercambio — con el deuterio, la química sí distingue, porque un 11 % de diferencia de masa cambia de verdad las velocidades de reacción.
La Tierra joven tenía uranio enriquecido por todas partes. El se desintegra con un periodo de 704 millones de años y el con 4468: el ligero desaparece seis veces más deprisa, así que la mezcla se ha ido empobreciendo sola. Rebobinando desde el 0,72 % de hoy, hace 4540 millones de años el uranio natural era un 24 % de —muy por encima del 20 % que hoy se considera material de uso directo en un arma— y hace 1700 millones de años todavía andaba por el 2,9 %, que es justo el enriquecimiento de un reactor comercial. Y eso no es una especulación: en Oklo, en Gabón, hay dieciséis zonas de mineral que funcionaron como reactores nucleares naturales hace unos 1700 millones de años, moderados por el agua subterránea, durante unos cientos de miles de años. Se descubrieron en 1972 porque una muestra de mineral llegó a una planta francesa de enriquecimiento con un 0,717 % de en vez del 0,720 % universal, y a alguien le pareció que faltaba demasiado uranio. Toda esta historia se reconstruyó a partir de una anomalía de tres milésimas de tanto por ciento en un espectrómetro de masas: es el mejor argumento posible a favor de medir bien.
Ejercicios
En el interactivo, pon 20 000 años y compara los dos métodos con la misma muestra de 1 g: contar desintegraciones durante 24 horas frente a contar átomos con un AMS. ¿Por qué la diferencia es tan brutal, si el número de átomos de es el mismo en los dos casos?
Solución
Porque el recuento de desintegraciones sólo ve la fracción de átomos que decide desintegrarse durante la medida, y esa fracción es : en 24 horas, , una tercera parte de una millonésima. De los átomos de ¹⁴C que hay en el gramo, se cuentan 1715. El AMS, con una eficiencia del 1 %, cuenta : treinta mil veces más, aunque su eficiencia parezca ridícula. La segunda lección es general y vale para cualquier técnica basada en sucesos raros: medir un decaimiento es una carrera contra la vida media, y detectar la partícula intacta la evita por completo. Es exactamente el mismo salto que separa la búsqueda de neutrinos por su desintegración de su detección directa, o el recuento de bacterias en placa de la citometría.
Un laboratorio publica que una muestra tiene el 52,5 % de su original. Calcula su edad. (Es la de Ötzi, el hombre de hielo hallado en los Alpes.) ¿Qué precisión relativa en la medida de la fracción hace falta para dar la fecha con ±100 años?
Solución
La edad sale de con años: años. Para la precisión, como depende del logaritmo de , un error relativo en la fracción produce años de error: para ±100 años hace falta . La segunda lección es que ese 1,2 % es independiente de la edad —la misma precisión relativa da los mismos años de error a los 1000 y a los 40 000—, y por eso lo que limita las fechas antiguas no es la fórmula sino conseguir ese 1,2 % cuando quedan cuatro cuentas por hora. Con la muestra de Ötzi, en cambio, el 1,2 % es fácil: el problema pasa a ser la calibración de la curva atmosférica, que en ese tramo vale más años de incertidumbre que la propia medida.
Las esferas del Proyecto Avogadro del artículo 03 no son de silicio natural, sino de enriquecido al 99,99 %, separado en una cascada de centrifugadoras de las que se usan para el uranio. ¿Por qué hizo falta esa purificación, si el silicio natural también tiene una masa molar perfectamente conocida?
Solución
Porque la fórmula necesita la masa molar de esa esfera, no la del silicio en general, y el silicio natural es una mezcla de tres isótopos cuya proporción varía de una muestra a otra. Medir esa proporción con la precisión de que exige el experimento era, con un material de tres componentes, el eslabón más débil de toda la cadena. Con un material que es al 99,99 %, la masa molar es casi la de un núclido puro y lo poco que queda de los otros dos se mide como una impureza pequeña, donde un error relativo grande sigue siendo un error absoluto minúsculo. La segunda lección cierra el círculo del módulo: para definir el kilogramo hubo que separar isótopos, es decir, la metrología más fina del mundo dependió de la misma tecnología que enriquece uranio — y de que alguien supiera pesar un átomo con once cifras.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse sin haber releído el módulo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Isótopo | Mismo Z, distinto N; misma química, distinta masa. Cl: 17 p con 18 o 20 n | art. 01 |
| Unidad de masa atómica | 1 u = m(¹²C)/12 = 1,660 539 × 10⁻²⁷ kg = 931,494 MeV/c² | art. 01 |
| Peso atómico | Σximi; Cl 35,4529 u de 75,76 % ³⁵Cl (34,968 85) y 24,24 % ³⁷Cl (36,965 90) | art. 01 |
| Masa de un átomo suelto | ³⁵Cl 5,807 × 10⁻²⁶ kg; en general m = M/NA | art. 01 |
| Defecto de masa | Δm = Z·m(¹H) + N·m(n) − M; ³⁵Cl 0,3201 u = 298,2 MeV | art. 01 |
| Enlace por nucleón | ²H 1,112 · ⁴He 7,074 · ¹²C 7,680 · ¹⁶O 7,976 · ⁵⁶Fe 8,790 · ⁶²Ni 8,794 (máx.) · ²³⁸U 7,570 MeV | art. 01 |
| Por qué la masa no es entera | Por debajo de A si B/A > 7,680 MeV (¹⁶O −0,032 %); por encima si menor (²³⁸U +0,021 %) | art. 01 |
| El hidrógeno y el neutrón | ¹H = 1,007 825 u (+0,78 %); el neutrón pesa un 0,138 % más que el protón | art. 01 |
| Intervalos de peso atómico | C [12,0096, 12,0116] (167 ppm) · B [10,806, 10,821] (1388 ppm) | art. 01 |
| Aceleración de un ion | v = √(2qV/m); ³⁵Cl⁺ a 3000 V → 128,7 km/s | art. 02 |
| Sector magnético | r = √(2mV/q)/B; ³⁵Cl a 3 kV y 0,5 T → 9,33 cm, impacto en 2r | art. 02 |
| Separación de dos isótopos | 2Δr = r·Δm/m; el cloro, 5,25 mm en esas condiciones | art. 02 |
| Resolución en masa | Exigida R = m/Δm; entregada R = r/w (w = rendija) | art. 02 |
| R típicas | ³⁵Cl/³⁷Cl 18 · UF₆ 117 · ²⁰Ne⁺/⁴⁰Ar²⁺ 1780 · CO/N₂ 2490 · CO₂/N₂O 3920 | art. 02 |
| Isóbaros | ¹²C¹⁶O 27,994 91 frente a ¹⁴N₂ 28,006 15: Δ = 0,011 23 u | art. 02 |
| Tiempo de vuelo | t = L√(m/2qV); 100 u en 1 m a 20 kV → 5,09 µs, y 25 ns por unidad de masa | art. 02 |
| Frecuencia de ciclotrón | f = qB/2πm, independiente de v; ³⁵Cl⁺ a 0,5 T → 219,6 kHz | art. 02 |
| Separar con un espectrómetro | 100 mA de U⁺ natural → 6,32 mg/h de ²³⁵U; 1156 máquinas-año por 64 kg | art. 02 |
| Mol | Exactamente 6,022 140 76 × 10²³ entidades desde 2019; NA no tiene error | art. 03 |
| Contar pesando | N = (m/M)·NA; 250 g de agua → 8,36 × 10²⁴ moléculas; 1 g de Cu → 9,48 × 10²¹ átomos | art. 03 |
| Masa molar del ¹²C | 12,000 000 012 6(37) g/mol: ya no es exacta, se aparta 1,05 × 10⁻⁹ | art. 03 |
| Volumen molar de un gas | 22,414 L a 0 °C y 1 atm; n₀ = 2,687 × 10²⁵ m⁻³ (Loschmidt) | art. 03 |
| Ruta electroquímica | NA = F/e con F = 96 485,332 12 C/mol; 1 g de plata = 894,5 C | art. 03 |
| Ruta del cristal (XRCD) | NA = 8M/(ρa³); a(Si) = 543,102 pm; esfera de 93,7 mm con 2,15 × 10²⁵ átomos | art. 03 |
| Carbono-14 | T½ = 5700 ± 30 a; λ = 3,853 × 10⁻¹² s⁻¹; τ = 1/λ = 8223 a | art. 04 |
| Carbono moderno | ¹⁴C/C = 1,17 × 10⁻¹²; 5,86 × 10¹⁰ átomos y 0,226 Bq (13,56 dpm) por gramo | art. 04 |
| Fechar | t = τ·ln(1/f); error σ = τ/√N cuentas, y σ/t no depende de la edad | art. 04 |
| Límite del radiocarbono | 50 000 a = 8,77 semividas (0,23 %); un 1 % de contaminación moderna lo baja a 37 900 a | art. 04 |
| Difusión gaseosa | α = √(m₂/m₁) = 1,004 30 en UF₆ → 375 etapas hasta el 3,5 %, 1661 hasta el 90 % | art. 04 |
| Centrifugado | α = exp(ΔMv²/2RT) = 1,152 a 500 m/s y 320 K → 11 etapas hasta el 3,5 % | art. 04 |
| Diferencias de masa relativas | UF₆ 0,85 % · ¹²C/¹³C 8,4 % · H₂O/D₂O 11,2 % (aquí la química ya llega) | art. 04 |
| Uranio a lo largo del tiempo | 24 % de ²³⁵U hace 4540 Ma · 2,9 % hace 1700 Ma (Oklo) · 0,72 % hoy | art. 04 |
Fin del módulo I.3. Con esto ya sabes de dónde sale el otro número del átomo, el que el módulo I.2 usaba sin explicar: la masa. Sabes por qué no es entera —una mezcla de isótopos por fuera, un defecto de masa por dentro—, cómo se mide sin balanza curvando iones en un campo, cómo se convierte una pesada en un número de átomos ahora que el mol es una definición y no una medida, y qué se hace después con todo eso: fechar un hueso con el carbono que le queda o separar los isótopos uno del otro cuando la química no puede. Lo que falta es el control. En todo el módulo el átomo ha sido un objeto pasivo al que se le arranca un electrón y se le lanza a 128 km/s contra un imán; nadie lo ha manipulado con delicadeza, ni le ha preguntado nada. El módulo I.4 construye la herramienta que lo cambia todo: luz de una sola frecuencia, tan bien definida que empuja un átomo un poquito cada vez —un fotón de sodio le comunica 2,95 cm/s, y hacen falta 17 000 para pararlo, un número que sólo se puede calcular sabiendo lo que pesa—. Con ella se define el segundo con los 9 192 631 770 saltos de un átomo de cesio-133, que no por casualidad es un elemento de un solo isótopo, y se enfría un gas hasta una millonésima de kelvin empujándolo con luz.