Las siete filas de la tabla periódica tienen 2, 8, 8, 18, 18, 32 y 32 elementos. Esos siete números no salen de un experimento: se cuentan, llenando subcapas en un orden determinado y metiendo exactamente dos electrones en cada orbital. Suman 118, que son exactamente los elementos que existen. Y el «dos» de «dos electrones» es el espín — sin él, las filas serían 1, 4, 4, 9, 9, 16, 16 y la química no se parecería en nada.
Un electrón por estado, y el espín duplica las plazas
En 1925 Pauli formuló la regla que ordena la tabla periódica entera y que en su enunciado no menciona ni la química ni los elementos: dos electrones de un átomo no pueden estar en el mismo estado cuántico. Es el principio de exclusión de Pauli, y vale para todos los fermiones: electrones, protones, neutrones, quarks.
Para contar plazas hace falta saber cuántas etiquetas distingue un estado. Los tres números del artículo 03 —, , — no bastan: hace falta un cuarto, el espín, que para el electrón tiene dos valores y nada más. Esa dualidad no es una convención: se ve directamente en el experimento de Stern y Gerlach de 1922, donde un haz de átomos atravesando un campo magnético no deforme se parte en dos haces limpios en vez de abrirse en un abanico continuo, que es lo que predecía la física clásica. Y el momento magnético asociado se mide hoy con doce cifras: el factor del electrón vale 2,002 319 304 4, uno de los números mejor conocidos de la física.
Con cuatro etiquetas, contar es aritmética. Cada valor de admite orientaciones y cada orientación, dos espines, de modo que una subcapa cabe electrones: 2 en una s, 6 en una p, 10 en una d, 14 en una f. Y una capa electrónica entera, sumando desde hasta , cabe : 2, 8, 18, 32.
El orden de llenado, y por qué el periodo 4 tiene dieciocho
Si las capas se llenaran por orden de , los periodos serían 2, 8, 18, 32 y el cuarto elemento después del neón sería ya un metal de transición. No es lo que pasa. El orden real lo describe la regla de Madelung: se llena antes la subcapa con menor, y a igualdad de , la de menor. Resultado:
1s · 2s · 2p · 3s · 3p · 4s · 3d · 4p · 5s · 4d · 5p · 6s · 4f · 5d · 6p · 7s · 5f · 6d · 7p
El 4s () se llena antes que el 3d () aunque su sea mayor, y de ahí sale que el cuarto periodo tenga dieciocho elementos en vez de ocho. La razón física es exactamente la del artículo 03: un orbital 4s penetra hasta muy adentro, donde ve la carga nuclear sin apantallar, y un 3d no penetra nada — el factor lo aplasta contra cero cerca del núcleo. Más penetración es más ligadura, y más ligadura es llenarse antes. La configuración electrónica de todos los elementos sale de ahí.
Con esa regla y la capacidad , las filas de la tabla se cuentan solas. La tabla de abajo no está escrita a mano: la genera el sitio al construirse, llenando subcapas.
| Periodo | Subcapas que se llenan | Elementos | Acaba en Z = |
|---|---|---|---|
| 1 | 1s | 2 | 2 · helio |
| 2 | 2s 2p | 8 | 10 · neón |
| 3 | 3s 3p | 8 | 18 · argón |
| 4 | 4s 3d 4p | 18 | 36 · criptón |
| 5 | 5s 4d 5p | 18 | 54 · xenón |
| 6 | 6s 4f 5d 6p | 32 | 86 · radón |
| 7 | 7s 5f 6d 7p | 32 | 118 · oganesón |
La última columna es la comprobación que convierte esto en física y no en contabilidad: los números atómicos donde acaba cada periodo son 2, 10, 18, 36, 54, 86 y 118, y ésos son exactamente los gases nobles. Nadie los ha metido a mano; salen de sumar plazas. Que la lista de los elementos químicamente inertes coincida con la lista de los que acaban de cerrar un bloque es la explicación de la tabla periódica, y cabe en una columna.
Y el contrafáctico, que se calcula igual de fácil: sin espín, con un solo electrón por orbital, los periodos serían 1, 4, 4, 9, 9, 16, 16. El helio no existiría como gas noble, el segundo periodo tendría cuatro elementos, no habría octeto y no habría química orgánica. Todo lo que sabemos de los enlaces depende de que un número entero pequeño valga 2 y no 1.
Ahora la parte honesta. La regla de Madelung es empírica, no un teorema: describe el orden observado, no lo deduce. Y falla en unos veinte elementos. El cromo es [Ar]3d⁵4s¹ en vez de 3d⁴4s², y el cobre [Ar]3d¹⁰4s¹ en vez de 3d⁹4s²; también se salen el niobio, el molibdeno, el rutenio, el rodio, el paladio, la plata, el platino, el oro y buena parte de los actínidos. La razón es que las energías de 4s y 3d están tan cerca que la repulsión entre electrones decide el desempate, y ésa es justo la parte que la regla no contiene. Calcular el orden de verdad exige resolver el átomo multielectrónico: módulo II.4.
Problema. El módulo I.1 dejó al modelo de Bohr fallando el helio neutro por un 121 %, porque ignora que los dos electrones se repelen — y no verla cuesta 29,8 eV, de −108,8 a −79,0. Con la idea de apantallamiento, ¿cuánto se puede arreglar sin resolver nada?
Solución. Si cada electrón apantalla parcialmente al otro, cada uno no ve sino algo menos. Con la regla empírica de Slater, , y tratando cada electrón como hidrogenoide con esa carga:
frente a los eV medidos (la suma de las dos energías de ionización). El error es del 0,46 %. Y si en vez de la regla empírica se hace el cálculo variacional riguroso, que da , sale −77,49 eV: un 1,9 % de error.
Resultado. Un solo parámetro convierte un error del 121 % en uno del 0,46 %. Pero la segunda lección está en la comparación entre los dos apantallamientos, y es contraintuitiva: el cálculo riguroso acierta peor que la regla de andar por casa — y aun así es mejor. El variacional trae una garantía que el empírico no tiene: su resultado es una cota superior, así que la energía verdadera está por debajo de −77,49 eV con certeza matemática. El 1,70 de Slater acierta más porque está ajustado a los datos, y no promete nada sobre ningún otro átomo. Saber cuál de los dos usar según lo que se necesite —una cifra o una garantía— es media física computacional. El tratamiento serio es el módulo II.3.
La periodicidad, en dos cifras que suben y bajan
Si el modelo de capas es cierto, la energía de ionización tiene que subir a lo largo de un periodo —el núcleo gana protones y la capa no cambia— y desplomarse al empezar el siguiente, cuando el electrón de valencia nuevo estrena una capa más lejana y apantallada. Es exactamente lo que se mide: del litio (5,392 eV) al neón (21,565) sube cuatro veces, y del neón al sodio (5,139) cae de golpe un factor 4,20. Lo mismo del argón al potasio (3,63) y del criptón al rubidio (3,35).
La prueba fina no es esa subida general, sino sus dos baches, que un modelo de capas sin subcapas no podría explicar. Del berilio al boro la energía baja 1,03 eV pese a haber un protón más: es que el boro estrena la subcapa 2p, que está por encima de la 2s. Y del nitrógeno al oxígeno vuelve a bajar, 0,92 eV, porque el oxígeno es el primero que tiene que meter dos electrones en el mismo orbital 2p, y eso cuesta. Dos anomalías, dos explicaciones estructurales, cero parámetros ajustados.
El módulo I.1 midió la carga nuclear efectiva del sodio (1,84) y del potasio (2,26) y lo dejó ahí. Con la serie entera de los alcalinos se ve la periodicidad en un solo número:
| Elemento | Protones | Capa del electrón exterior | Energía de ionización | |
|---|---|---|---|---|
| Litio | 3 | 2s | 5,392 eV | 1,26 |
| Sodio | 11 | 3s | 5,139 eV | 1,84 |
| Potasio | 19 | 4s | 4,341 eV | 2,26 |
| Rubidio | 37 | 5s | 4,177 eV | 2,77 |
| Cesio | 55 | 6s | 3,894 eV | 3,21 |
Del litio al cesio se añaden 52 protones y 52 electrones, y la carga efectiva que ve el electrón exterior sube 1,95. Es decir: los electrones nuevos apantallan el 96 % de lo que la carga nueva añade. Ese casi perfecto es la razón de que el litio y el cesio se parezcan lo bastante como para ponerlos en la misma columna, y de que no se parezcan del todo.
Por qué no atraviesas la silla
El artículo 01 dejó la pregunta abierta: si el núcleo ocupa una parte en del volumen, ¿qué te para? Hay tres candidatos y sólo uno sobrevive.
El núcleo, no. Ya está descartado por aritmética: la fracción de área que tapa es de nueve en un millón por micra de material.
La repulsión entre las nubes electrónicas, sólo en parte. Es la respuesta que se da casi siempre y está incompleta, porque los átomos son neutros: cuando dos se acercan, los electrones de uno se repelen con los del otro, pero también son atraídos por el núcleo del otro, y las dos cosas casi se cancelan. Tanto se cancelan que lo que queda a distancias medias es una atracción neta —las fuerzas de van der Waals, que son las que hacen que un gas noble llegue a licuarse—. La electrostática sola no levanta una pared.
La exclusión, sí. Cuando las nubes empiezan a solaparse, los electrones del átomo A tendrían que ocupar estados que ya están ocupados por los de B. No pueden, así que algunos tienen que subir a estados de más energía. Solapar cuesta energía, y lo que cuesta energía se resiste: eso es la pared.
Y tiene número. En un metal, los electrones de conducción forman un gas donde las plazas de baja energía están todas ocupadas y los últimos electrones están obligados a ocupar estados rapidísimos. El nivel más alto lleno es la energía de Fermi, que en el cobre vale eV con electrones por metro cúbico. La velocidad correspondiente es 1,57 × 10⁶ m/s —el 0,5 % de la de la luz, y a temperatura ambiente— y de ella sale una presión de degeneración de
Esa cifra no es una construcción teórica sin control: el módulo de compresibilidad que predice el gas libre es GPa, y el medido del cobre es 140 GPa. Un factor 2,2 — que es lo que cabe esperar de un modelo que ignora los iones y el intercambio, y que confirma que el orden de magnitud es el correcto. Los electrones de un metal están, ahora mismo, a cuatrocientas mil atmósferas.
Problema. Una persona de 70 kg se sienta y reparte su peso sobre unos 0,10 m². ¿Qué presión ejerce, y qué presión haría falta para comprimir el cobre un 1 %?
Solución. La persona ejerce kPa. Comprimir un material un 1 % exige, por definición del módulo de compresibilidad, , o sea GPa, que son 13 800 atmósferas.
Resultado. Hacen falta doscientas mil veces más presión de la que ejerce una persona sentada para encoger el cobre un mísero 1 %. Y comparado con la presión de degeneración del propio gas de electrones —38,3 GPa—, el peso de la persona es veces menor. Ésa es la respuesta cuantitativa a por qué no atraviesas la silla: no es que la materia sea sólida, es que es rígida por un margen de cinco o seis órdenes de magnitud, y todo lo que hacemos con ella —apoyarnos, martillear, pisar— es una perturbación insignificante frente a la energía que costaría solapar dos nubes electrónicas. El artículo 02 dio la misma conclusión desde un solo átomo: comprimir el hidrógeno a la décima parte cuesta 1088 eV.
La exclusión de Pauli no es una fuerza. Se lee mucho lo de «la fuerza de Pauli» o «la repulsión de Pauli empuja a los electrones», y no hay tal cosa: no hay campo, no hay partícula mediadora, no hay una ley con un ni una constante de acoplamiento. El principio de exclusión es una restricción sobre qué estados existen, y su efecto mecánico es indirecto pero perfectamente real: si comprimir un sistema obliga a sus electrones a subir de energía, comprimirlo cuesta trabajo, y un sistema al que cuesta trabajo comprimir empuja hacia fuera. La presión de 38 GPa de arriba es eso, y no una fuerza nueva. Lo que sí es un resultado duro, y tiene nombre: en 1967 Freeman Dyson y Andrew Lenard demostraron que sin el principio de exclusión la materia no sería estable. Si los electrones fuesen bosones, la energía de partículas no crecería proporcionalmente a sino como : juntar dos trozos de materia liberaría energía sin límite y la materia en bloque se hundiría sobre sí misma. Que un vaso de agua tenga el doble de volumen que medio vaso —lo más aburrido que se puede decir de la materia— es un teorema, y su demostración necesita el principio de exclusión: es el teorema de la estabilidad de la materia.
Ejercicios
El sexto periodo tiene 32 elementos. Comprueba de dónde salen, subcapa a subcapa, y di qué elemento lo cierra.
Solución
El periodo 6 abre con el 6s () y sigue con 4f (7), 5d (7) y 6p (7); dentro del empate, primero el de menor. Sumando capacidades: 2 + 14 + 10 + 6 = 32. Como al final del periodo 5 se llevaban 54 elementos, éste acaba en el 86, que es el radón. Los catorce del 4f son los lantánidos, y es la primera vez que aparece un bloque f — por eso la tabla periódica se dibuja con dos filas sueltas debajo: no caben. La segunda lección es que esas dos filas sueltas no son una excepción, son la subcapa f haciendo lo que le toca; la tabla «larga» de 32 columnas es la honesta, y la corta es una comodidad tipográfica que lleva un siglo confundiendo a los estudiantes.
El sodio metálico tiene electrones de conducción por metro cúbico, frente a los del cobre. Calcula su energía de Fermi y su presión de degeneración, y explica por qué el sodio se corta con un cuchillo y el cobre no.
Solución
Con : eV. Y la presión, con , sale 5,14 GPa: siete veces y media menos que la del cobre. El módulo de compresibilidad que predice el gas libre es GPa y el medido del sodio son unos 6,3 — otra vez el mismo orden. La segunda lección está en el exponente: la presión va como , así que triplicar la densidad de electrones la multiplica por seis. Un metal es duro no por tener electrones, sino por tenerlos apretados, y el sodio los tiene desparramados porque su átomo es enorme: 186 pm de radio metálico frente a los 128 del cobre. Tamaño atómico y dureza son la misma conversación.
¿Por qué la energía de ionización del oxígeno (13,618 eV) es menor que la del nitrógeno (14,534), si el oxígeno tiene un protón más? ¿Y qué predice el mismo razonamiento para el azufre frente al fósforo?
Solución
El nitrógeno tiene tres electrones 2p y hay tres orbitales p, así que cada uno va solo: es la subcapa medio llena, la configuración más cómoda posible. El oxígeno tiene cuatro, y el cuarto está obligado a emparejarse con otro en el mismo orbital, donde se repelen a distancia corta. Ese electrón está por tanto menos ligado, y arrancarlo cuesta 0,92 eV menos, pese al protón de más. La predicción para el tercer periodo es la misma: el azufre debería ionizarse más fácil que el fósforo, y así es —10,360 eV frente a 10,487—, aunque el bache es más pequeño (0,13 eV) porque los orbitales 3p son más grandes y los dos electrones emparejados se estorban menos. La segunda lección es que el modelo predijo el signo y el orden de magnitud del efecto en dos periodos distintos, y hasta acertó que se atenuara: eso es lo que distingue una explicación de una excusa a posteriori.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse sin haber releído el módulo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Radio de Bohr | a₀ = 4πε₀ℏ²/(mee²) = 52,918 pm | art. 01 |
| Radio nuclear | R = 1,2·A1/3 fm; Au 6,98 fm (0,5 % de error; 14 % en el C-12) | art. 01 |
| Densidad nuclear | 2,29 × 10¹⁷ kg/m³, la misma para el litio que para el uranio | art. 01 |
| Átomos por metro cúbico | n = ρNA/M; oro 5,90 × 10²⁸ m⁻³ | art. 01 |
| Tamaño de un átomo en un sólido | Au 159,3 pm; vecinos a 288,4 pm (fcc, a = 407,82 pm) | art. 01 |
| Fracción de volumen del núcleo | 8,4 × 10⁻¹⁴ en el oro · 4,0 × 10⁻¹⁵ en el hidrógeno | art. 01 |
| Masa que llevan los electrones | 0,022 % en el oro · 0,054 % en el hidrógeno | art. 01 |
| Núcleos en el camino | n·t·πR² = 9,0 × 10⁻⁶ en 1 µm de oro | art. 01 |
| Órbita clásica de radio a₀ | v = αc = 2,19 × 10⁶ m/s; T = 1,52 × 10⁻¹⁶ s | art. 02 |
| Potencia de Larmor | P = e²a²/(6πε₀c³) = 4,67 × 10⁻⁸ W en a₀ | art. 02 |
| Colapso del átomo de Rutherford | t = a₀³c³/(4κ²) = 1,56 × 10⁻¹¹ s | art. 02 |
| Vueltas antes de caer | 204 783, con barrido continuo desde 45,6 nm | art. 02 |
| Colapso y carga nuclear | t ∝ Z⁻⁵; el He⁺ duraría 4,9 × 10⁻¹³ s | art. 02 |
| Energía de confinamiento | E(r) = ℏ²/(2mer²) − e²/(4πε₀r): mínimo en a₀, −13,606 eV | art. 02 |
| Coste de comprimir el hidrógeno | +1088 eV a a₀/10 · +54 GeV al radio del protón | art. 02 |
| Momento angular del fundamental | 0, no ℏ; λdB = 332,5 pm = 2πa₀ | art. 02 |
| Densidad de probabilidad radial | P(r) = 4πr²|ψ|²; ⟨r⟩ = (a₀/2)(3n² − ℓ(ℓ+1)) | art. 03 |
| El 1s del hidrógeno | Moda a₀, media 1,5a₀; 32,3 % dentro de a₀, 76,2 % dentro de 2a₀ | art. 03 |
| El contorno que se dibuja | 90 % en 140,8 pm · 99 % en 222,4 pm · 100 % nunca | art. 03 |
| Nodos radiales | n − ℓ − 1; el 2s se anula exactamente en 2a₀ | art. 03 |
| Electrón dentro del núcleo | 5,3 × 10⁻¹⁵ en el 1s: hace posibles la hiperfina y la captura K | art. 03 |
| Penetración con r < 0,5a₀ | 3s 0,284 % · 3p 6,0 × 10⁻³ % · 3d 6,8 × 10⁻⁶ % | art. 03 |
| Defecto cuántico del sodio | 3s 1,373 · 3p 0,883 · 3d 0,0102 (Zef = 1,84 · 1,42 · 1,00) | art. 03 |
| Escalado hidrogenoide | r ∝ n²/Z y E ∝ Z²/n²; el 1s del He⁺ en 26,5 pm | art. 03 |
| Exclusión de Pauli | Un electrón por (n, ℓ, mℓ, ms): 2(2ℓ+1) por subcapa, 2n² por capa | art. 04 |
| Orden de llenado | Menor n + ℓ: 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d… | art. 04 |
| Longitudes de los periodos | 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32 = 118; sin espín serían 1, 4, 4, 9, 9, 16, 16 | art. 04 |
| Carga efectiva de los alcalinos | Li 1,26 · Na 1,84 · K 2,26 · Rb 2,77 · Cs 3,21 | art. 04 |
| Helio apantallado | Zef = 1,70 → −78,64 eV frente a −79,005 medidos (0,46 %) | art. 04 |
| Gas de electrones del cobre | EF = 7,04 eV; presión 38,3 GPa = 3,8 × 10⁵ atm | art. 04 |
| Por qué no atraviesas la silla | 6,9 kPa de una persona sentada frente a 38,3 GPa: 5,6 × 10⁶ veces | art. 04 |
| Espín del electrón | s = 1/2, dos estados; g = 2,002 319 304 4 | art. 04 |
Fin del módulo I.2. Con esto ya sabes de qué tamaño es un átomo y por qué tiene ese tamaño: el núcleo es cien mil veces más pequeño y se lleva toda la masa, el electrón no cae porque confinarlo cuesta energía, lo que lo describe no es una órbita sino una distribución de probabilidad, y las plazas que esa distribución ofrece se llenan de una en una porque dos fermiones no caben en la misma. De ahí salen los periodos de la tabla, la inercia de los gases nobles y la rigidez de un metal. Lo que falta es el otro número del núcleo. En todo el módulo, ha entrado como un dato: el radio nuclear salió de , la densidad de un sólido de su masa molar, la masa del átomo de . Nadie ha dicho de dónde sale, ni por qué la masa atómica del cloro es 35,45 —un número que no es entero y que por tanto no puede ser el de ningún átomo concreto—, ni cómo se pesa algo que no se puede coger. El módulo I.3 construye los isótopos, la espectrometría de masas y el mol desde su definición de 2019, y con ello se puede por fin contar átomos de uno en uno, separarlos por su masa y datar un hueso por el carbono-14 que le queda.