El uranio natural tiene un 0,7204 % de uranio-235 en cualquier mina del planeta, en cualquier meteorito y, por lo que se sabe, en cualquier sitio del sistema solar: la proporción no depende de la química, porque los isótopos se comportan igual, y no se ha movido desde que la Tierra se formó salvo por desintegración. El 2 de junio de 1972, en el laboratorio de la planta de enriquecimiento francesa de Pierrelatte, un lote de hexafluoruro de uranio dio 0,7171 % frente al 0,7202 % que aquel laboratorio daba por descontado: un déficit del 0,43 % relativo. En casi cualquier otra magnitud habría pasado por ruido, y en ésta era imposible. Rastreando hacia atrás llegaron a la mina de Oklo, en Gabón, y allí encontraron vetas con 0,44 %, un 39 % menos del que debería haber. Faltaba uranio-235. Sólo hay una cosa en el universo que se coma uranio-235 selectivamente, y no la había inventado nadie todavía.
Tres milésimas de punto que no cuadraban
Para entender por qué aquello fue un escándalo hay que ver lo constante que es el cociente isotópico del uranio. El valor de referencia moderno es ²³⁸U/²³⁵U = 137,818 ± 0,045, medido en decenas de muestras terrestres y en meteoritos: una dispersión de tres partes en diez mil. Esa constancia no es casualidad — es la que permite el reloj del artículo 03 — y significa que una anomalía isotópica del uranio no puede ser geológica. Ningún proceso químico separa isótopos que difieren en un 1 % de masa lo bastante para mover tres décimas de punto porcentual.
Francis Perrin y su equipo dieron con la explicación en semanas, y era la única posible: en Oklo hubo fisión en cadena. Se han encontrado dieciséis zonas de reacción repartidas entre Oklo, el vecino Okélobondo y Bangombé, a treinta kilómetros. La prueba definitiva no fue el uranio que faltaba, sino los productos de fisión que sobraban: el neodimio, el rutenio y el xenón de aquellas vetas no tienen la composición isotópica natural, tienen exactamente la que produce la fisión del uranio-235 — la misma huella que se mide en el combustible gastado de una central del módulo I.3.
Las cuatro condiciones, y una ventana de tiempo que se cierra
Un reactor natural de fisión necesita exactamente lo mismo que uno construido, y es instructivo repasarlo con la neutrónica del módulo I.3 en la mano.
Primera: enriquecimiento suficiente. Del artículo 03 sale que hace 1700 millones de años el uranio natural tenía un 2,89 % de uranio-235, no el 0,72 % de hoy. No porque nadie lo enriqueciera, sino porque el uranio-235 se desintegra 6,3 veces más deprisa que el uranio-238 y entonces quedaba mucho más. Ese 2,9 % se queda a un pelo del 3-5 % que lleva el combustible de un reactor de agua a presión moderno.
Segunda: un moderador. El agua subterránea. La arenisca de Oklo era porosa y estaba empapada, y el agua hacía exactamente el trabajo del artículo 01 del módulo I.3: frenar los neutrones de fisión desde los 2 MeV con los que nacen hasta los 0,025 eV a los que el uranio-235 los aprovecha 487 veces mejor.
Tercera: mineral riquísimo. Un yacimiento normal tiene un 0,1 o un 1 % de uranio; las zonas de reacción de Oklo superaban el 20 %, y localmente mucho más. Y aquí aparece el detalle que convierte esta historia en algo más grande: ese mineral no pudo existir antes de que hubiera oxígeno en la atmósfera. El uranio sólo es soluble en agua cuando está oxidado; sin oxígeno no viaja, y sin viajar no se concentra. La Gran Oxidación ocurrió hace unos 2400-2000 millones de años, así que los yacimientos ricos son posteriores a ella.
Cuarta: nada que se coma los neutrones. El mineral tenía muy pocas tierras raras y muy poco boro, que son los venenos naturales.
Júntese todo y sale una ventana temporal de unos pocos cientos de millones de años: antes de la Gran Oxidación no había mineral concentrado; después, el uranio-235 fue bajando hasta que ni el mineral más rico dio para encender nada, y hoy, con un 0,72 %, la reacción es sencillamente imposible con agua. Oklo cae dentro de esa ventana, y no se conoce ningún otro reactor natural en ninguna parte.
Problema. Con la fórmula del factor de reproducción del módulo I.3, , con = 2,437, σf = 584 b, σa(²³⁵U) = 683 b y σa(²³⁸U) = 2,68 b: ¿cuántos neutrones útiles por absorción daba el uranio de Oklo, comparado con el de hoy y con el de un reactor español?
Solución. Con x = 0,0289 —el enriquecimiento natural de hace 1700 millones de años—
Con el uranio natural de hoy, x = 0,007 20, el mismo cálculo da 1,35; con el 3,2 % de un reactor comercial, 1,86.
Resultado. La neutrónica de Oklo y la de un reactor de Almaraz se diferencian en poco más del 1 %. 1,84 frente a 1,86: la diferencia entre un yacimiento de arenisca del Paleoproterozoico y una vasija de acero de trece metros con noventa toneladas de pastillas de óxido no está en la física del neutrón, está en la ingeniería que hay alrededor. Y la segunda lección es la que da sentido a toda la industria del enriquecimiento: los 1,35 de hoy no bastan con agua ligera —el módulo I.3 lo dedujo de la razón de moderación, 62 frente a los 4350 del agua pesada— y por eso un Oklo hoy es imposible. No porque haya cambiado ninguna ley física, sino porque han pasado 1700 millones de años y el combustible se ha ido agotando solo.
Media hora encendido, dos horas y media apagado
Lo más asombroso de Oklo no es que se encendiera: es cómo se reguló. Un reactor con un exceso de reactividad y sin barras de control debería quemarse en minutos, y no lo hizo: aguantó 150 000 años.
El mecanismo es el coeficiente de huecos del módulo I.3, con el signo bueno y llevado al extremo. La reacción calienta el agua; el agua hierve y se va; sin moderador, los neutrones dejan de frenarse y cae por debajo de 1; el reactor se apaga; la roca se enfría durante horas y el agua subterránea vuelve a empapar la veta; y vuelve a empezar. Es exactamente la realimentación negativa que el módulo I.3 presentaba como una virtud de diseño humano, funcionando por su cuenta en el Proterozoico.
Que ese ciclo existió no es una conjetura: está medido. En 2004, Meshik, Hohenberg y Pravdivtseva analizaron el xenón de fisión atrapado en granos de fosfato de aluminio de una de las zonas. El xenón se produce en parte directamente y en parte por desintegración del yodo y del telurio, que tardan horas, así que el patrón isotópico del xenón atrapado depende de cuánto tiempo estuvo encendido y cuánto apagado. La combinación que encaja con lo medido es 30 minutos de operación y 2 horas y media de parada, repetida durante ciento cincuenta mil años. Un reactor pulsado, con un ciclo de trabajo del 17 %, cuyo cronograma sobrevive escrito en la relación isotópica de un gas noble dos mil millones de años después.
Problema. Las estimaciones publicadas dan a Oklo una potencia media del orden de 100 kW térmicos durante 150 000 años. ¿Cuánta energía es? ¿Cuánto uranio-235 consumió? ¿Cuánto tardaría en gastar eso mismo una central de hoy?
Solución. La energía es 10⁵ W × 150 000 × 3,156 × 10⁷ s = 4,73 × 10¹⁷ J, que en las unidades de la industria son 5,48 × 10⁶ megavatios-día. Con la regla del módulo I.3 —1,09 g de uranio-235 por MW·día térmico—, eso son 5,97 toneladas de uranio-235 fisionado. Por el otro camino, contando fisiones a 193 MeV recuperables cada una: 1,53 × 10²⁸ fisiones, que a 235 u por núcleo son 5,97 toneladas. Las dos rutas coinciden al 0,05 %.
Resultado. Seis toneladas de uranio-235 en ciento cincuenta mil años; un reactor de 3000 MW térmicos las quema en cinco años. Ésa es la diferencia real entre Oklo y una central, y no es de física: es de densidad de potencia. Oklo iba a 100 kW, la treintamilésima parte de un PWR. La segunda lección está en el otro extremo de la comparación: 4,73 × 10¹⁷ J son 131 teravatios-hora, más o menos medio año del consumo eléctrico de España, y se liberaron en un pantano de África central sin que nadie lo supiera hasta 1972. La energía nuclear no es una invención humana: es un fenómeno geológico que en un momento dado alguien aprendió a encender a propósito.
Lo que Oklo demuestra y no se puede demostrar de otra manera
Un reactor natural podría haberse quedado en anécdota. No lo es, por dos razones que ningún laboratorio puede reproducir porque las dos exigen dos mil millones de años de espera.
La primera es el almacenamiento de residuos. Oklo fabricó productos de fisión y actínidos —los mismos del módulo I.3— y los dejó enterrados en roca húmeda, sin barrera de ingeniería de ninguna clase, en un clima tropical. Lo que se encuentra hoy es que la mayoría no se ha movido más que unos pocos metros en 1700 millones de años: las tierras raras, el circonio, el rutenio, el neodimio y el plutonio se quedaron donde estaban. Sí migraron los gases nobles y los elementos solubles —el cesio, el estroncio, el yodo, y parte del plomo—, que son justamente los que la química predice que migren. Un análogo natural no sustituye al diseño de un almacén geológico, pero es el único experimento a escala real y a escala de tiempo real que existe, y su resultado es el que dice el modelo: lo que se mueve es lo que la química dice que se mueve.
El plutonio merece una nota aparte, porque es un caso bonito de razonamiento indirecto. Oklo produjo plutonio-239 por captura en el uranio-238, como cualquier reactor. Ese plutonio tiene una semivida de 24 110 años, así que no queda ni un átomo: se desintegró entero a uranio-235 hace más de mil millones de años. Se sabe que estuvo ahí por dos huellas: el uranio-235 «de más» en los sitios donde estuvo, y los productos de fisión característicos del plutonio, que no son exactamente los del uranio-235. Es el mismo tipo de argumento forense del artículo 03 aplicado a algo que ya no existe.
La segunda es un límite sobre las constantes fundamentales. En 1976, Alexander Shlyakhter se dio cuenta de que Oklo es un experimento de precisión sobre la constante de estructura fina, y el argumento es de una elegancia difícil de mejorar. El samario-149 tiene una resonancia de captura de neutrones a 97,3 meV — noventa y siete milielectronvoltios, es decir, justo en la zona térmica. La posición de esa resonancia depende de la diferencia entre dos energías nucleares del orden del MeV, una de las cuales es la energía coulombiana, que es proporcional a α. Así que un cambio relativo de α se amplifica en la posición de la resonancia por un factor
Y la posición de la resonancia se puede leer hacia atrás: cuánto samario-149 quedó en Oklo depende de cuántos neutrones capturó, y eso depende de dónde estaba la resonancia entonces. Los análisis dan un desplazamiento compatible con cero y menor que unas decenas de meV, de donde
Dicho de otro modo: si la constante de estructura fina hubiera cambiado en una parte en diez millones desde el Proterozoico, el samario de Oklo tendría otra composición isotópica. Los relojes atómicos de hoy dan cotas comparables o mejores, pero sólo sobre unos pocos años; Oklo cubre dos mil millones. Es, sin discusión, el experimento de física fundamental más barato que se ha hecho nunca: la muestra ya estaba pagada.
Lo que en Oklo es medido y lo que es modelo. Este artículo mezcla dos clases de cifras y conviene separarlas. Medido: el déficit isotópico del uranio, las composiciones isotópicas de neodimio, rutenio, xenón y samario, y la edad de las zonas de reacción. Deducido de un modelo: la potencia media —las estimaciones publicadas van de unas decenas a unos cientos de kilovatios—, la duración —del orden de 10⁵ años— y, sobre todo, el ciclo de 30 minutos y 2,5 horas, que sale de ajustar un modelo de difusión del xenón a los datos y no de leer un cronómetro.
Y una precisión sobre la fecha, porque circulan dos: la que más se repite es 1700 millones de años y las dataciones de los propios yacimientos dan más bien 1950-2000. La diferencia importa para el enriquecimiento: con 1,7 Ga sale 2,89 % y con 2,0 Ga, 3,67 %. Ninguna de las dos cambia la conclusión —las dos están en el rango de un reactor comercial— pero un dato con dos versiones se da con las dos. Lo mismo vale para la cota sobre α: los análisis modernos la aprietan un orden de magnitud más que el original de Shlyakhter, y a cambio dependen de suposiciones sobre la temperatura a la que trabajó el reactor y sobre qué otras constantes se dejan fijas mientras se mueve α. Una cota depende siempre de lo que se suponga constante alrededor, y decirlo es parte de darla.
Ejercicios
La anomalía de Oklo se detectó porque faltaba un 0,43 % del uranio-235 esperado en un lote industrial. ¿Por qué esa desviación diminuta se tomó en serio inmediatamente, cuando en casi cualquier otra medida química habría pasado por ruido?
Solución
Porque la magnitud medida es un cociente isotópico, y los cocientes isotópicos del uranio son constantes en todo el sistema solar con una dispersión de tres partes en diez mil. No hay ningún proceso químico que separe ²³⁵U de ²³⁸U de forma apreciable —tienen la misma corteza electrónica y un 1 % de diferencia de masa—, y por eso la industria del enriquecimiento necesita centrifugadoras a mil vueltas por segundo. En una magnitud así, un 0,43 % no es un error de medida: es más de diez veces la dispersión conocida del cociente. La segunda lección es la que hace útil a un patrón: una medida sólo detecta anomalías si se conoce muy bien su valor normal. Los técnicos de Pierrelatte no descubrieron Oklo por medir mejor que nadie, sino porque medían lo mismo todos los días y sabían exactamente qué tenía que salir.
Oklo se autorregulaba hirviendo el agua. Con el módulo I.3 delante: ¿qué habría pasado si el moderador hubiera sido grafito, como en el RBMK de Chernóbil, en vez de agua?
Solución
Que no habría habido termostato. El grafito no se evapora a esas temperaturas y su capacidad de moderación no depende de que la roca esté caliente o fría, así que la realimentación que apagaba Oklo cada media hora no habría existido. El reactor habría subido de temperatura hasta destruirse a sí mismo por otra vía —fundiendo o rompiendo la roca y dispersando el mineral—, y probablemente en muy poco tiempo. La segunda lección es la del módulo I.3 vista desde el otro lado: en Oklo el moderador y el refrigerante eran el mismo material, y por eso el coeficiente de huecos era negativo, igual que en un reactor de agua ligera y al revés que en un RBMK. La naturaleza no eligió ese diseño por prudencia: es que los otros no duran 150 000 años y por eso no quedan restos suyos que encontrar.
Un titular dice: «Oklo demuestra que los residuos nucleares se pueden enterrar sin peligro durante millones de años». ¿Qué hay de cierto y qué se está pasando por alto?
Solución
Cierto y valioso: en Oklo, los actínidos y la mayoría de los productos de fisión se quedaron a pocos metros de donde se produjeron durante 1700 millones de años, sin ninguna barrera de ingeniería, y ese resultado no se puede obtener de ninguna otra manera. Pasado por alto, tres cosas. Una: sí migraron los elementos solubles y los gases, que en un almacén real son parte del problema. Dos: el combustible de Oklo era óxido de uranio diseminado en roca, no pastillas concentradas dentro de vainas con todo el inventario de una central, y la escala de la fuente importa. Tres, y es la importante: Oklo demuestra que puede funcionar, no que vaya a funcionar en un emplazamiento concreto, que depende de su geología. La segunda lección es sobre cómo se usa una analogía en ciencia: un análogo natural valida un modelo, no un proyecto. Sirve para comprobar que los códigos de migración de radionúclidos reproducen dos mil millones de años de realidad; el emplazamiento hay que caracterizarlo igual.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con las constantes que hacen falta
para usarlo y dónde se dedujo cada cosa. Pensado para resolver un problema
del módulo sin volver al texto. Constantes: CODATA 2022 vía
src/data/constants.ts; masas: AME2020; semividas: ENSDF, salvo
las del uranio, que son las de Jaffey (1971); parámetros solares: valores
nominales de la IAU 2015 y modelo solar estándar. Los cálculos están en
scripts/verificar-i4.py.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Constantes universales | c = 2,998 × 10⁸ m/s · kB = 1,381 × 10⁻²³ J/K = 8,617 × 10⁻⁵ eV/K · NA = 6,022 × 10²³ · u = 931,494 MeV/c² · α = 1/137,036 · e²/4πε₀ = 1,440 MeV·fm | todo el módulo |
| Parámetros solares | L = 3,828 × 10²⁶ W · M = 1,989 × 10³⁰ kg · R = 6,957 × 10⁸ m · 1 UA = 1,496 × 10¹¹ m · Tcentro = 15,7 MK · edad 4570 Ma | art. 01 |
| Masa que pierde el Sol | L/c² = 4,26 × 10⁹ kg/s; 0,031 % en toda su vida | art. 01 |
| Constante solar | L/4πd² = 1361 W/m² a 1 UA | art. 01 |
| Cadena pp | 4¹H → ⁴He + 2e⁺ + 2ν; Q = 26,73 MeV, de los que 0,53 se van con los ν | art. 01 |
| Rendimiento de la fusión | 0,712 % de la masa; 6,4 × 10¹⁴ J por kg de H | art. 01 |
| Consumo solar | 610 Mt/s de H → 9,12 × 10³⁷ ⁴He/s | art. 01 |
| Barrera de Coulomb | V = 1,44 Z₁Z₂/r MeV·fm, r = 1,2(A₁⅓+A₂⅓) fm con A el NÚMERO másico, no la masa en u; p-p: r = 2,40 fm → 600 keV = 443 kBT | art. 01 |
| Pico de Gamow | E₀ = (EG(kBT)²/4)⅓, EG = 2μc²(παZ₁Z₂)²; τ = 3E₀/kBT | art. 01 |
| Cifras del pico, a 15,7 MK | kBT = 1,35 keV; pp: E₀ = 6,09 keV, τ = 13,5; CNO: 27,4 keV, τ = 60,8 | art. 01 |
| Ley de potencias | ν = (τ−2)/3: pp T3,8 · CNO T19,6 · ⁴He+¹²C T22 a 10⁸ K | art. 01 |
| Túnel frente a clásico | e−τ = 1,4 × 10⁻⁶ frente a e−V/kT = 10⁻¹⁹² | art. 01 |
| Ciclo CNO en el Sol | 1,1 % de la energía (Borexino 2020: 7,0 × 10⁸ ν cm⁻²s⁻¹); domina por encima de 1,3 M☉ | art. 01 |
| Neutrinos solares | 1,82 × 10³⁸ /s; 6,5 × 10¹⁰ cm⁻²s⁻¹ en la Tierra; 4,5 × 10¹⁴ por cuerpo y s | art. 01 |
| Potencia específica | núcleo 0,57 mW/kg (núcleo = 24 % del radio, 34 % de la masa) · Sol entero 0,19 mW/kg · humano 1,4 W/kg | art. 01 |
| Escalas de tiempo del Sol | químico 5400 a · gravitatorio GM²/RL = 31 Ma · nuclear 7800 Ma (modelos: ~5000) | art. 01 |
| Interacción débil en la pp | S(p+p) = 4,0 × 10⁻²⁵ MeV·b frente a 1,7 × 10⁻³ del ¹⁴N(p,γ): 2 × 10⁻²² | art. 01 |
| Nucleosíntesis primordial | 75,5 % H, 24,5 % ⁴He en masa = 1 ⁴He por 12,3 ¹H; D/H = 2,5 × 10⁻⁵ | art. 02 |
| Los huecos A = 5 y A = 8 | ⁸Be está 91,8 keV por encima de 2α; T½ = 8,19 × 10⁻¹⁷ s | art. 02 |
| Triple alfa | 3⁴He → ¹²C, Q = 7,275 MeV; estado de Hoyle a 7,654 MeV = +287 keV sobre ⁸Be+α | art. 02 |
| Energía de ligadura | B/A: ⁴He 7,07 · ⁵⁶Fe 8,790 · ⁶²Ni 8,795 MeV → H→He gasta el 80 % del combustible | art. 02 |
| Cebolla de una estrella de 25 M☉ | H 7 Ma · He 700 ka · C 600 a · Ne 1 a · O 6 meses · Si 1 día | art. 02 |
| Proceso s | n ≈ 10⁷ cm⁻³, una captura cada 13 años; pegado al valle; acaba en ²⁰⁹Bi | art. 02 |
| Proceso r | n ≈ 10²⁴ cm⁻³, una captura cada 25 ns; 10¹⁶ veces más rápido que la beta | art. 02 |
| GW170817 | 0,04 M☉ = 8 × 10²⁸ kg = 13 000 masas terrestres de material r | art. 02 |
| Composición | cuerpo: 62,9 % de los átomos es H, 90 % de la masa es estelar. Sistema solar: 74,4 % H, 24,2 % He, 1,4 % resto | art. 02 |
| Hierro | 4 g por persona = 4,3 × 10²² átomos; una SN Ia da 0,6 M☉ de ⁵⁶Ni = 3 × 10³² cuerpos | art. 02 |
| Ley de desintegración | N = N₀e−λt, λ = ln2/T½; D/P = eλt − 1; t = ln(N₀/N)/λ | art. 03 |
| Semividas de los relojes | ³H 12,32 a · ¹⁴C 5700 a · ²³⁰Th 75 400 a · ⁴⁰K 1248 Ma (10,72 % a ⁴⁰Ar) · ²³⁵U 703,8 Ma · ²³⁸U 4468 Ma · ⁸⁷Rb 49 700 Ma | art. 03 |
| Constantes del uranio | λ₂₃₈ = 1,55125 × 10⁻¹⁰ /a · λ₂₃₅ = 9,8485 × 10⁻¹⁰ /a · ²³⁸U/²³⁵U = 137,818 | art. 03 |
| Carbono-14 moderno | ¹⁴C/C = 1,176 × 10⁻¹²; 5,90 × 10¹⁰ átomos/g; 0,227 Bq/g = 13,6 dpm/g (patrón: 226 Bq/kg) | art. 03 |
| Ventana del radiocarbono | 300–50 000 años; a 50 ka queda el 0,23 % y da 1,9 cuentas/h por gramo | art. 03 |
| Correcciones del ¹⁴C | IntCal20 hasta 55 ka · efecto Suess · pico de bombas de 1963 · «años BP» con la T½ de Libby, 5568 a (2,4 % de sesgo) | art. 03 |
| Concordia U-Pb | ²⁰⁶Pb/²³⁸U = eλ₂₃₈t−1 · ²⁰⁷Pb/²³⁵U = eλ₂₃₅t−1; a 4404 Ma: 0,980 y 75,5 | art. 03 |
| Edades de referencia | sistema solar 4567 Ma · Tierra 4540 Ma · Acasta 4030 Ma · circón de Jack Hills 4404 Ma | art. 03 |
| El uranio como reloj | (N₂₃₅/N₂₃₈)−t = (1/137,818)·e(λ₂₃₅−λ₂₃₈)t; hoy 0,72 % · 1,7 Ga 2,89 % · 4,567 Ga 24,3 % | art. 03 y 04 |
| La anomalía de Oklo | 0,7171 % frente a 0,7202 %: 0,43 % relativo; vetas al 0,44 %, un 39 % menos | art. 04 |
| Neutrónica de Oklo | η = ν̄xσf/σa (I.3): al 2,89 % da 1,84, frente a 1,35 hoy y 1,86 al 3,2 % | art. 04 |
| Operación de Oklo | ≈ 100 kW durante 150 000 a = 4,73 × 10¹⁷ J = 5,48 × 10⁶ MWd → 6,0 t de ²³⁵U (a 1,09 g/MWd) | art. 04 |
| El ciclo pulsado | 30 min encendido / 2,5 h apagado, del xenón atrapado (Meshik 2004) | art. 04 |
| Cota sobre α | resonancia del ¹⁴⁹Sm a 97,3 meV, amplificación 10⁷: |Δα/α| ≲ 10⁻⁷ en 2 Ga | art. 04 |
Fin del módulo I.4, y fin del Nivel I. Con esto ya sabes por qué una reacción que a la temperatura del Sol es imposible ocurre de todas formas, y por qué su ritmo depende de la temperatura elevada a diecinueve; de dónde salió físicamente cada átomo de los que estás hecho, y por qué el universo necesitó tres procedimientos distintos y una colisión de estrellas de neutrones para llegar hasta el uranio; cómo se lee un reloj radiactivo, qué tres hipótesis lo sostienen y cuál de ellas falla en cada error famoso de datación; y que la fisión en cadena, el moderador, el coeficiente de huecos negativo y hasta la operación pulsada existieron en Gabón mil setecientos millones de años antes de que a nadie se le ocurrieran.
Con los cuatro módulos del Nivel I puedes leer un informe de un regulador nuclear, una noticia sobre una datación arqueológica o un artículo de divulgación sobre nucleosíntesis sabiendo qué se está midiendo y con qué incertidumbre. Lo que falta es todo lo que este nivel ha usado sin deducir. Aquí se ha dicho «energía de ligadura» sin escribir la fórmula semiempírica de masas; «sección eficaz» sin una sola resonancia de Breit-Wigner; «efecto túnel» sin la integral de la barrera; «semivida» sin la regla de oro de Fermi; y «números mágicos» ni siquiera se ha dicho. El Nivel II —que empieza en II.1, con lo que se mide de un núcleo antes de explicarlo: masas, radios, espines, momentos magnéticos y cuadrupolares— es el mismo curso otra vez, desde el principio, con derivadas dentro. No es este texto con más fórmulas: es el que permite calcular, en vez de citar, cada número que aquí ha aparecido ya hecho.