El Sol es un horno malísimo. Su núcleo produce 0,57 milivatios por kilogramo; tú, ahí sentado sin hacer nada, produces 1,4 vatios por kilogramo — 2500 veces más. Un montón de compost fermentando desprende más calor por kilo que el centro de una estrella. Y sin embargo, al mismo tiempo, cada segundo se convierten en energía 4,26 millones de toneladas de la masa del Sol y salen 3,828 × 10²⁶ vatios por su superficie. La contradicción es aparente y su resolución es todo este artículo: el Sol es enorme, y su horno es lentísimo a propósito. Si fuera rápido, no estaríamos aquí para medirlo.
En el centro del Sol, dos protones tienen 1,35 keV de energía térmica y necesitan 598 keV para tocarse. La reacción es imposible, y ocurre unas 270 000 veces por segundo en cada gramo del núcleo. El panel calcula la barrera de Coulomb, el pico de Gamow y el ritmo de tres reacciones estelares desde las constantes de CODATA: no hay ningún valor copiado de una tabla.
A 15,7 millones de kelvin la energía térmica es de 1,35 keV y la barrera de Coulomb de p + p, de 598 keV: 442 veces mayor. La fracción de pares que la superarían por la vía clásica es 10⁻¹⁹² — un número que no significa «poco», significa «nunca». Lo que salva a la estrella es el efecto túnel: el encuentro ocurre a 6,09 keV, en un pico de 6,6 keV de anchura, y el factor de penetración vale 10⁻⁶. Entre los dos exponentes hay 186 órdenes de magnitud, y ahí cabe toda la luz que has visto en tu vida. La ley de potencias local es T3,83: subir la temperatura un 10 % multiplica este ritmo por 1,43. Ésa es la sensibilidad que convierte el termostato de una estrella en algo estable — y la razón de que una estrella un poco más masiva viva muchísimo menos. Comparado con el centro del Sol, a esta temperatura la cadena pp va 1,00 veces más deprisa, el ciclo CNO 1,00 y el ⁴He + ¹²C, 1,00. El cociente CNO/pp se multiplica por 1,00: como en el Sol el CNO aporta el 1,1 % de los neutrinos —eso lo midió Borexino en 2020, no es una estimación—, aquí aportaría del orden del 1,1 %. El primer paso de la cadena pp, el que fabrica el 99 % de la energía del Sol. Además de atravesar la barrera, uno de los dos protones tiene que convertirse en neutrón por interacción débil, y eso lo hace unas 10²² veces más lento de lo que sugiere sólo esta curva: su factor S vale 4,0 × 10⁻²⁵ MeV·b frente a los 1,7 × 10⁻³ del ¹⁴N(p,γ).
Lo que desaparece cada segundo
La luminosidad del Sol es 3,828 × 10²⁶ W, y no es un valor que haya que creerse: se mide desde aquí. La irradiancia que llega al borde de la atmósfera terrestre es de 1361 W/m², y repartir esa potencia sobre la esfera de radio una unidad astronómica devuelve exactamente la luminosidad — 1361 × 4π × (1,496 × 10¹¹)² = 3,83 × 10²⁶ W. Toda la energética solar de este artículo cuelga de una cifra que se puede medir con un calorímetro en un satélite.
De ahí sale la masa que desaparece, con leída al revés:
4,26 millones de toneladas por segundo. Es la cifra que siempre se cita, y sola engaña, porque el Sol no está aniquilando cuatro millones de toneladas de materia: está fusionando mucha más y perdiendo por el camino una fracción pequeña de su masa. La reacción neta es
y su valor Q sale de restar masas atómicas, igual que en el módulo I.1: cuatro hidrógenos pesan 4,031 30 u y un helio-4 pesa 4,002 60 u, así que sobran 0,028 70 u = 26,73 MeV. Repartido entre los cuatro protones, eso es un 0,712 % de la masa que entra. Para producir 3,828 × 10²⁶ W hacen falta 9,12 × 10³⁷ heliones por segundo, y para eso el Sol consume 610 millones de toneladas de hidrógeno cada segundo. De esas 610, se convierten en energía 4,26 y las otras 606 siguen ahí, ahora en forma de helio.
Dos matices que casi nunca se cuentan. El primero: de los 26,73 MeV, unos 0,53 se los llevan los dos neutrinos, que se van del Sol sin calentar nada. Sólo se quedan 26,2 MeV, un 2,0 % menos, y es con ese número con el que hay que contar fusiones. El segundo: llevar 4570 millones de años a este ritmo ha costado 6,1 × 10²⁶ kg — el 0,031 % de la masa del Sol, o 103 veces la masa de la Tierra. La Tierra lo ha notado: al perder masa el Sol, su órbita se ha ido ensanchando en proporción, unos 46 000 km en toda la historia del sistema solar, un centímetro al año.
Problema. En 1860 nadie sabía qué era la fusión, pero se sabía la luminosidad del Sol, su masa y la edad que los geólogos exigían para la Tierra. Suponiendo que el Sol fuera una bola de hulla ardiendo con oxígeno de sobra, ¿cuánto duraría? ¿Y si la fuente fuera la contracción gravitatoria, que era la mejor hipótesis de la época?
Solución. La hulla suelta 33 MJ por kilogramo. Con 1,99 × 10³⁰ kg de Sol,
La segunda hipótesis, la de Kelvin y Helmholtz, es mucho mejor: una bola de gas que se contrae libera energía gravitatoria, del orden de , y a la luminosidad de hoy eso da 31 millones de años (unos 9 si se afina con el factor 3/10 de una esfera homogénea). Fue el argumento con el que Kelvin le dijo a Darwin que la Tierra no podía tener los cientos de millones de años que la evolución necesitaba.
Resultado. Kelvin tenía la física bien y le faltaba una fuerza. La edad de la Tierra medida con relojes radiactivos —el artículo 03 de este módulo— es de 4540 millones de años: 150 veces más de lo que permite la gravedad y ochocientas mil veces más de lo que permite la química. Ese cociente es el argumento de que la fuente tiene que ser nuclear, y se puede hacer sin saber nada de física nuclear: basta con comparar tres números. La segunda lección es de método y sirve para toda la ciencia: cuando una estimación falla por un factor cien, no está mal calculada, está mal modelada. Kelvin no se equivocó en la aritmética; se equivocó al suponer que ya conocía todas las fuentes de energía que existen.
Una reacción que a esa temperatura no puede ocurrir
El centro del Sol está a 15,7 millones de kelvin. Suena enorme y, para lo que hace falta, es ridículo. La energía térmica que corresponde a esa temperatura es
Y para que dos protones lleguen a tocarse hay que vencer su repulsión eléctrica. A la distancia a la que dos núcleos de hidrógeno se rozan —2,40 fm, con el radio nuclear R = 1,2 A^(1/3) fm del módulo I.1, y con A = 1, que es el número másico y no la masa en unidades atómicas: A cuenta nucleones, no pesa— la barrera de Coulomb vale
443 veces la energía térmica disponible. En una distribución de Maxwell-Boltzmann siempre hay partículas más rápidas que la media, así que la pregunta razonable es cuántas llegan a 600 keV. La respuesta es e−443, es decir, 10⁻¹⁹³. Para calibrar ese número: en todo el Sol hay del orden de 10⁵⁷ protones, y en toda la historia del universo caben 10¹⁸ segundos. Un suceso de probabilidad 10⁻¹⁹² no es raro: no ocurre. Con física clásica, el Sol está apagado.
Lo que lo enciende es el efecto túnel. Un protón no tiene que saltar la barrera: tiene una probabilidad no nula de aparecer al otro lado sin haberla superado nunca, y esa probabilidad crece deprisa con la energía. Entonces compiten dos cosas: cuantos más rápidos van los protones, mejor atraviesan la barrera, pero menos protones hay tan rápidos. El producto de una exponencial creciente por otra decreciente tiene un máximo estrecho, y ese máximo es el pico de Gamow:
Para dos protones a 15,7 millones de kelvin, = 493 keV y el pico cae en 6,09 keV: cuatro veces y media la energía térmica media, con una anchura de 6,6 keV. Es decir, la fusión del Sol no la hacen los protones típicos ni los más rápidos de todos: la hace una minoría concreta, la que está en una ventana estrecha en torno a cinco veces la energía media. Y el factor de penetración vale e−13,5 = 1,4 × 10⁻⁶. Entre 10⁻¹⁹² y 10⁻⁶ hay 186 órdenes de magnitud, y ahí cabe toda la luz que has visto en tu vida.
La ley de potencias, y por qué el Sol no explota
De ese mismo exponente sale la propiedad más consecuente de una reacción termonuclear: su ritmo depende de la temperatura de una manera brutal. Si se llama al exponente del factor de túnel, el ritmo se comporta localmente como una potencia de la temperatura con exponente
Para la cadena protón-protón en el Sol, = 13,5 y el exponente sale 3,83 — el «va como T⁴» de los manuales, que no es una regla empírica sino esto. Para el ciclo CNO, cuyo paso lento es un protón contra un núcleo de nitrógeno-14 con siete cargas enfrente, el pico de Gamow se va a 27,4 keV, = 60,8 y el exponente es 19,6. Subir la temperatura del núcleo solar un 10 % multiplicaría la cadena pp por 1,43 y el ciclo CNO por 6,3.
| Reacción | Barrera | Pico de Gamow a 15,7 MK | τ | Va como |
|---|---|---|---|---|
| p + p (cadena pp) | 0,60 MeV | 6,09 keV | 13,5 | T3,8 |
| p + ¹⁴N (ciclo CNO) | 2,46 MeV | 27,4 keV | 60,8 | T19,6 |
| ⁴He + ¹²C (helio) | 3,71 MeV | 57,9 keV | 128 | T42 |
La tercera fila está evaluada a la temperatura del Sol para poder compararla, y por eso sale ese exponente absurdo: a 15,7 millones de kelvin el helio sencillamente no arde. A los 100 millones de kelvin a los que sí lo hace, su pico de Gamow sube a 199 keV, baja a 69,2 y el exponente, a 22. El exponente no es una propiedad de la reacción: es una propiedad de la reacción a una temperatura, y siempre baja al subir la temperatura.
Esa sensibilidad es exactamente lo que hace estable a una estrella, y conviene ver por qué, porque la intuición dice lo contrario. Si el núcleo se calienta un poco, el ritmo de fusión se dispara — pero el gas caliente también se dilata, y al dilatarse se enfría. La estrella se pasa la vida entera en ese equilibrio: la gravedad aprieta, la fusión empuja, y la temperatura es la variable que ajusta las dos hasta que coinciden. Un termostato estelar de una sola pieza, sin barras de control ni operadores. Es el mismo tipo de realimentación negativa que el coeficiente de temperatura de un reactor del módulo I.3, con una diferencia importante: en un reactor hay que diseñarla, y en una estrella no se puede no tenerla.
El ciclo CNO, con su T19,6, es el que decide qué clase de estrella eres. En el Sol aporta poco: el experimento Borexino midió en 2020 su flujo de neutrinos, 7,0 × 10⁸ por centímetro cuadrado y segundo frente a los 6,5 × 10¹⁰ del total, o sea el 1,1 % de la energía. Es el primer dato experimental de que el ciclo CNO funciona en el Sol, y es de 2020. En una estrella un poco más masiva, con el núcleo un poco más caliente, ese 1 % se convierte en el 100 %: por encima de aproximadamente 1,3 masas solares, el CNO es el motor principal.
El paso lento: la interacción débil dentro del Sol
Falta todavía una pieza, y es la que hace que este artículo se titule como se titula. El primer paso de la cadena pp no es sólo dos protones atravesando una barrera: es
y para que ocurra, uno de los dos protones tiene que convertirse en neutrón mientras están juntos. Eso no lo hace la fuerza nuclear: lo hace la interacción débil, y eso frena esta reacción concreta unas 10²² veces. La magnitud que lo mide es el factor astrofísico S, y el de la reacción p + p vale 4,0 × 10⁻²⁵ MeV·barn frente a los 1,7 × 10⁻³ MeV·barn de la captura de un protón por el nitrógeno-14: un cociente de 2 × 10⁻²². Ninguna de las curvas del panel de arriba incluye eso, porque es un cociente de factores S y ahí se cancelan; hay que ponerlo a mano.
La consecuencia es la escala de tiempo del Sol. Con 610 millones de toneladas de hidrógeno por segundo y del orden de 10⁵⁶ protones en el núcleo, un protón concreto espera del orden de diez mil millones de años antes de que le toque fusionarse. El deuterón que sale de ahí, en cambio, se come otro protón en cuestión de segundos, porque ese paso ya es fuerte y no débil. Toda la lentitud del Sol está en el primer paso, y toda la lentitud del primer paso está en la interacción débil. Es una afirmación fuerte y tiene una consecuencia inmediata: si la constante de Fermi fuera bastante mayor, el Sol habría ardido en un tiempo geológicamente corto y no habría habido tiempo de que pasara nada interesante en el tercer planeta.
Problema. Cada fusión completa emite dos neutrinos. ¿Cuántos salen del Sol por segundo, cuántos atraviesan un centímetro cuadrado de tu piel y cuánto tardan en llegar, comparados con la luz que producen las mismas reacciones?
Solución. Son 9,12 × 10³⁷ heliones por segundo y dos neutrinos cada uno: 1,82 × 10³⁸ neutrinos por segundo. En la órbita terrestre se reparten sobre una esfera de radio 1,496 × 10¹³ cm:
Por un cuerpo humano, con unos 0,7 m² de sección, pasan 4,5 × 10¹⁴ neutrinos por segundo, de día y de noche —de noche, después de atravesar la Tierra entera sin enterarse—. Y tardan en llegar lo que tarda la luz: 1,496 × 10¹¹ m entre 2,998 × 10⁸ m/s son 499 segundos, ocho minutos y diecinueve segundos.
Resultado. El neutrino es lo único que sale del centro del Sol en línea recta. La energía que va en fotones no sale: rebota. Un fotón producido en el núcleo se dispersa contra los electrones del plasma tantas veces que tarda del orden de 170 000 años en llegar a la superficie —el cálculo es de Mitalas y Sills, 1992— y cuando por fin sale ya no es un rayo gamma, es luz visible. Es decir: la luz que ves del Sol es información de hace 170 000 años y los neutrinos son información de hace ocho minutos. Por eso el único experimento capaz de mirar el interior de una estrella en tiempo real es un detector de neutrinos, y por eso el 1,1 % del ciclo CNO no se supo hasta 2020: para medirlo hubo que enterrar trescientas toneladas de centelleador ultrapuro bajo una montaña de los Abruzos.
Cuánto le queda
El Sol lleva encendido 4570 millones de años y ha quemado el 6,0 % del hidrógeno con el que nació. Fusionar sólo fusiona el núcleo —el 24 % del radio y el 34 % de la masa: ése es el kilogramo de los 0,57 milivatios del principio—, y de ese núcleo tampoco se quema todo, porque la región que arde se encoge según se agota y nada la mezcla con el resto de la estrella. Lo que el Sol llega a procesar en toda su secuencia principal es del orden del 10 % de su masa, y con ese 10 % la cuenta del combustible restante es directa: 0,10 × 1,99 × 10³⁰ kg, con un 74 % de hidrógeno, del que se convierte en energía el 0,712 %, dividido entre la luminosidad de hoy, da 7800 millones de años.
Los modelos dan menos, en torno a 5000 millones, y la diferencia es interesante: la luminosidad no es constante. Al fusionarse cuatro núcleos en uno, el número de partículas del núcleo solar baja, y para sostener el mismo peso hay que subir la temperatura; el Sol es hoy un 30 % más brillante que cuando se encendió, y seguirá subiendo. Ese detalle no es una curiosidad astronómica: dentro de unos mil millones de años la Tierra habrá dejado de tener agua líquida en superficie, bastante antes de que al Sol se le acabe el hidrógeno.
«El Sol es una bomba de hidrógeno gigante» es una mala frase. Una bomba de fusión libera su energía en microsegundos porque un explosivo químico le pone encima la densidad y la temperatura necesarias durante un instante. El Sol hace lo contrario: 0,57 mW/kg en el núcleo, 0,19 mW/kg promediado a la estrella entera. Un cuerpo humano en reposo va a 1,4 W/kg — 2500 veces más que el núcleo solar y 7400 veces más que el Sol de media. Un compostador fermentando también gana. Lo que hace del Sol una fuente de 10²⁶ vatios no es la intensidad, es la masa: 2 × 10³⁰ kg de un horno malísimo siguen siendo 3,8 × 10²⁶ W.
Y la lentitud no es un defecto del diseño: es la condición para que haya alguien mirando. Una estrella que quemara su hidrógeno a la potencia específica de un cuerpo humano se apagaría en un millón de años. La vida en la Tierra tardó más de tres mil millones en llegar a algo multicelular. Que el factor S de la reacción p + p sea 10²² veces menor que el de una captura de protón corriente, que suena a dato de tabla, es lo que hace que exista una ventana de diez mil millones de años bajo una estrella estable.
Ejercicios
Con el panel: pon la temperatura central en 17,3 millones de kelvin, un 10 % por encima de la del Sol. ¿Cuánto se aceleran la cadena pp y el ciclo CNO? Si el ritmo de fusión se multiplica, ¿por qué no se dispara la estrella?
Solución
La cadena pp va 1,43 veces más deprisa y el ciclo CNO, 6,3 — que es lo que dicen los exponentes 3,8 y 19,6. Y no se dispara porque el gas del núcleo solar no está a volumen constante: al calentarse se expande, y al expandirse se enfría. La realimentación es negativa y el equilibrio, estable. La segunda lección es la que explica una de las cosas más raras de la astrofísica estelar: ese razonamiento deja de valer si el gas está degenerado, porque entonces la presión no depende de la temperatura y el núcleo no se expande al calentarse. Eso es exactamente lo que ocurre cuando una estrella como el Sol enciende el helio: el ritmo se dispara, la temperatura sube, el ritmo se dispara más, y el núcleo entero se quema en unos segundos. Se llama flash del helio, y es un termostato con el signo roto durante unos minutos.
El Sol convierte en energía el 0,712 % de la masa que fusiona. Un reactor de fisión, con los 193 MeV recuperables por fisión del módulo I.1, ¿qué fracción de la masa de su combustible convierte? ¿Cuál de los dos procesos es «más eficiente», y qué significa esa palabra aquí?
Solución
Un núcleo de uranio-235 pesa 235 u = 218 900 MeV/c², y de él salen 193 MeV: 0,088 %. La fusión de hidrógeno convierte ocho veces más masa por kilogramo de combustible. Pero «combustible» significa cosas distintas: un reactor sólo quema el uranio-235, que es el 0,72 % del uranio natural, mientras que una estrella acaba fusionando casi todo su hidrógeno. La segunda lección es que la palabra «eficiencia» no significa nada sin un denominador explícito. Por kilogramo de núclido fisible, la fisión da 79 TJ/kg y la fusión de hidrógeno 640 TJ/kg; por kilogramo de mineral extraído de una mina, la fisión gana por muchísimo, porque el hidrógeno del mar no está en el mercado energético y el uranio sí. Y por kilogramo de masa en reposo del universo, las dos son despreciables frente al 6 % que se saca de la caída de materia en un agujero negro.
La probabilidad clásica de que dos protones del núcleo solar lleguen a tocarse es 10⁻¹⁹², y con efecto túnel, 1,4 × 10⁻⁶. ¿Por qué entonces el Sol no se consume mucho más deprisa, si 10⁻⁶ multiplicado por el número enorme de protones que hay da un número enorme de reacciones?
Solución
Porque atravesar la barrera no es lo mismo que reaccionar. Los dos protones se acercan, se tocan y casi siempre se separan otra vez: el sistema de dos protones no está ligado, no existe el núcleo 2He. Para que la colisión deje algo, uno de los dos protones tiene que convertirse en neutrón durante los 10⁻²¹ segundos que dura el encuentro, y eso lo decide la interacción débil, cuyo factor S es 10²² veces menor. El túnel resuelve el problema de acercarse; el problema de quedarse lo resuelve otra fuerza. La segunda lección es de lectura de fórmulas: en una tasa de reacción hay siempre dos factores independientes —con qué frecuencia se produce el encuentro y qué fracción de encuentros deja algo— y confundirlos es la manera más rápida de equivocarse por veinte órdenes de magnitud en astrofísica nuclear.