Coge un milímetro cúbico —la cabeza de un alfiler— y llénalo de materia nuclear. Pesaría 229 000 toneladas: dos portaaviones y medio en algo que apenas ves. Ésa es la primera cifra que hay que digerir de la física nuclear, y de ella salen las otras dos: dentro de esa cosa, dos protones vecinos se repelen con una fuerza de 58 newtons —el peso de un niño de seis años, sobre una partícula que pesa 10⁻²⁷ kg— y aun así no se separan. Este artículo va de por qué.
Dos cosas que este sitio no cuenta porque ya están contadas: qué hay dentro de un protón está en Particulario, «Los quarks y los hadrones», y cómo se descubrió el núcleo, con la lámina de oro de Rutherford, en «El átomo se rompe». Aquí el protón y el neutrón son las piezas, y empezamos con ellas ya en la mano.
Cada punto es el núclido más ligado de su número másico A, y su altura es la energía que habría que invertir para arrancarle un nucleón. La curva no está dibujada: son 250 excesos de masa medidos, y la energía de ligadura se calcula aquí con B = Z·Δ(¹H) + N·Δ(n) − Δ. Mueve el mando o pincha en el gráfico.
Estás en el fondo del pozo. Ningún reagrupamiento de estos 56 nucleones libera energía: ni juntándolos con otros ni partiéndolos. Por eso una estrella que llega aquí se queda sin combustible nuclear, y por eso el hierro y el níquel son las cenizas del universo. Fíjate en cuál es el máximo de verdad: Ni-62, no el ⁵⁶Fe, que se queda 4,2 keV por nucleón corto.
Dos piezas, y una de ellas no dura sola
Un núcleo es un montón de nucleones: protones, con carga eléctrica positiva, y neutrones, sin carga. El número de protones, número atómico, decide de qué elemento se trata; el total de nucleones, número másico, decide de qué isótopo. El carbono es carbono porque tiene seis protones, y el carbono-14 se distingue del carbono-12 en que lleva ocho neutrones en vez de seis. Cada combinación concreta de protones y neutrones es un núclido. La evaluación AME2020 tabula 3558, de los cuales 2550 tienen la masa medida y el resto, extrapolada.
El detalle que estropea la simetría: el neutrón libre no es estable. Su masa supera a la del protón en 1,293 MeV/c², y esa diferencia le basta para desintegrarse en protón, electrón y antineutrino, liberando 0,782 MeV. Lo hace con una semivida de 611 segundos — algo más de diez minutos. El protón libre, en cambio, no se desintegra en nada: nunca se ha visto uno hacerlo.
Y sin embargo dentro de un núcleo de carbono-12 hay seis neutrones que llevan ahí desde que se fabricaron en una estrella. La razón es que la desintegración necesita que el estado final tenga menos energía que el inicial, y dentro de un núcleo ligado eso deja de ser cierto: el protón que resultaría no tendría hueco donde meterse. La estabilidad no es una propiedad de la partícula; es una propiedad del sistema entero. Volveremos a ello en el terreno de la fuerza débil, que es quien manda en estas desintegraciones y vive en Particulario.
El núcleo es pequeño, y por eso es denso
Los experimentos de dispersión de electrones dan un resultado sorprendentemente simple: el radio de un núcleo crece con la raíz cúbica del número de nucleones,
donde un fermi (fm) es 10⁻¹⁵ metros. Que aparezca la raíz cúbica significa una cosa concreta y fuerte: el volumen es proporcional al número de nucleones, y por tanto la densidad es la misma en todos los núcleos, del helio al uranio. Un nucleón ocupa siempre lo mismo, como las canicas de un saco.
| Núclido | R = 1,2·A1/3 | Radio medido (r.c.m. de carga) | Diferencia |
|---|---|---|---|
| Carbono-12 | 2,75 fm | 2,47 fm | −13,9 % |
| Hierro-56 | 4,59 fm | 3,74 fm | −4,9 % |
| Plomo-208 | 7,11 fm | 5,50 fm | −0,1 % |
| Uranio-238 | 7,44 fm | 5,86 fm | −1,7 % |
La cuarta columna compara peras con peras: el radio de la fórmula es el de una esfera de densidad uniforme, y lo que se mide es el radio cuadrático medio de la distribución de carga, que para esa esfera vale √(3/5)·R = 0,775·R. Con esa conversión la fórmula acierta al 5 % de hierro para arriba… y falla un 14 % en el carbono-12. No es un error de la tabla: es el límite real de la fórmula. Un núcleo de doce nucleones es casi todo superficie, y no tiene un interior de densidad constante que medir. Esa cifra la cazó el guion de verificación de este módulo justo antes de que este artículo escribiera «el carbono-12 mide 2,7 fm» como si tal cosa.
Problema. Con R = 1,2·A1/3 fm y sabiendo que un nucleón pesa aproximadamente 1 unidad de masa atómica = 1,66 × 10⁻²⁷ kg, ¿cuánto pesaría un milímetro cúbico de materia nuclear?
Solución. Como el volumen de A nucleones es (4/3)πR³ = (4/3)π r₀³ A, el número másico se va y queda una densidad que no depende de nada:
Un milímetro cúbico son 10⁻⁹ m³, así que la masa es 2,29 × 10¹⁷ × 10⁻⁹ = 2,29 × 10⁸ kg = 229 000 toneladas.
Resultado. Lo que importa no es el número, es lo que no lleva dentro: la densidad nuclear no depende del núcleo. El uranio no es más denso que el helio; sólo es más grande. Y esa densidad, veinte billones de veces la del plomo metálico, es exactamente la de una estrella de neutrones — que es, con muy poca trampa, un núcleo atómico de veinte kilómetros de radio.
Los protones se repelen con 58 newtons
Ahora el problema. Dentro de ese milímetro cúbico imposible hay protones, y todos tienen la misma carga. La repulsión coulombiana entre dos cargas elementales separadas una distancia r vale
Esa constante, 1,44 MeV·fm, es probablemente la más útil de toda la física nuclear: se aprende una vez y sirve para cualquier estimación electrostática dentro de un núcleo. A dos fermis, la separación típica entre nucleones vecinos, da 0,72 MeV de energía potencial — 53 000 veces la energía que hace falta para arrancarle el electrón a un átomo de hidrógeno, que son 13,6 eV.
Problema. ¿Con qué fuerza, en newtons, se repelen dos protones separados 2 fm?
Solución. La ley de Coulomb, sin más:
Resultado. 58 newtons es el peso de una masa de 5,9 kg en la superficie de la Tierra. Un protón pesa 1,67 × 10⁻²⁷ kg. Si la única fuerza en juego fuera la eléctrica, ese protón saldría disparado con una aceleración de 3,5 × 10²⁷ g. Que el núcleo exista ni un nanosegundo demuestra que hay algo más, y que ese algo gana por bastante.
Lo que gana: ocho megaelectronvoltios por nucleón
Ese algo es la interacción fuerte residual: el resto que le sobra a la fuerza que mantiene unidos los quarks dentro de cada protón y cada neutrón y que, fuera de ellos, todavía alcanza a pegar unos nucleones con otros. La fuerza fuerte propiamente dicha vive en Particulario; aquí nos basta con su efecto medible, que es el que sale en el gráfico de arriba: la energía de ligadura.
Se define de la forma más honesta posible: es lo que hay que pagar para deshacer el núcleo en sus nucleones sueltos. Y se mide pesando, porque un núcleo ligado pesa menos que sus piezas por separado — esa es la historia del artículo 02. En números,
donde Δ es el exceso de masa tabulado de cada especie. Ésa es literalmente la cuenta que hace el gráfico interactivo de este artículo, con 250 excesos de masa medidos de la evaluación AME2020: no hay ninguna curva dibujada ahí, sólo una tabla y una resta.
Y el resultado es el hecho más importante de todo el curso: la energía de ligadura por nucleón vale alrededor de 8 MeV para casi todos los núcleos, desde el A = 12 hasta el A = 238. No crece con el tamaño. Un nucleón sólo siente a sus vecinos inmediatos, como una gota de agua donde cada molécula sólo toca a las que tiene al lado: la fuerza nuclear se satura. Las excepciones son los núcleos muy ligeros, que tienen pocos vecinos con los que ligarse — el deuterio, con un protón y un neutrón, apenas llega a 1,11 MeV por nucleón, siete veces menos que la media.
A la fuerza nuclear se le acaba el alcance, y por eso hay un final de la tabla periódica. La energía de ligadura crece aproximadamente como A, porque cada nucleón sólo liga con sus vecinos. La repulsión eléctrica, en cambio, crece como Z², porque cada protón empuja a todos los demás. Así que el cociente entre las dos no para de subir: la repulsión eléctrica total vale el 3,2 % de la energía de ligadura en el helio-4, el 25 % en el hierro-56 y el 54 % en el uranio-238. Cuando esa carrera se pierde, se acaban los núcleos estables. El más pesado que lo es de verdad es el plomo-208; el bismuto-209, que durante un siglo figuró en las tablas como estable, resultó ser radiactivo con una semivida de 2 × 10¹⁹ años — mil cuatrocientos millones de veces la edad del universo. Así se «desmonta» aquí un dato viejo: no diciendo que era mentira, sino diciendo cuánto tardó en notarse.
Ejercicios
El plomo metálico tiene una densidad de 11 340 kg/m³. ¿Cuántas veces más denso es el núcleo de un átomo de plomo que el trozo de plomo del que forma parte? ¿Qué te dice ese número sobre el átomo?
Solución
2,29 × 10¹⁷ / 11 340 = 2,0 × 10¹³ veces, veinte billones. Como la masa del átomo está casi toda en el núcleo, ese cociente es el cociente de volúmenes: el núcleo ocupa una parte entre veinte billones del átomo. La lección de fondo no es que el átomo esté «vacío» — donde no hay núcleo hay electrón, y un electrón no es nada vacío—, sino que la masa y el volumen viven en sitios distintos. El volumen lo pone la nube electrónica, gobernada por la fuerza eléctrica; la masa la pone el núcleo, gobernado por la nuclear. Toda la química ocurre en el primer sitio y toda la física nuclear en el segundo, y por eso son dos asignaturas.
Usa la fórmula del radio para estimar cuántas veces más grande es el núcleo de uranio-238 que el de helio-4. Compáralo con cuántas veces más pesado es. ¿Por qué no coinciden?
Solución
El radio va con A1/3, así que el cociente es (238/4)1/3 = 59,51/3 = 3,9 veces. La masa va con A, así que es 59,5 veces. No coinciden porque un cociente es de longitudes y el otro de masas, y entre ellos media un cubo: 3,9³ = 59,5. Ahí está la comprobación. Y la segunda lección: cuando dos magnitudes escalan con potencias distintas del mismo parámetro, siempre hay un tamaño a partir del cual la de exponente mayor gana. Ése es el motivo de que exista un último elemento estable, y va a ser el motivo de que exista un pico en la curva de energía de ligadura.
En el gráfico interactivo, pon el mando en A = 4 y luego en A = 3. El helio-4 tiene 7,07 MeV por nucleón y el tritio, 2,83. ¿Por qué un solo nucleón de diferencia cambia tanto las cosas?
Solución
Porque con tan pocos nucleones cada pareja cuenta. En un núcleo de A nucleones hay A(A−1)/2 parejas posibles: seis en el helio-4 y sólo tres en el tritio. El doble de parejas repartidas entre cuatro nucleones en vez de tres da, groseramente, un factor 6/4 ÷ 3/3 = 1,5 — y el cociente real es 7,07/2,83 = 2,5. Que la estimación se quede corta es también información: el helio-4 tiene además sus protones y sus neutrones emparejados de dos en dos, y eso lo hace anormalmente estable. Es el primero de los «números mágicos» que el Nivel II explica con el modelo de capas. Y no es una curiosidad: que el helio-4 sea tan estable es la razón de que las estrellas brillen, de que exista la desintegración alfa y de que el universo sea cerca de un 24 % de helio en masa.