Medir cercanía: traza y fidelidad

Antes de optimizar sobre estados «a distancia $\varepsilon$ » hay que fijar con qué vara se mide esa distancia. En teoría cuántica de la información hay dos protagonistas, y conviene conocer a ambos porque cada uno cuenta la historia desde un ángulo: la distancia de traza, ligada a la distinguibilidad, y la fidelidad, ligada al solapamiento. La bola de suavizado se construye con una tercera cantidad, hija de la fidelidad.

La distancia de traza

La distancia de traza distancia de traza entre dos estados es

T(\rho, \sigma) = \tfrac12 \big\lVert \rho - \sigma \big\rVert_1 = \tfrac12 \operatorname{Tr}\!\big|\rho - \sigma\big|,

que en el caso clásico se reduce a $\tfrac12 \sum_i |p_i - q_i|$ . Su encanto es que tiene un significado operacional inmejorable: si te dan uno de los dos estados al azar y debes adivinar cuál con una única medida, tu probabilidad óptima de acierto es $\tfrac12\big(1 + T(\rho,\sigma)\big)$ . Cuando $T = 0$ los estados son idénticos y no hay nada que hacer mejor que lanzar una moneda; cuando $T = 1$ son perfectamente distinguibles. Es, además, una métrica en toda regla.

La fidelidad

La fidelidad fidelidad mira lo contrario: cuánto se solapan dos estados.

F(\rho, \sigma) = \big\lVert \sqrt{\rho}\,\sqrt{\sigma} \big\rVert_1, \qquad F(p, q) = \sum_i \sqrt{p_i\, q_i}.

Va de $0$ (estados ortogonales, sin solapamiento) a $1$ (estados idénticos), y es simétrica. Para estados puros recupera algo muy familiar, $F(|\psi\rangle, |\phi\rangle) = |\langle\psi|\phi\rangle|$ : el módulo del producto interior. La fidelidad por sí sola no es una distancia —crece cuando los estados se parecen, al revés que una distancia— pero es la materia prima de la métrica que necesitamos.

La distancia purificada

El suavizado se define, por comodidad técnica, con la distancia purificada distancia purificada, que se construye a partir de la fidelidad:

P(\rho, \sigma) = \sqrt{\,1 - F(\rho, \sigma)^2\,}.

Es una métrica genuina (cumple la desigualdad triangular) y hereda de la fidelidad una propiedad muy cómoda: se comporta bien al purificar estados y no aumenta bajo la acción de un canal. Por eso la bola de suavizado bola de suavizado se define con ella, $P(\rho,\tilde\rho) \le \varepsilon$ , y no con la distancia de traza.

Las tres cantidades no son independientes. Las desigualdades de Fuchs–van de Graaf las encadenan:

1 - F(\rho,\sigma) \;\le\; T(\rho,\sigma) \;\le\; \sqrt{1 - F(\rho,\sigma)^2} = P(\rho,\sigma).

Es decir, distancia de traza y distancia purificada miden esencialmente lo mismo, salvo un factor controlado; usar una u otra para definir la bola cambia los detalles, no la idea. Juega con dos distribuciones y observa cómo se mueven las tres a la vez:

¿Cuán cerca están dos distribuciones?

Distancia de traza T = 0.000 · Fidelidad F = 0.000 · Distancia purificada P = 0.000

Fuchs–van de Graaf: siempre 1 − F ≤ T ≤ P. La bola de suavizado usa P ≤ ε.

p(0) 0.90

q(0) 0.50

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1 · Las tres cantidades

Problema. Con $p = (0.9,\ 0.1)$ y $q = (0.5,\ 0.5)$ , calcula $T$ , $F$ y $P$ , y comprueba Fuchs–van de Graaf.

Distancia de traza. $T = \tfrac12(|0.9 - 0.5| + |0.1 - 0.5|) = \tfrac12(0.4 + 0.4) = 0.4$ .

Fidelidad. $F = \sqrt{0.9\cdot 0.5} + \sqrt{0.1\cdot 0.5} = \sqrt{0.45} + \sqrt{0.05} \approx 0.671 + 0.224 = 0.894$ .

Distancia purificada. $P = \sqrt{1 - 0.894^2} = \sqrt{1 - 0.800} \approx 0.447$ .

Comprobación. $1 - F = 0.106 \le T = 0.4 \le P = 0.447$ : la cadena se cumple.

Ejemplo resuelto 2 · Dos estados puros

Problema. Dos estados puros con producto interior $\langle\psi|\phi\rangle = \cos 60^\circ = \tfrac12$ . Calcula $F$ , $T$ y $P$ , y observa qué tienen de especial.

Solución. Para estados puros $F = |\langle\psi|\phi\rangle| = 0.5$ . La distancia de traza de dos puros es $T = \sqrt{1 - |\langle\psi|\phi\rangle|^2} = \sqrt{1 - 0.25} \approx 0.866$ , y la purificada, $P = \sqrt{1 - F^2} = \sqrt{0.75} \approx 0.866$ .

Lo notable es que $T = P$ : para estados puros las dos distancias coinciden exactamente. La diferencia entre traza y purificada solo aflora con estados mezclados.

Ejercicios

Ejercicio 1

Dos distribuciones idénticas $p = q$ . ¿Cuánto valen $T$ , $F$ y $P$ ? ¿Y dos distribuciones con soportes disjuntos?

Solución

Si $p = q$ : $T = 0$ , $F = \sum_i p_i = 1$ y $P = \sqrt{1 - 1} = 0$ — máxima cercanía. Con soportes disjuntos, cada término $\sqrt{p_i q_i}$ se anula, así que $F = 0$ , $P = 1$ y $T = 1$ — máxima lejanía, perfectamente distinguibles.

Ejercicio 2

A partir de Fuchs–van de Graaf, demuestra que $T(\rho,\sigma) = 0$ si y solo si $F(\rho,\sigma) = 1$ . ¿Por qué garantiza esto que la bola con $P \le \varepsilon$ se reduce a un punto cuando $\varepsilon = 0$ ?

Solución

De $1 - F \le T$ , si $T = 0$ entonces $F \ge 1$ , y como $F \le 1$ siempre, $F = 1$ . Al revés, de $T \le \sqrt{1 - F^2}$ , si $F = 1$ entonces $T \le 0$ , luego $T = 0$ . Como $P = \sqrt{1 - F^2}$ , pedir $P \le 0$ obliga a $F = 1$ y por tanto a $\tilde\rho = \rho$ : la bola de radio cero es solo el propio estado, así que $D_{\max}^{0} = D_{\max}$ , la versión sin suavizar.