Fundamentos

Este no es un curso de introducción. Asume que ya has visto la teoría de la información cuántica «estándar» y que estás cómodo con el álgebra lineal de operadores. Aquí reunimos las piezas exactas que vamos a usar una y otra vez, con la notación que seguiremos en todos los módulos. Si algo de esto te resulta nuevo, conviene repasarlo antes de seguir.

Espacios y notación

Trabajamos en espacios euclídeos complejos, que denotamos con letras como $\mathcal{X}$, $\mathcal{Y}$ y $\mathcal{Z}$. Cada uno es simplemente un $\mathbb{C}^n$ con su producto interior. Usamos la notación de Dirac: un vector es un ket $|\psi\rangle$, su conjugado transpuesto un bra $\langle\psi|$, y por tanto

Operadores

El conjunto de operadores lineales de $\mathcal{X}$ en $\mathcal{Y}$ se escribe $\mathrm{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, y $\mathrm{L}(\mathcal{X})$ cuando dominio y codominio coinciden. Dos subconjuntos nos acompañarán todo el curso:

• Los operadores Hermíticos $\mathrm{Herm}(\mathcal{X}) = \{ A : A = A^{*} \}$, un espacio vectorial real con producto interior $\langle A, B\rangle = \mathrm{Tr}(A^{*}B)$.
• Los operadores semidefinidos positivos $\mathrm{Pos}(\mathcal{X})$, los $P \in \mathrm{Herm}(\mathcal{X})$ con $\langle v, Pv\rangle \ge 0$ para todo $v$. Escribimos $P \succeq 0$.

La traza da el producto interior de operadores, el producto interior de Hilbert-Schmidt. Y la descomposición espectral nos deja hablar de autovalores y de funciones de operadores cuando haga falta.

Estados, canales y medidas

Un operador de densidad es un $\rho \in \mathrm{Pos}(\mathcal{X})$ con $\mathrm{Tr}(\rho) = 1$. El conjunto de todos los estados es convexo, y sus punto extremos son exactamente los estados puros $|\psi\rangle\langle\psi|$.

Un canal cuántico es un mapa lineal $\Phi : \mathrm{L}(\mathcal{X}) \to \mathrm{L}(\mathcal{Y})$ completamente positivo y que preserva la traza. Una medida es una familia $\{E_a\} \subset \mathrm{Pos}(\mathcal{X})$ con $\sum_a E_a = \mathbb{1}$, y la regla de Born da $\Pr(a) = \mathrm{Tr}(E_a\,\rho)$.

El hilo conductor: convexidad

Fíjate en el patrón: los estados forman un conjunto convexo, las medidas y los canales también, y la positividad $\succeq 0$ aparece en todas partes. Ese es precisamente el motivo por el que el curso arranca con programación cónica: es el lenguaje que unifica todas estas restricciones convexas y el que nos permitirá calcular —no solo describir— cantidades como entropías de una toma o el valor cuántico de un juego no local.