La min-entropía como SDP

Todo lo del Módulo 01 —conos, programas semidefinidos, dualidad— no era un desvío, sino la infraestructura que necesitábamos. La min-entropía condicional se calcula, ni más ni menos, resolviendo una programa semidefinido SDP; su problema dual reparte certificados, y su significado operacional cae por su propio peso.

De la definición a la SDP

Arrancamos de donde lo dejamos: $H_{\min}(A|B) = -\min_{\sigma_B} D_{\max}(\rho_{AB}\,\|\,\mathbb{1}_A\otimes\sigma_B)$ . Si desplegamos la max-relativa como el menor $\mu$ con $\rho_{AB} \preceq \mu\,\mathbb{1}_A\otimes\sigma_B$ , aparecen dos minimizaciones encajadas: una sobre $\mu$ y otra sobre $\sigma_B$ . El truco es fundirlas en una sola absorbiendo el escalar en el operador, $\tau_B := \mu\,\sigma_B$ — de modo que $\operatorname{Tr}\tau_B = \mu$ (porque $\sigma_B$ es un estado). Lo que queda es

2^{-H_{\min}(A|B)} = \min\big\{\, \operatorname{Tr}(\tau_B) \;:\; \mathbb{1}_A\otimes\tau_B \succeq \rho_{AB},\ \ \tau_B \succeq 0 \,\big\}.

Reconoce las piezas del programa cónico general: el objetivo $\operatorname{Tr}\tau_B = \langle \mathbb{1}, \tau_B\rangle$ es lineal, la condición $\mathbb{1}_A\otimes\tau_B - \rho_{AB} \succeq 0$ es una restricción afín, y la variable habita el cono autodual Pos(X) $\tau_B \succeq 0$ . Es una SDP de manual: una entropía escrita como un problema de optimización convexa.

El dual y el significado operacional

Al ser una SDP, arrastra consigo un problema dual problema dual — y es ahí donde asoma el sentido físico. El dual resulta ser una maximización sobre operadores que se interpretan como una medida estrategia para medir $B$ y adivinar $A$ . En el caso de estados clásico-cuánticos, su valor óptimo es exactamente la probabilidad de acierto:

2^{-H_{\min}(A|B)} = p_{\text{acierto}}(A|B),

la máxima probabilidad de adivinar $A$ correctamente midiendo $B$ de la mejor forma imaginable. Otra vez, pues, la min-entropía es $-\log_2$ de una probabilidad de acierto, ahora con la ayuda de $B$ . Y que la SDP y esa probabilidad coincidan no es casualidad: es la dualidad fuerte dualidad fuerte del Módulo 01 la que garantiza que ambos números son el mismo.

Puede salir negativa. Para el estado maximalmente entrelazado en dimensión $d$ se obtiene $H_{\min}(A|B) = -\log_2 d$ (para dos cúbits, $-1$ bit). Una min-entropía condicional negativa es imposible en el mundo clásico: es una firma inequívoca de entrelazamiento — las correlaciones son tan fuertes que «saber $B$ » determina $A$ más de lo que cualquier estrategia clásica permitiría.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1 · Estado producto (B no ayuda)

Problema. Sea $\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$ con $\rho_A = \operatorname{diag}(0.8, 0.2)$ . Usa la SDP para mostrar que $H_{\min}(A|B) = H_{\min}(A)$ .

Solución. Propongamos un candidato para $\tau_B$ y veamos que es factible. Tomamos $\tau_B = \lambda_{\max}(\rho_A)\,\rho_B = 0.8\,\rho_B$ . La restricción se cumple porque la diferencia factoriza:

\mathbb{1}_A\otimes\tau_B - \rho_A\otimes\rho_B = \big(0.8\,\mathbb{1}_A - \rho_A\big)\otimes\rho_B \succeq 0,

ya que $0.8\,\mathbb{1}_A - \rho_A = \operatorname{diag}(0, 0.6) \succeq 0$ y $\rho_B \succeq 0$ , y el producto tensorial de dos operadores PSD es PSD. El coste de este candidato es $\operatorname{Tr}\tau_B = 0.8$ .

Como un $B$ sin correlación no puede aportar información sobre $A$ , el óptimo no baja de ahí: $2^{-H_{\min}(A|B)} = 0.8$ , es decir $H_{\min}(A|B) = -\log_2 0.8 \approx 0.322 = H_{\min}(A)$ . Justo lo esperable.

Ejemplo resuelto 2 · B sí ayuda (caso clásico)

Problema. Distribución conjunta clásica de dos bits, con $p(0,0) = p(1,1) = 0.4$ y $p(0,1) = p(1,0) = 0.1$ . Calcula $H_{\min}(A|B)$ y compárala con $H_{\min}(A)$ .

Con B. Al observar un valor concreto de $b$ , apuestas por el $a$ más probable dado ese $b$ , y aciertas con probabilidad $\max_a p(a,b)$ . Sumando sobre lo que puede valer $B$ :

p_{\text{acierto}}(A|B) = \sum_b \max_a p(a,b) = \underbrace{0.4}_{b=0} + \underbrace{0.4}_{b=1} = 0.8,

de donde $H_{\min}(A|B) = -\log_2 0.8 \approx 0.322$ bits.

Sin B. La marginal es $p_A = (0.5, 0.5)$ , así que $H_{\min}(A) = -\log_2 0.5 = 1$ bit.

Comprobación. Observar $B$ ha reducido la incertidumbre de $1$ a $0.322$ bits, porque $B$ está correlacionado con $A$ y ayuda a adivinarlo. Clásicamente siempre ocurre $0 \le H_{\min}(A|B) \le H_{\min}(A)$ : la información lateral solo puede bajar la incertidumbre, nunca subirla ni volverla negativa.

Ejercicios

Ejercicio 1

Empareja la SDP de la min-entropía con el programa cónico general del Módulo 01: ¿quién hace de cono $K$ , quién de objetivo $\langle a, x\rangle$ y quién de restricción $\Phi(x) = b$ ?

Solución

La variable es $\tau_B$ ; el cono es $K = \operatorname{Pos}(\mathcal{B})$ (pedimos $\tau_B \succeq 0$ ); el objetivo lineal es $\langle \mathbb{1}, \tau_B\rangle = \operatorname{Tr}\tau_B$ , que aquí se minimiza. La restricción es la desigualdad de operadores $\mathbb{1}_A\otimes\tau_B \succeq \rho_{AB}$ : su holgura $\mathbb{1}_A\otimes\tau_B - \rho_{AB}$ vive en $\operatorname{Pos}$ , una restricción cónica de desigualdad que se convierte en igualdad al introducir una variable de holgura.

Ejercicio 2

Para el estado maximalmente entrelazado de dos cúbits, $H_{\min}(A|B) = -1$ bit, mientras que $H_{\min}(A) = 1$ bit (la marginal es $\mathbb{1}/2$ ). ¿Qué tiene de imposible, clásicamente, ese $-1$ ?

Solución

Clásicamente $p_{\text{acierto}}(A|B) \le 1$ , así que $H_{\min}(A|B) = -\log_2 p_{\text{acierto}} \ge 0$ : nunca puede ser negativa. Un valor de $-1$ equivale a $2^{-H_{\min}} = 2 > 1$ , que no es una probabilidad legítima. En el caso cuántico ese número deja de ser una probabilidad de acierto ordinaria y delata que $A$ y $B$ están entrelazados. La negatividad de la min-entropía condicional es, de hecho, un criterio de entrelazamiento.

Y de aquí, al Módulo 03. La max-relativa «cruda» es frágil: basta un detalle de soporte para que salte a $+\infty$ . El siguiente módulo la suaviza —optimizándola sobre una pequeña bola de estados cercanos— para obtener una cantidad robusta, y la vuelve a plantear, cómo no, como un programa de optimización.